নবম শ্রেণির গণিত অনুক্রম ও ধারা সমাধান ২০২৪

নবম শ্রেণির গণিত অনুক্রম ও ধারা সমাধান নিচে দেওয়া হলো। যেখানে ৯ম শ্রেণির গণিত বইয়ের অভিজ্ঞতার শিরোনাম ২ এর ২৯ থেকে ৫৮ পৃষ্ঠার অনুক্রম ও ধারার একক কাজ, অনুশীলনীর কাজগুলোর সমাধান দেওয়া হয়েছে। এটি কারিকুলাম ২০২১ এর বইয়ের সমাধান।

অনুক্রম ও ধারা

কমপক্ষে তিনটি মৌলিক সংখ্যা খুজে বের করতে হবে। শর্ত হলো: পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার পার্থক্য সাধারণ বা একই হতে হবে এবং শর্ত মেনে খালি ঘরগুলো পূরণ করতে হবে। যদি শর্ত মেনে তিনটি সংখ্যা না পাওয়া যায়, তবে তার কারণ ব্যাখ্যা করো।

সাধারণ পার্থক্য	১ম সংখ্যা	২য় সংখ্যা	৩য় সংখ্যা	…….
2	3	5	7
4	3	7	11
9	সম্ভব নয় । কারণ মৌলিক সংখ্যার সাথে বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে যৌগিক সংখ্যা হয়।
10	3	13	23
14	3	17	31
20	3	23	43

একক কাজ (পৃষ্ঠ-৩৩)

ধ্রুবক অনুক্রমের দুইটি উদাহরণ দাও এবং প্রত্যেকটির -তম পদ লেখো।

সমাধান:

i) 1,4,9,16… এবং n -তম পদ = n²

ii) 2,4, 6, 8…. এবং n -তম পদ =2n

একক কাজ (পৃষ্ঠ-৩৩)

বর্গাকার সংখ্যার অনুক্রমটি লেখো এবং বর্গের সাহায্যে চিত্রিত করো।

সমাধান:

বর্গাকার অনুক্রমটি হলো:

নিম্নে বর্গের সাহায্যে চিত্রিত করাহলো:

জোড়ায় কাজ (পৃষ্ঠ-৩৩)

ক) নিচের অনুক্রমগুলোর সাধারণ পদ নির্ণয় করো:

i) 3, 6, 9,.. ii) 5, -25, 125, -625,..

iii) $\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{, - }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{, }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}{\rm{, - }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{5}}}{\rm{,}}...$

iv) $\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{}}}}{\rm{, }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{, }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{3}}}}}{\rm{, }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{4}}}}}{\rm{,}}...$

খ) প্রদত্ত সাধারণ পদ থেকে অনুক্রমগুলো নির্ণয় করো:

i) $\frac{{n - 1}}{{n + 1}}$ ii) ${\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\frac{n}{{n + 1}}$

iii) ${\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{n}{{2n + 1}}$ iv) $\frac{{{n^2}}}{{2{n^2} - 1}}$

সমাধান:

ক) নিম্নে অনুক্রমগুলোর সাধারণ পদ নির্ণয় করা হলো:

i) প্রদত্ত অনুক্রম: 3, 6, 9,..

সাধারণ পদ $= 3n{\rm{; n}} = {\rm{1,2,3,4,}}........$

ii) প্রদত্ত অনুক্রম: 5, -25, 125, -625,..

সাধারণ পদ $= {( - 1)^{n + 1}}{.5^n}{\rm{; n}} = {\rm{1,2,3,4,}}........$

iii) প্রদত্ত অনুক্রম: $\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{, - }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{, }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}{\rm{, - }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{5}}}{\rm{,}}...$

সাধারণ পদ $= {{\rm{(}} - {\rm{1)}}^{{\rm{n}} + {\rm{1}}}}{\rm{.}}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{n}} + {\rm{1}}}}{\rm{; n}} = {\rm{1,2,3,4,}}........$

রা) প্রদত্ত অনুক্রম: $\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{}}}}{\rm{, }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{2}}}}}{\rm{, }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{3}}}}}{\rm{, }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{4}}}}}{\rm{,}}...$ (পাঠ্য বইয়ের অংকটি ভূল থাকতে পারে তাই এখানে একটু পরিবর্তন করা হয়েছে)

সাধারণ পদ $= \frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{\rm{n}}}}}{\rm{; n}} = {\rm{1,2,3,4,}}........$

খ) নিম্নে সাধারণ পদ থেকে অনুক্রম নির্ণয় করা হলো:

i) প্রদত্ত সাধারণ অনুক্রম $= \frac{{n - 1}}{{n + 1}}$

n=1 হলে অনুক্রমের প্রথম পদ $= \frac{{1 - 1}}{{1 + 1}} = \frac{0}{2} = 0$

n=2 হলে অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ $= \frac{{2 - 1}}{{2 + 1}} = \frac{1}{3}$

n=3 হলে অনুক্রমের তৃতীয় পদ $= \frac{{3 - 1}}{{3 + 1}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

n=4 হলে অনুক্রমের চতুর্থ পদ $= \frac{{4 - 1}}{{4 + 1}} = \frac{3}{5}$

………………………………………………….

নির্ণেয় অনুক্রম $= 0,\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{3}{5},............$

ii)

প্রদত্ত সাধারণ অনুক্রম $= {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\frac{n}{{n + 1}}$

n=1 হলে অনুক্রমের প্রথম পদ $= {( - 1)^{1 + 1}}\frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$

n=2 হলে অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ $= {( - 1)^{2 + 1}}\frac{2}{{2 + 1}} = - \frac{2}{3}$

n=3 হলে অনুক্রমের তৃতীয় পদ $= {( - 1)^{3 + 1}}\frac{3}{{3 + 1}} = \frac{3}{4}$

n=4 হলে অনুক্রমের চতুর্থ পদ $= {( - 1)^{4 + 1}}\frac{4}{{4 + 1}} = - \frac{4}{5}$

………………………………………………….

নির্ণেয় অনুক্রম $= \frac{1}{2}, - \frac{2}{3},\frac{3}{4}, - \frac{4}{5},............$

iii) প্রদত্ব সাধারণ অনুক্রম $= {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{n}{{2n + 1}}$

হলে অনুক্রমের প্রথম পদ $= {( - 1)^{1 - 1}}\frac{1}{{2.1 + 1}} = \frac{1}{3}$

হলে অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ $= {( - 1)^{2 - 1}}\frac{2}{{2.2 + 1}} = - \frac{2}{5}$

হলে অনুক্রমের তৃতীয় পদ $= {( - 1)^{3 - 1}}\frac{3}{{2.3 + 1}} = \frac{3}{7}$

হলে অনুক্রমের চতুর্থ পদ $= {( - 1)^{4 - 1}}\frac{4}{{2.4 + 1}} = - \frac{4}{9}$

…………………………………………………

নির্ণেয় অনুক্রম $= \frac{1}{3}, - \frac{2}{5},\frac{3}{7}, - \frac{4}{9},............$

রা) প্রদত্ত সাধারণ অনুক্রম $= \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} - 1}}$

হলে অনুক্রমের প্রথম পদ $= \frac{1}{{{{2.1}^2} + 1}} = \frac{1}{3}$

হলে অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ $= \frac{2}{{{{2.2}^2} + 1}} = \frac{2}{9}$

হলে অনুক্রমের তৃতীয় পদ $= \frac{3}{{{{2.3}^2} + 1}} = \frac{3}{{19}}$

হলে অনুক্রমের চতুর্থ পদ $= \frac{4}{{{{2.4}^2} + 1}} = \frac{4}{{33}}$

………………………………………………….

নির্ণেয় অনুক্রম $= \frac{1}{3},\frac{2}{9},\frac{3}{{19}},\frac{4}{{33}},............$

মাথা খাটাও (পৃষ্ঠ-৩৪)
অনুক্রমের পরের পদগুলো নির্ণয় করো:

i) -1, 2, 5, 8, ……, ……, ……, ii) 3.4, 4.5, 5.6, ……, ……, ……,

সমাধান:

i) -1, 2, 5, 8, 11, 14, 17
ii) 3.4, 4.5, 5.6, 7, 7.8, 8.9

Share to help others: