এসএসসি গণিত ৩য় অধ্যায় সকল সূত্রাবলী নিচে দেওয়া হলো
অনুশীলনী ৩.১
সূত্র 1| (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
সূত্র 2| (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
সূত্র 3| a2 – b2 = (a + b) (a – b)
সূত্র 4| (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
সূত্র 5| (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
অনুসিদ্ধান্ত 1| a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
অনুসিদ্ধান্ত 2| a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab
অনুসিদ্ধান্ত 3| (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
অনুসিদ্ধান্ত 4| (a -b)2 = (a + b)2 – 4ab
অনুসিদ্ধান্ত 5| a2 + b2 =
অনুসিদ্ধান্ত 6| ab = 2– 2
অনুসিদ্ধান্ত 7| a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ac)
অনুসিদ্ধান্ত 8| 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)2 – (a2 + b2 + c2)
অনুশীলনী ৩.২
ঘন সংবলিত সূত্রাবলি
সূত্র 6| (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= a3 + b3 + 3ab (a + b)
সূত্র 7| (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
= a3 – b3 – 3ab(a – b)
সূত্র 8| a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
সূত্র 9| a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
অনুসিদ্ধান্ত 9| a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b)
অনুসিদ্ধান্ত 10| a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab (a – b)
অনুশীলনী ৩.৩
উৎপাদক নির্ণয়ের কতিপয় কৌশল :
(ক) কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদে সাধারণ উৎপাদক থাকলে তা প্রথম বের করে নিতে হয়। যেমন:
(র) ৩ধ২ন + ৬ধন২ + ১২ধ২ন২ = ৩ধন(ধ + ২ন + ৪ধন) (রর) ২ধন(ী ু) + ২নপ(ী ু) + ৩পধ(ী ু) = (ী ু)(২ধন + ২নপ + ৩পধ)
(খ) একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করে।
যেমন : ৪ী২ + ১২ী + ৯ = (২ী)২ + ২ ২ী ৩ + (৩)২ = (২ী + ৩)২ = (২ী + ৩) (২ী + ৩)
(গ) একটি রাশিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং ধ২ ন২ = (ধ + ন) (ধ ন) সূত্র প্রয়োগ করে।
(ঘ) ী২ + (ধ + ন)ী + ধন = (ী + ধ)(ী + ন) সূত্রটি ব্যবহার করে।
এ পদ্ধতিতে ী২ + ঢ়ী + য় আকারের বহুপদীয় উৎপাদক নির্ণয় করা সম্ভব হয় যদি দুইটি পূর্ণসংখ্যা ধ ও ন নির্ণয় করা যায় যেন, ধ + ন = ঢ় এবং ধন = য় হয়। এজন্য য়-এর দুইটি স্বচিহ্ন উৎপাদক নিতে হয় যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি ঢ় হয়। য় ০ হলে, ধ ও ন একই চিহ্নযুক্ত এবং য় < ০ হলে, ধ ও ন বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে।
(ঙ) ধী২ + নী + প আকারের বহুপদীর মধ্যপদ বিভক্তিকরণ পদ্ধতিতে : ধী২ + নী + প = (ৎী + ঢ়)(ংী + য়) হবে।
অতএব, ধী২ + নী + প আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে ধপ, অর্থাৎ, ী২ এর সহগ এবং ী বর্জিত পদের গুণফলকে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে, যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি ী এর সহগ ন এর সমান হয়।
(চ) একটি রাশিকে পূর্ণ ঘন আকারে প্রকাশ করে।
(ছ) ধ৩ + ন৩ = (ধ + ন)(ধ২ ধন + ন২)এবং ধ৩ ন৩ = (ধ ন) (ধ২ + ধন + ন২) সূত্র দুইটি ব্যবহার করে।
(জ) ভগ্নাংশসহগযুক্ত রাশির উৎপাদক : ভগ্নাংশযুক্ত রাশির উৎপাদকগুলোকে বিভিন্নভাবে প্রকাশ করা যায়।
যেমন, ধ৩ + ১২৭ = ধ৩ + ১৩৩ = ধ + ১৩ধ২ ধ৩ + ১৯
আবার, ধ৩ + ১২৭ = ১২৭ (২৭ধ৩ +১) = ১২৭ {(৩ধ)৩ + (১)৩} = ১২৭ (৩ধ + ১)(৯ধ২ ৩ধ + ১)
এখানে, দ্বিতীয় সমাধানে চলক-সংবলিত উৎপাদকগুলো পূর্ণসংখ্যা সহগবিশিষ্ট। এই ফলকে প্রথম সমাধানের মতো প্রকাশ করা যায় :
১২৭ (৩ধ + ১)(৯ধ২ ৩ধ + ১) = ১৩ (৩ধ + ১) ১৯ (৯ধ২ ৩ধ + ১) = ধ + ১৩ধ২ ধ৩ + ১৯
অনুশীলনী ৩.৪
ভাগশেষ উপপাদ্য (জবসধরহফবৎ ঞযবড়ৎবস) :
আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক ভাগফল + ভাগশেষ
যদি আমরা ভাজ্যকে (ী), ভাগফলকে য(ী),ভাগশেষকে ৎ ও ভাজককে (ী ধ) দ্বারা সূচিত করি, তাহলে উপরের সূত্র থেকে পাই,
(ী) = (ী ধ)য(ী) + ৎ এই সূত্রটি ধ এর সকল মানের জন্য সত্য।
অতএব, (ী) কে (ী ধ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ƒ(ধ) এই সূত্র ভাগশেষ উপপাদ্য (জবসধরহফবৎ ঃযবড়ৎবস) নামে পরিচিত। অর্থাৎ, ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী ƒ(ী) কে (ী ধ) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য। ভাজক বহুপদী (ী ধ) এর মাত্রা ১।
প্রতিজ্ঞা : যদি (ী) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং ধ ০ হয়, তবে (ী) কে (ধী + ন) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় নধ
অনুসিদ্ধান্ত : (ী ধ), (ী) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি (ধ) = ০ হয়।
কোনো বহুপদী (ী), (ী ধ) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি (ধ) = ০ হয়। এই সূত্র উৎপাদক উপপাদ্য (ঋধপঃড়ৎ ঃযবড়ৎবস) নামে পরিচিত।
অনুসিদ্ধান্ত : ধী + ন, ধ ০ হলে, রাশিটি কোনো বহুপদী (ী) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি নধ = ০ হয়।
অনুশীলনী ৩.৫
বাস্তব সমস্যা সমাধানে বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করা হয়। সূত্রগুলো নিচে উল্লেখ করা হলো :
(১) দেয় বা প্রাপ্য বিষয়ক :
দেয় বা প্রাপ্য, অ = য়হ টাকা
যেখানে, য় = জনপ্রতি দেয় বা প্রাপ্য টাকার পরিমাণ
হ = লোকের সংখ্যা
(২) সময় ও কাজ বিষয়ক :
কয়েকজন লোক একটি কাজ সম্পন্ন করলে, কাজের পরিমাণ, ড = য়হী
যেখানে, য় = প্রত্যেকে একক সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে
হ = কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা
ী = কাজের মোট সময়
ড = হ জনে ী সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে
(৩) সময় ও দূরত্ব বিষয়ক :
নির্দিষ্ট সময়ে দূরত্ব, ফ = াঃ
যেখানে, া = প্রতি ঘণ্টায় গতিবেগ
ঃ = মোট সময়
(৪) নল ও চৌবাচ্চা বিষয়ক :
নির্দিষ্ট সময়ে চৌবাচ্চায় পানির পরিমাণ, ছ(ঃ) = ছ০ য়ঃ
যেখানে, ছ০ = নলের মুখ খুলে দেওয়ার সময় চৌবাচ্চায় জমা পানির পরিমাণ।
য় = প্রতি একক সময়ে নল দিয়ে যে পানি প্রবেশ করে অথবা বের হয়।
ঃ = অতিক্রান্ত সময়।
ছ(ঃ) = ঃ সময়ে চৌবাচ্চায় পানির পরিমাণ (পানি প্রবেশ হওয়ার শর্তে ‘+’ চিহ্ন এবং পানি বের হওয়ার শর্তে ‘Ñ’ চিহ্ন ব্যবহার করতে হবে।)
(৫) শতকরা অংশ বিষয়ক :
ঢ় = নৎ
যেখানে, ন = মোট রাশি; ৎ = শতকরা ভগ্নাংশ = ং১০০ = ং%; ঢ় = শতকরা অংশ = ন এর ং%
(৬) লাভ-ক্ষতি বিষয়ক :
ঝ = ঈ(ও ৎ)
লাভের ক্ষেত্র, ঝ = ঈ(ও + ৎ)
ক্ষতির ক্ষেত্রে, ঝ = ঈ(ও ৎ)
যেখানে, ঝ (টাকা) = বিক্রয়মূল্য; ঈ (টাকা) = ক্রয়মূল্য; ও = লাভ বা মুনাফা; ৎ = লাভ বা ক্ষতির হার
(৭) বিনিয়োগ-মুনাফা বিষয়ক :
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, ও = চহৎ টাকা
অ = চ + ও = চ+চহৎ = চ(১+হৎ) টাকা
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে, অ = চ(১ + ৎ)হ
যেখানে, ও = হ সময় পরে মুনাফা; হ = নির্দিষ্ট সময়; চ = মূলধন; ৎ = একক সময়ে একক মূলধনের মুনাফাদ; অ = হ সময় পরে মুনাফাসহ মূলধন।
