এসএসসি

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত নবম অধ্যায় ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ৯.২ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান সহ সকল অধ্যায়ের অনুশীলনীর প্রশ্ন উত্তর সহ MCQ ও সৃজনশীল প্রশ্ন ব্যাংক পেতে সম্পূর্ণ পোস্টটি পড়ুন। অধ্যায় ৯ ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ৯.২ অনুশীলনী পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান কোণ অনুপাত 0° 30° 45° 60° 90° sine 0   1 cosine 1 0 tangent 0 1 অসংজ্ঞায়িত cotangent অসংজ্ঞায়িত 1 0 secant 1 2 অসংজ্ঞায়িত cosecant অসংজ্ঞায়িত 2 1   নবম-দশম শ্রেণির ৯.২ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান প্রশ্ন \ 1 \ cosθ = হলে, cotθ এর মান কোনটি? √ (খ) 1 (গ) 3 (ঘ) 2 ব্যাখ্যা : = = 3 ∴ cotθ = BC/AC = প্রশ্ন \ 2 \ (i) sin2θ = 1 – cos2θ (ii) sec2θ = 1 + tan2θ (iii) cot2θ = 1 – tan2θ উপরের তথ্যের আলোকে নিম্নের কোনটি সঠিক? √ i ও ii খ. i ও iii গ. ii ও iii ঘ. i, ii ও iii ব্যাখ্যা : sin2 + cos2θ = 1 ∴ sin2θ = 1 – cos2θ sec2θ – tan2θ = 1 ∴ sec2θ = 1 + tan2θ ∴ তথ্যানুসারে i ও ii সঠিক। চিত্র অনুযায়ী 3 ও 4নং প্রশ্নের উত্তর দাও : প্রশ্ন \ 3 \ sinθ এর মান কোনটি? ক. 3/4 খ. 4/3 √ 3/5 ঘ. 4/5 ব্যাখ্যা : AC = = 5 ∴ sinθ = AB/AC = 3/5 প্রশ্ন \ 4 \ cotθ এর মান কোনটি? ক. 3/4 খ. 3/5 গ. 4/5 √ 4/3 ব্যাখ্যা : cotθ = BC/AB = 4/3 ⇒ মান নির্ণয় কর (5 – 8) প্রশ্ন \ 5 \ সমাধান : প্রদত্ত রাশি \[\begin{array}{l} = \frac{{1 – co{t^2}60^\circ }}{{1 + co{t^2}60^\circ }}\\ {\rm{ = }}\frac{{1 – {{(cot60^\circ )}^2}}}{{1 + {{(cot60^\circ )}^2}}}{\rm{ }}\\ {\rm{ = }}\frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}{\rm{ }}\\ {\rm{ = }}\frac{{1 – \frac{1}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}}}\\ = \frac{{\frac{{3 – 1}}{3}}}{{\frac{{3 + 1}}{3}}}\\ = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\\ = \frac{1}{2} \end{array}\] (Ans.) প্রশ্ন \ 6 \ tan45°. sin260°. tan30°. tan60° সমাধান : প্রদত্ত রাশি = tan45°. sin260°. tan30°. tan60° \[\begin{array}{l} {\rm{ = 1 }} \times {\rm{ }}{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} \times \frac{1}{{\sqrt 3 }} \times \sqrt 3 \\ {\rm{ = }}1 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{{\sqrt 3 }} \times \sqrt 3 {\rm{ = }}\frac{3}{4} \end{array}\](Ans.) প্রশ্ন \ 7 \ সমাধান : প্রদত্ত রাশি \[\begin{array}{l} = \;\frac{{1 – co{s^2}60^\circ }}{{1 + co{s^2}60^\circ }} + {\rm{ }}se{c^2}60^\circ \\ {\rm{ = }}\frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}} + {(2)^2}\\ = \frac{{1 – \frac{1}{4}}}{{1 + \frac{1}{4}}} + 4{\rm{ }}\\ {\rm{ = }}\frac{{\frac{{4 – 1}}{4}}}{{\frac{{4 + 1}}{4}}} + 4\\ {\rm{ = }}\left( {\frac{3}{4} \times \frac{4}{5}} \right) + 4\\ {\rm{ = }}\frac{3}{5} + 4{\rm{ = }}\frac{{3 + 20}}{5}{\rm{ = }}\frac{{23}}{5}{\rm{ (Ans)}} \end{array}\] প্রশ্ন \ 8 \ cos45°.cot260°.cosec230° সমাধান : প্রদত্ত রাশি = cos45°.cot260°.cosec230° \[\begin{array}{l} {\rm{ = }}\frac{1}{{\sqrt 2 }} \times {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \times {(2)^2}\\ {\rm{ = }}\frac{1}{{\sqrt 2 }} \times \frac{1}{3} \times 4{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 2 \times \sqrt 2 \times 2}}{{\sqrt 2 \times 3}}{\rm{ }}\\ {\rm{ = }}\frac{{2\sqrt 2 }}{3}{\rm{ (Ans}}{\rm{.)}} \end{array}\] ⇒ দেখাও যে, (9 -15) প্রশ্ন \ 9 \ cos2 30° – sin2 30° = cos 60°. সমাধান : আমরা জানি, \[\begin{array}{l} {\rm{cos30}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{; }}\\ {\rm{cos60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{1}{2}\\ sin{\rm{ }}30^\circ = \frac{1}{2} \end{array}\] বামপক্ষ \[\begin{array}{l} co{s^2}30^\circ – si{n^2}30^\circ \\ {\rm{ = }}{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ – }}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ }}\\ {\rm{ = }}\frac{3}{4}{\rm{ – }}\frac{1}{4}\\ {\rm{ = }}\frac{{31}}{4}{\rm{ = }}\frac{2}{4}{\rm{ = }}\\ {\rm{ = }}\frac{1}{2} \end{array}\] ডানপক্ষ = cos 60° = 1/2 অর্থাৎ, cos2 30° – sin2 30° = cos 60° (দেখানো হলো) প্রশ্ন \ 10 \ sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° = sin 90° সমাধান : আমরা জানি, \[\begin{array}{l} {\rm{sin 60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{; }}\\ {\rm{sin 30}}^\circ {\rm{ = }}\frac{1}{2}{\rm{; }}\\ {\rm{cos 30}}^\circ {\rm{ = }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ {\rm{cos 60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{1}{2} \end{array}\] এখন, বামপক্ষ \[\begin{array}{l} = sin{\rm{ }}60^\circ .cos30^\circ + cos60^\circ .sin30^\circ \\ {\rm{ = }}\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot {\rm{ }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{ + }}\frac{1}{2} \cdot {\rm{ }}\frac{1}{2}\\ {\rm{ = }}\frac{3}{4}{\rm{ + }}\frac{1}{4}{\rm{ = }}\frac{{3 + 1}}{4}{\rm{ = }}\frac{4}{4}{\rm{ = 1}} \end{array}\] ডানপক্ষ = sin90° = 1 অর্থাৎ, sin60°.cos30°+cos60° sin30°= sin90° (দেখানো হলো) প্রশ্ন \ 11 \ cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30° = cos 30° সমাধান : বামপক্ষ = cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30° \[\begin{array}{l} {\rm{ = }}\frac{1}{2} \times {\rm{ }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{ + }}\frac{{\sqrt 3 }}{2} \times {\rm{ }}\frac{1}{2}\\ {\rm{ = }}\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\rm{ + }}\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 3 }}{4}\\ {\rm{ = }}\frac{{2\sqrt 3 }}{4}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{ = cos 30}}^\circ {\rm{ }} \end{array}\]= ডানপক্ষ অর্থাৎ, cos60°.cos30° + sin60° sin30° = cos30° [ দেখানো হলো ] প্রশ্ন \ 12 \ sin 3A = cos 3A যদি A = 15° হয়। সমাধান : দেওয়া আছে, A = 15° বামপক্ষ = sin 3A = sin (3 × 15°) = sin 45° = ডানপক্ষ = cos3A = cos (3 × 15°) = cos 45° = অর্থাৎ, sin3A = cos3A (দেখানো হলো) প্রশ্ন \ 13 \ sin2A = যদি A = 45° হয়। সমাধান : দেওয়া আছে, A = 45° বামপক্ষ = sin2A = sin(2 × 45°) = sin90° = 1 ডানপক্ষ = অর্থাৎ, sin2A = (দেখানো হলো) প্রশ্ন \ 14 \ tan2A = যদি A = 30° হয়। সমাধান : দেওয়া আছে, A = 30° বামপক্ষ = tan2A = tan (2 × 30°) = tan60° = ডানপক্ষ = অর্থাৎ, tan2A = (দেখানো হলো)   প্রশ্ন \ 15 \ cos2A = যদি A = 60° হয়। সমাধান : দেওয়া আছে, A = 60° বামপক্ষ = cos2A = cos(2 × 60°) = cos120° = cos (90° + 30°) = – sin30° = – ডানপক্ষ = =  = অর্থাৎ, cos2A = (দেখানো হলো) প্রশ্ন \ 16 \ 2 cos(A+B) = 1 = 2 sin(A-B) এবং অ, ই সূক্ষকোণ হলে দেখাও যে, A = 45°, ই = 15°। সমাধান : দেওয়া আছে, 2cos (A+B) = 1 বা, cos(A+B) = বা, cos(A+B) = cos 60° [∵ cos 60° = ] বা, A+B = 60° …………………(i) আবার, 2sin (A-B) = 1

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত নবম অধ্যায় ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ৯.১ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান দেখতে নিচে চোখ রাখুন। অন্যান্য অধ্যায়গুলোর উত্তর পেতে নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন। সাধারণ গণিত নবম অধ্যায় ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ৯.১ অনুশীলনী পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি ⇒ ত্রিকোণমিতি কাকে বলে? : ‘ত্রিকোণ’ শব্দটি দ্বারা তিনটি কোণ বোঝায় আর ‘মিতি’ শব্দটির অর্থ পরিমাপ বোঝায়। ইংরেজিতে ত্রিকোণমিতিকে Trigonometry বলা হয় ‘Trigon’ গ্রিক শব্দটির অর্থ তিনটি কোণ বা ত্রিভুজ এবং “metry” শব্দের অর্থ পরিমাপ। অর্থাৎ, গণিতের যে শাখায় ত্রিভুজ সংক্রান্ত বিভিন্ন পরিমাপ সম্পর্কে বিশেষভাবে আলোচনা করা হয় তাকে ত্রিকোণমিতি বলে। ⇒ সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর নামকরণ : সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো অতিভুজ, ভুমি ও উন্নতি নামে অভিহিত হয়। আবার, সমকোণী ত্রিভুজের সূ্ক্ষকোণদ্বয়ের একটির সাপেক্ষে অবস্থানের প্রেক্ষিতেও বাহুগুলোর নামকরণ করা হয়। যথা : ক. ‘অতিভুজ’, সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু যা সমকোণের বিপরীত বাহু খ. ‘বিপরীত বাহু’, যা হলো প্রদত্ত কোণের সরাসরি বিপরীত দিকের বাহু গ. ‘সন্নিহিত বাহু’, যা প্রদত্ত কোণ সৃষ্টিকারী একটি রেখাংশ। ∠PON কোণের জন্য অতিভুজ OP, সন্নিহিত বাহু ON, বিপরীত বাহু PN ∠OPN কোণের জন্য অতিভুজ OP, সন্নিহিত বাহু PN, বিপরীত বাহু ON ∠XOA সাপেক্ষে সমকোণী ত্রিভুজ POM-এর PM বাহুকে লম্ব, OM বাহুকে ভুমি, OP বাহুকে অতিভুজ ধরা হয়। এখন, ∠XOA = θ ধরলে θ কোণের যে ছθটি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পাওয়া যায় তা বর্ণনা করা হলো। PM/OP = লম্ব/অতিভুজ =  sinθ OM/OP = ভূমি/অতিভুজ =  cosθ. PM/OM = লম্ব/ভূমি =  tanθ. OM/PM = ভূমি/লম্ব =  cotθ. OP/OM = অতিভুজ/ভূমি =  secθ. OP/PM = অতিভুজ/লম্ব =  cosecθ. *** মনে রাখার সহজ উপায়: sinθ = সাগরে লবণ অনেক cosθ = কবরে ভূত অনেক tanθ =  ট্যারা লম্বা ভূত ত্রিকোণমিতিক সূত্রসমূহ 1. sinθ. cosecθ = 1 ∴sinθ= এবং cosecθ = 2. cosθ.secθ= 1 ∴cosθ= এবং secθ = 3. tanθ.cotθ = 1 ∴ tanθ= এবং cotθ = 4. tanθ=PM/OM ∴ tanθ= এবং একইভাবে, cotθ = ⇒ ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি পিথাগোরাসের প্রতিজ্ঞা ব্যবহার করে যে সম্পর্ক পাওয়া যায় তা হলো : 1. sin2θ + cos2θ = 1 বা, sin2θ = 1 – cos2θ বা, cos2θ = 1 – sin2θ 2. 1 + tan2θ = sec2θ বা, sec2θ – tan2θ = 1 3. 1 + cot2θ = cosec2θ বা, cosec2θ – cot2θ = 1 4. sec2q – tan2q = 1 5. cosec2q – cot2q = 1 সাধারণ গণিত নবম অধ্যায় ৯.১ অনুশীলনীর প্রশ্ন সমাধান প্রশ্ন \ 1 \ নিচের গাণিতিক উক্তিগুলোর সত্য-মিথ্যা যাচাই কর। তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও। (ক) tanA এর মান সর্বদা 1 এর চেয়ে কম। সমাধান : উক্তিটি মিথ্যা। যুক্তি : যখন A = 45°, তখন tanA এর মান tan 45° = 1। আবার, যখন A = 60° তখন tanA এর মান tan 60° = √3 = 1.732 > 1 অর্থাৎ tanA এর মান 1 অথবা 1 অপেক্ষা বেশিও হতে পারে। (খ) cotA হলো cot ও A এর গুণফল। সমাধান : উক্তিটি মিথ্যা। যুক্তি : cotA দ্বারা একটি কোণের পরিমাপকে বুঝানো হয়। A বাদে cot এর আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না। (গ) A এর কোন মানের জন্য secA = 12/5 সমাধান : দেওয়া আছে, secA = 12/5 বা, 1/cosA = 12/5 বা, cosA = 5/12 = cos65.37° [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে] ∴ A = 65.37° = 65.37° নির্ণেয় A এর মান 65.37° (ঘ) cos হলো cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ। সমাধান : উক্তিটি মিথ্যা। যুক্তি : cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ হলো cot এবং cosine এর সংক্ষিপ্ত রূপ হলো cos। প্রশ্ন \ 2 \ sinA = 3/4 হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয় কর। সমাধান : দেওয়া আছে, sinA = 3/4 অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু BC = 3 এবং অতিভুজ AC = 4 ∴ AB = = = \[\begin{array}{l} \therefore {\rm{cosA = }}\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\\ \therefore {\rm{ tanA = }}\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{3}{{\sqrt 7 }}\\ \therefore {\rm{ cotA = }}\frac{1}{{tanA}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\\ {\rm{ }}\therefore {\rm{ secA = }}\frac{1}{{cosA}} = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\\ \therefore {\rm{cosecA = }}\frac{1}{{sinA}} = \frac{4}{3} \end{array}\] প্রশ্ন \ 3 \ দেওয়া আছে, 15 cotA = 8, sinA ও secA এর মান বের কর। সমাধান : দেওয়া আছে, 15 cotA = 8 ∴cotA = 8/15 অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু BC = 15 সন্নিহিত বাহু AB = 8 অতিভুজ AC = = = √289 = 17 ∴ sinA = 15/17 ও secA = 17/8 নির্ণেয় মান, 15/17 ও 17/8 প্রশ্ন \ 4 \ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ, AB = 13 সে.মি., BC = 12 সে.মি. এবং ∠ABC = θ হলে, sinθ, cosθ ও tanθ এর মান বের কর। সমাধান : দেওয়া আছে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ। AB = 13 সে.মি., BC = 12 সে.মি. এবং ∠ABC = θ পিথাগোরাসের উপাপাদ্য হতে পাই, AB2 = AC2 + BC2 বা, AC2 = AB2 – BC2 বা, AC2 = (13)2 – (12)2 বা, AC2 = 169 – 144 বা, AC2 = 25 বা, AC = 25 ∴ AC = 5 ∴ sinθ = AC/AB = 5/13 cosθ = BC/AB = 12/13 এবং tanθ = AC/BC = 5/12 নির্ণেয় মান 5/13, 12/13, 5/12 প্রশ্ন \ 5 \ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 3 হলে, 3 sinA cosA = 3/4 এর সত্যতা যাচাই কর। সমাধান : দেওয়া আছে, tanA = √3 অতএব, লম্ব = √3 এবং ভুমি = 1 ∴অতিভুজ = = = √4 = 2 ∴ sinA = এবং cosA = বামপক্ষ = √3 sinA cosA = [মান বসিয়ে] = = ডানপক্ষ সুতরাং √3 sinA cosA = বাক্যটি সত্য। ⇒ প্রমাণ কর (6 – 20) : প্রশ্ন \ 6 \ (i) সমাধান : বামপক্ষ = + = + = = cos2A + sin2A = 1 = ডানপক্ষ [∵ sin2A + cos2A = 1] অর্থাৎ, [প্রমাণিত] (ii) সমাধান : বামপক্ষ \[\begin{array}{l} = \frac{1}{{co{s^2}A}} – \frac{1}{{co{t^2}A}}\\ = {\left( {\frac{1}{{cosA}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ – }}{\left( {\frac{1}{{\cot A}}} \right)^{\rm{2}}}\\ = se{c^2}A{\rm{ }}–{\rm{ }}ta{n^2}A\\ = 1{\rm{ }} + {\rm{ }}ta{n^2}A{\rm{ }}–{\rm{ }}ta{n^2}A\;\\ = 1 \end{array}\] = ডানপক্ষ অর্থাৎ, . [প্রমাণিত] (iii) সমাধান : বামপক্ষ \[\begin{array}{l} {\rm{ = }}\frac{1}{{si{n^2}A}} – \frac{1}{{ta{n^2}A}}\\ {\rm{ = }}\frac{1}{{si{n^2}A}} – \frac{1}{{\frac{{si{n^2}A}}{{co{s^2}A}}}}{\rm{ = }}\frac{1}{{si{n^2}A}} – \frac{{co{s^2}A}}{{si{n^2}A}}\\ {\rm{ = }}\frac{{1 – co{s^2}A}}{{si{n^2}A}}\\ {\rm{ = }}\frac{{si{n^2}A}}{{si{n^2}A}} \end{array}\] = 1 = ডানপক্ষ অর্থাৎ, [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ 7 \ (i) \[\frac{{{\bf{sinA}}}}{{{\bf{cosecA}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{cosA}}}}{{{\bf{secA}}}}{\rm{ = 1}}\] সমাধান : বামপক্ষ \[\begin{array}{l} = \frac{{sinA}}{{cosecA}}{\rm{ + }}\frac{{cosA}}{{secA}}\\ = \frac{{sinA}}{{\frac{1}{{sinA}}}}{\rm{ + }}\frac{{cosA}}{{\frac{1}{{cosA}}}}\\ = sinA.sinA{\rm{ }} + {\rm{ }}cosA.cosA\\ = si{n^2}A{\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}A \end{array}\] = 1

নবম-দশম শ্রেণির বা  এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.৪ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান দেখতে সম্পূর্ণ পোস্টটি পড়ুন। এখানে এসএসসি পরিমিতি ১৬ অধ্যায়ের সকল অনুশীলনীর উত্তরের লিংক সহ দেওয়া আছে। সেই সাথে এসএসসি সাধারণ গণিতের সকল অধ্যায়ের প্রশ্ন সমাধান দেওয়া আছে। সাধারণ গণিত ১৬.৪ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান পাঠ সম্পর্কিত সূত্রাবলী ⇒ আয়তাকার ঘনবস্তু : ∴ আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণ =  (2) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়: আয়তাকার ঘনবস্তুটির 6টি তল আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = abc ⇒ ঘনক : ঘনবস্তুর সকল বাহু সমান হয়। অর্থাৎ দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = a (1) ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য= (2) ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(a.a + a.a + a.a) = 2(a2 + a2 + a2) = 6a2 (3) ঘনকটির আয়তন = a . a . a = a3 ⇒ বেলন: উপরের চিত্রটি একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন যার ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h (1) ভূমির ক্ষেত্রফল = Πr2 (2) বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা = 2Πrh (3) সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = (Πr2 + 2Πrh + Πr2) = 2Πr(r + h) (4) আয়তন= ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = Πr2h নবম-দশম শ্রেণির ১৬.৪ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান প্রশ্ন \ 1 \ একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি., 5 সে.মি. হলে, এর পরিসীমার অর্ধেক কত সে.মি.? √ 12 খ 20 গ 24 ঘ 28 ব্যাখ্যা : পরিসীমা : = 2(5+7) সে.মি. = 2 × 12 সে.মি. = 24 সে.মি. ∴ অর্ধ পরিসীমা = 242 = 12 সে.মি. প্রশ্ন \ 2 \ একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.? ক 3√3 খ 4√3 গ 6√3 * 9√3 ব্যাখ্যা : সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ধ হলে ক্ষেত্রফল = 34 a2 নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 34 × 62 বর্গ সে.মি. = 93 বর্গ সে.মি. প্রশ্ন \ 3 \ একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে. মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে. মি. ও 7 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.? ক 24 √ 64 গ 96 ঘ 504 ব্যাখ্যা : ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a ও b এবং উচ্চতা য হলে ক্ষেত্রফল = 12 য(a + b) বর্গ একক ∴ প্রদত্ত ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 12 × 8(9 + 7) = 64 বর্গ সে.মি. প্রশ্ন \ 4 \ নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর : i. 4 সে.মি. বর্গাকার পাথরের পরিসীমা 16 সে.মি. ii. 3 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পাতের ক্ষেত্রফল 3Π বর্গ সে.মি. iii. 5 সে.মি. উচ্চতা এবং 2 সে. মি. ব্যাসার্ধের বেলন আকৃতির বস্তুর আয়তন 20Π ঘন সে.মি. উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক? ক i ও ii √ i ও iii গ ii ও iii ঘ i, ii ও iii নিচের তথ্য অনুসারে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও : প্রশ্ন \ 5 \ ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.? ক 13 খ 14 √ 14.4 (প্রায়) ঘ 15 ব্যাখ্যা : কর্ণের দৈর্ঘ্য=   = 14.4 সে.মি. (প্রায়) প্রশ্ন \ 6 \ ADF ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? ক 16 খ 32 গ 64 ঘ 128 [বি. দ্i. : এখানে সঠিক তথ্য নেই] প্রশ্ন \ 7 \ AGB অর্ধবৃত্তের পরিধি কত সে.মি.? ক 18 √ 18.85 (প্রায়) গ 37.7 (প্রায়) ঘ 96 ব্যাখ্যা : AGB অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ= 12/2 সে.মি. = 6 সে.মি. AGB অর্ধবৃত্তের পরিধি = সে.মি. = = 18.85 সে.মি. (প্রায়) প্রশ্ন \ 8 \ একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 16 মিটার, 12 মিটার ও 4.5 মিটার। এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য ও আয়তন নির্ণয় কর। সমাধান : দেওয়া আছে, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a= 16 মিটার ” প্রস্থ, b= 12 মিটার ” উচ্চতা, c = 4.5 মিটার ∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক = 2(16 × 12 + 12 × 4.5 + 4.5 × 16) বর্গমিটার = 2(192 + 54 + 72) বর্গমিটার = 636 বর্গমিটার ∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য = একক = মিটার = মিটার = √420.25 মিটার = 20.5 মিটার এবং আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন= abc ঘন একক = (16 × 12 × 4.5) ঘনমিটার = 864 ঘনমিটার নির্ণেয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য ও আয়তন যথাক্রমে 636 বর্গমিটার; 20.5 মিটার ও 864 ঘনমিটার। প্রশ্ন \ 9 \ একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 21 : 16 : 12 এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 87 সে. মি. হলে, ঘন বস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a= 21x সে. মি. প্রস্থ, b= 16x সে. মি. উচ্চতা, c = 12x সে. মি. এবং কর্ণ = 87 সে. মি. আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ = বা, 87 = বা, (21x)2 + (16x)2 + (12x)2 = (87)2      [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, 441×2 + 256×2 + 144×2  = 7569 বা, 841×2 = 7569 বা, x2 = 9 ∴ x = √9 = 3 সুতরাং দৈর্ঘ্য, a= 21x = 21 × 3 সে. মি. = 63 সে. মি. প্রস্থ, b= 16x = 16 × 3 সে. মি. = 48 সে. মি. এবং উচ্চতা, c = 12x = 12 × 3 সে. মি. = 36 সে. মি. আমরা জানি, ঘনবস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) = 2 (63 × 48 + 48 × 36 + 36 × 63) = 2 (3024 + 1728 + 2268) = 2 × 7020 = 14040 বর্গ সে. মি. নির্ণেয় ঘনবস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল 14040 বর্গ সে. মি.। প্রশ্ন \ 10 \ একটি আয়তাকার ঘনবস্তু 48 বর্গমিটার ভূমির উপর দণ্ডায়মান। এর উচ্চতা 3 মিটার এবং কর্ণ 13 মিটার। আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য= a মি. আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ = b মি. ∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = aন বর্গ মি. = 48 বর্গমি.। আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তু এর কর্ণ, d = এখানে, উচ্চতা, c = 3 মিটার ∴ 13 = বা, 169 = a2 + b2 + 9 বা, a2 + b2 = 169 – 9 = 160 ……….. (i) ∴ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 160 + 2 × 48 = 256 [∵ a2 + b2 = 160 ও ab = 48] ∴ ধ + b= √256 = 16 …………………..(ii) আবার, (a-b)2 = a2 + b2 – 2ab

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.৩ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান পেতে সম্পূর্ণ পোস্টটি পড়ুন। বহুনির্বাচনী ও সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধানের লিংক নিচে দেওয়া হবে। সাধারণ গণিত ১৬.৩ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান পাঠ সম্পর্কিত সূত্রাবলী ⇒ বৃত্ত সংক্রান্ত পরিমাপ : বৃত্তের পরিধি = 2Πr  = 3.1416……….. ⇒ বৃত্তাংশের দৈর্ঘ্য মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং AB = S বৃত্তচাপ কেন্দ্রে θ° কোণ উৎপন্ন করে। ∴ বৃত্তের পরিধি = 2Πr বৃত্তের কেন্দ্রে মোট উৎপন্ন কোণ = 360° এবং চাপ S দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের ডিগ্রী পরিমাণ θ° আমরা জানি, বৃত্তের কোনো চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ বৃত্তচাপের সমানুপাতিক। ∴ বা, ⇒ বৃত্তক্ষেত্র ও বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল: বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = নবম-দশম শ্রেণির ১৬.৩ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান প্রশ্ন \ 1 \ একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 30° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 126 সে. মি. হলে, চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। সমাধান : বৃত্তের চাপের ডিগ্রি পরিমাপ, x = 30° বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ব্যাস÷2 = 126÷2 সে. মি. = 63 সে. মি. মনে করি, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = ‍S সে. মি. আমরা জানি, S = = সে. মি. [∵ Π = 3.1416] = 32.987 সে. মি. (প্রায়) নির্ণেয় বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য 32.987 সে. মি. (প্রায়)। প্রশ্ন \ 2 \ প্রতি মিনিটে 66 মিটার বেগে 112 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো মাঠ ঘুরে এলো। ঐ মাঠের ব্যাস নির্ণয় কর। সমাধান : দেওয়া আছে, বেগ = 66 মিটার/মিনিট এবং সময় = 1 মিনিট = মিনিট ঘোড়াটি 1 মিনিটে যায় 66 মিটার ∴ মিনিটে যায় = 66 × মিটার = 99 মিটার বৃত্তের ব্যাসার্ধ r মিটার হলে, ব্যাস = 2r মিটার এবং পরিধি = 2Πr মিটার শর্তানুসারে, 2Πr = 99 বা, 2r = 99÷Π = 99÷3.1416 = 31.512605 = 31.513 মিটার (প্রায়) নির্ণেয় মাঠের ব্যাস 31.513 মিটার (প্রায়)। প্রশ্ন \ 3 \ একটি বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল 77 বর্গমিটার এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21 মিটার। বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে, তা নির্ণয় কর। সমাধান : আমরা জানি, বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল = বর্গ একক যেখানে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r এবং চাপের ডিগ্রি পরিমাপ = θ প্রশ্নমতে, 77 = বা, θ = = 20.008 নির্ণেয় কোণ 20.008° প্রশ্ন \ 4 \ একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সে. মি. এবং বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 75° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। সমাধান : দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 14 সে. মি. বৃত্তাংশের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের পরিমাপ, θ = 75° আমরা জানি, বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল =  বর্গ একক = বর্গ সে.মি. = বর্গ সে.মি. = বর্গ সে.মি. = 5 × 0.5236 × 49 বর্গ সে.মি. = 128.282 বর্গ সে. মি. (প্রায়) নির্ণেয় বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল 128.282 বর্গ সে.মি. (প্রায়)। প্রশ্ন \ 5 \ একটি বৃত্তাকার মাঠকে ঘিরে একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ভিতরের পরিধি অপেক্ষা বাইরের পরিধি 44 মিটার বড়। রাস্তাটির চওড়া নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, বাইরের বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OB = R মি. এবং ভেতরের বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = r মি. তাহলে, রাস্তাটির বিস্তার = (R – r) মি. জ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি = 2Πজ মি. এবং R ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি = 2Πr মি. প্রশ্নমতে, 2ΠR – 2Πr = 44 বা, 2Π (R – ৎ) = 44 বা, R – r = 44÷2Π = 44÷(2 × 3.1416) = 22÷3.1416 = 7.0028011 = 7.002 (প্রায়) নির্ণেয় রাস্তাটি 7.002 মিটার চওড়া (প্রায়)। প্রশ্ন \ 6 \ একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস 26 মিটার। পার্কটিকে বেষ্টন করে বাইরে 2 মিটার প্রশস্ত একটি পথ আছে। পথটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ঙ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস AB এবং পার্কটিকে বেষ্টন করে BF প্রশস্ত একটি পথ বিদ্যমান। দেওয়া আছে, বৃত্তাকার পার্কের ব্যাস, AB = 26 মিটার এবং পথটির প্রশস্ততা, BF = 2 মিটার বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ, r1 = AB÷2 = 26÷2 মি. = 13 মি. এবং পার্কসহ পথ দ্বারা গঠিত বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ, r2 = OB + 2 = (13 + 2) মিটার = 15 মিটার এখন, জানা আছে, যেকোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল Πr2 বর্গ একক যেখানে r = উক্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং Π = 3.1416 ∴ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল , A1 = Πr12 বর্গ মি. = 3.1416 × (13)2 বর্গ মি. = 530.93 বর্গ মি. এবং পার্কসহ পথ দ্বারা গঠিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A2 = Πr22 বর্গ মি. = 3.1416 × (15)2 বর্গ মি. = 706.86 বর্গ মি. অতএব, পথটির ক্ষেত্রফল = (A2 – A1) বর্গমি. = (706.86 – 530.93) বর্গমি. = 175.93 বর্গ.মি. (প্রায়) নির্ণেয় পথের ক্ষেত্রফল 175.93 বর্গমি. (প্রায়)। প্রশ্ন \ 7 \ একটি গাড়ির সামনের চাকার ব্যাস 28 সে.মি. এবং পিছনের চাকার ব্যাস 35 সে.মি.। 88 মিটার পথ যেতে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা কত পূর্ণসংখ্যক বার বেশি ঘুরবে? সমাধান : গাড়ির সামনের চাকার ব্যাসার্ধ= 28÷2 সে.মি. = 14 সে.মি. গাড়ির পিছনের চাকার ব্যাসার্ধ= 35÷2 সে.মি. অতএব, গাড়ির সামনের চাকার পরিধি = 2 × 3.1416 ×14 সে.মি. = 87.9648 সে.মি. (প্রায়) এবং গাড়ির পিছনের চাকার পরিধি = 2 × 3.1416 × 35÷2 সে.মি. = 109.956 সে.মি. এখন, 88 মি. = 88 × 100 সে.মি. সুতরাং 88 মিটার পথ যেতে গাড়ির সামনের চাকা ঘুরবে   বার = 100.04 বার = 100 বার (প্রায়) এবং গাড়ির পিছনের চাকা ঘুরবে বার = 80.032 বার = 80 বার (প্রায়) অতএব, সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা (100 – 80) বা, 20 বার বেশি ঘুরবে। (Ans) প্রশ্ন \ 8 \ একটি বৃত্তের পরিধি 220 মিটার। ঐ বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ= r মিটার বৃত্তের পরিধি = 2Πr একক। প্রশ্নানুসারে, 2Πr = 220 বা, 2 × 3.1416 × r = 220 বা, 6.2832r = 220 বা, r = 35.014 ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ= 35.014 মিটার বৃত্তের ব্যাস AC = 2 × 35.014 মি. = 70.028 মিটার (প্রায়) এখন, ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ থেকে আমরা পাই, AB2 + BC2 = AC2 বা, 2AB2 = AC2, [∵ BC = AB] বা, √2 AB = AC বা, AB = × 70.028 = 49.5173 মিটার ∴ বৃত্তে অন্তর্লিখিত বাহুর দৈর্ঘ্য 49.517 মিটার (প্রায়)। (Ans) প্রশ্ন \ 9 \ একটি বৃত্তের পরিধি একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমার সমান। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ= r অতএব, বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = Πr2 এবং বৃত্তের পরিধি = 2Πr প্রশ্নানুসারে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 2Πr ∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a= এখন, ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বর্গ একক = বর্গ একক = বর্গ একক = বর্গ একক অতএব, বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঃ সমবাহু ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = =

নবম-দশম শ্রেণির বা  এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.২ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান পেতে নিচে দেখুন। সকল অধ্যায়ের অনুশীলনীর প্রশ্ন সমাধান সহ বহুনির্বাচনী ও সৃজনশীল প্রশ্ন উত্তরের পেতে পোস্টের শেষে দেওয়া লিংক দেখুন। নবম-দশম শ্রেণির সাধারণ গণিত ১৬.২ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি বা সূত্রসমূহ (1) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা s = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) এবং কর্ণ d = (2) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)2 লক্ষ করি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা s = 4a এবং কর্ণ d= = = √2a (3) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (ক) ভূমি ও উচ্চতা দেওয়া থাকলে। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা (খ) একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং ঐ কর্ণের বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = কর্ণের দৈর্ঘ্য × কর্ণ থেকে বিপরীত শীর্ষ বিন্দুর দুরুত্ব। (4) রম্বসের ক্ষেত্রফল = কর্ণদ্বয়ের গুণফল (5) ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =  উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল (6) সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল সুষম বহুভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান। আবার কোণগুলো সমান। n সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের কেন্দ্র ও শীর্ষ বিন্দুগুলো যোগ করলে n সংখ্যক সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। সুতরাং বহুভুজের ক্ষেত্রফল = n × একটি ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ∴ n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল সাধারণ গণিত ১৬.২ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান প্রশ্ন \ 1 \ একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার (প্রস্থ) = x মি. ∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্h= 2x মি. ∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= 2x × x = 2×2 বর্গ মি. প্রশ্নানুসারে, 2×2 = 512 বা, x2 = 256 ∴ x = 16 অতএব, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = 16 মি. এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্h= 2 × 16 মি. বা 32 মি. ∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(32 + 16) মিটার = 96 মিটার (Ans) প্রশ্ন \ 2 \ একটি জমির দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 60 মিটার। ঐ জমির মাঝে একটি পুকুর খনন করা হলো। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার 4 মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। সমাধান : দেওয়া আছে, জমির দৈর্ঘ্h= 80 মিটার এবং প্রস্থ = 60 মিটার ∴ জমির ক্ষেত্রফল = জমির দৈর্ঘ্য × জমির প্রস্থ = (80 × 60) মিটার বা 4800 বর্গমিটার পাড় বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্h= (80 – 2 × 4) মিটার = (80 – 8) মিটার বা 72 মিটার পুকুরের প্রস্থ = (60 – 2 × 4) মিটার = (60 – 8) মিটার বা 52 মিটার ∴ পাড় বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল = (72 × 52) বর্গমিটার = 3744 বর্গমিটার ∴ পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল = জমির ক্ষেত্রফল – পুকুরের ক্ষেত্রফল = (4800 – 3744) বর্গমিটার = 1056 বর্গমিটার (Ans) প্রশ্ন \ 3 \ একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 40 মিটার এবং প্রস্থ 30 মিটার। বাগানের ভিতরে সমান পাড়বিশিষ্ট একটি পুকুর আছে। পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের 12 অংশ হলে, পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর। সমাধান : ধরি, পুকুর পাড়ের প্রস্থ = x মি. এখানে, বাগানের দৈর্ঘ্h= 40 মি. এবং বাগানের প্রস্থ = 30 মি. ∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = (40 × 30) বর্গমি. বা 1200 বর্গমি. ∴ পাড়বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্h= (40 – 2x) মি. এবং পাড়বাদে পুকুরের প্রস্থ = (30 – 2x) মি. পাড়বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল = (40 – 2x) (30 – 2x) বর্গমি. শর্তানুসারে, পুকুরের ক্ষেত্রফল = × বাগানের ক্ষেত্রফল বা, (40 – 2x) (30 – 2x) = × 1200 বা, 1200 – 80x – 60x + 4×2 = 600 বা, 4×2 –140x + 1200 – 600 = 0 বা, 4×2 –140x + 600 = 0 বা, 4(x2 – 35x + 150) = 0 বা, x2 – 30x – 5x + 150 = 0 বা, x(x – 30) – 5(x – 30) = 0 বা, (x- 30) (x- 5) = 0 হয়, (x- 30) = 0 অথবা, (x- 5) = 0 ∴ x = 30 ∴ x = 5 কিন্তু পুকুরের পাড়ের প্রস্থ বাগানের প্রস্থের সমান হতে পারে না। ∴ x = 5 অর্থাৎ, পুকুর পাড়ের প্রস্থ = 5 মিটার ∴ পুকুরের দৈর্ঘ্h= (40 – 2x) মিটার = (40 – 2 × 5) মিটার = (40 – 10) মিটার = 30 মিটার এবং পুকুরের প্রস্থ = (30 – 2x) মিটার = (30 – 2 × 5) মিটার = (30 – 10) মিটার = 20 মিটার নির্ণেয় পুকুরের দৈর্ঘ্য 30 মি. এবং প্রস্থ 20 মি. প্রশ্ন \ 4 \ একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে 5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার ∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = x2 বর্গ মি. রাস্তার ক্ষেত্রফল = 500 বর্গ মি. অতএব, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (x + 500) বর্গমি. … … … … (i) আবার, রাস্তাসহ বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্h= (x + 2 × 5) মি. = (x + 10) মি. ”               ”              ” ক্ষেত্রফল = (x + 10)2 বর্গমি. = (x2 + 20x + 100) বর্গমিটার … … … … … (ii) সমীকরণ (i) ও (ii) থেকে পাই, x2 + 20x + 100 = x2 + 500 বা, 20x = 400 ∴ x = 20 অতএব, মাঠের ক্ষেত্রফল = x2 বর্গ মি. = 202 বর্গমি. = 400 বর্গমিটার। (Ans) প্রশ্ন \ 5 \ একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। প্রতিটি 40 সে.মি. বর্গাকার পাথর দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি বাঁধতে মোট কতটি পাথর লাগবে? সমাধান : মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মি. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্h= 3x মি. ∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 3×2 মি. প্রশ্নানুসারে, 3×2 = 768 বা, x2 = 256 ∴ x = 16 অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 16 মি. ∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্h= 3 × 16 মি. বা 48 মি. অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(48 + 16) মি. বা 128 মি. অতএব, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 128 মিটার ∴ ” এক বাহুর দৈর্ঘ্h= (128 ÷ 4) মি. বা 32 মি. ∴ ” ক্ষেত্রফল = (32)2 বর্গমি. বা 1024 বর্গমি. একটি পাথরের ক্ষেত্রফল = (0.4)2 বর্গমি. বা 0.16 বর্গমি. ∴ মোট পাথর লাগবে = (1024 ÷ 0.16)টি বা 6400টি। (Ans) প্রশ্ন \ 6 \ একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.১ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান নিচে দেওয়া হলো। আপনারা এখান সম্পূর্ণ নির্ভূল উত্তর পেয়ে যাবেন। সাধারণ গণিত ১৬.১ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান ১৬.১ অনুশীলনী পরিমিতি 🟥 ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত সূত্রাবলী ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা (1) সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে BC = a এবং AB = b। BC কে ভূমি এবং AB কে উচ্চতা বিবেচনা করলে, ΔABC এর ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা = 12 ab (2) ত্রিভুজের দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভূক্ত কোন দেওয়া থাকলে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ ত্রিভুজক্ষেত্রের দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে। মনে করি, ABC ত্রিভুজের বাহুদ্বয় BC = a, CA = b, AB = c। A থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব আঁকি। ধরি, উচ্চতা AD = h। কোণ c বিবেচনা করলে পাই, ADCA = sinC বা, h/b = sinC বা, h = b sinC Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 1/2 BC × AD = 12 a × b sinC = 12 ab sinC অনুরূপভাবে Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = 12 bc sinA = 12 ca sinB (3) বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ ত্রিভুজের তিন বাহু দেওয়া আছে। মনে করি, ΔABC এর BC = a, CA = b এবং AB = c। ∴ এর পরিসীমা 2s = a + b + c Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল (4) সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = (5) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ মনে করি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC = a এবং BC = b সমদ্বিবাহু Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল =   ১৬.১ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান   প্রশ্ন \ 1 \ একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, AC = 25 মিটার, BC = x মিটার এবং AB = মিটার। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, বা, বা, বা, বা, বা, ∴ [দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না তাই ধনাত্মক মান নেওয়া হলো] ∴ একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 20 মিটার ∴ অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য = 20 × মিটার বা 15 মিটার নির্ণেয় বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20 মিটার এবং 15 মিটার। প্রশ্ন \ 2 \ 20 মিটার লম্বা একটি মই দেওয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেওয়াল থেকে কত দূরে সরালে ওপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে? সমাধান : মনে করি, AC মইয়ের গোড়া c থেকে উ বিন্দুতে সরালে ওপরের প্রান্ত অ থেকে 4 মিটার নিচে B বিন্দুতে নামবে। মইয়ের দৈর্ঘ্য = AC = BD = 20 মি. এবং AB = 4 মি. ∴ BC = (20 – 4) মিটার = 16 মিটার এখন, সমকোণী ত্রিভুজ BCD এ BC2 + CD2 = BD2 বা, CD2 = BD2 – BC2 = (20)2 – (16)2 = 400 – 256 = 144 ∴ CD = 12 দেওয়াল থেকে মইটির গোড়ার দূরত্ব 12 মিটার। (Ans)   প্রশ্ন \ 3 \ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির  অংশ হলে, ত্রিভুজক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর ভূমি =x মিটার ∴ AB = AC = প্রশ্নানুসারে, X + + = 16 বা, 16 x  = 96 বা, x = 6 অতএব, BC = 6 মিটার এবং AB = AC = = 5 মিটার ধরি, a  = 6 মি., b = 5 মি., c = 5 মি. Δ ক্ষেত্র ABC এর পরিসীমা 2s = (6 + 5 + 5) মিটার = 16 মিটার ∴ s = 8 মিটার ∴ Δ ক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল = বর্গমিটার = বর্গমিটার = বর্গমিটার = বর্গমিটার = 12 বর্গমিটার ত্রিভুজক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার। (Ans) প্রশ্ন \ 4 \ একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 25 সে. মি., 27 সে. মি. এবং পরিসীমা 84 সে. মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ABC ত্রিভুজটির দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য BC = a = 25 সে.মি. ও AC = b = 27 সে. মি. এবং পরিসীমা 2s = 84 সে. মি. ∴ s = সে. মি. = 42 সে. মি. ধরি, ত্রিভুজটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = AB = c আমরা জানি, 2s = a + b + c বা, 84 = 25 + 27 + c বা, 84 = 52 + c বা, c = 84 – 52 ∴ c = 32 ত্রিভুজটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য AB = c = 32 সে. মি. ∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল \[\begin{array}{l} {\rm{ = }}\sqrt {s(s – a)(s – b)(s – c)} \\ {\rm{ = }}\sqrt {42(42 – 25)(42 – 27)(42 – 32)} \\ {\rm{ = }}\sqrt {42 \times 17 \times 15 \times 10} \\ {\rm{ = }}\sqrt {107100} \end{array}\] = 327.26 বর্গ সে.মি. অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 327.26 বর্গ সে. মি. (প্রায়) (Ans) প্রশ্ন \ 5 \ একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার। অতএব, সমবাহু ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বর্গমিটার। প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে = বর্গমিটার = বর্গমিটার ∴ প্রশ্নানুসারে, বা, বা, a2 + 4a + 4 = a2 + 24 বা, a2 + 4a – a2  = 24 – 4 বা, 4a = 20 বা, অতএব, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার। (Ans) প্রশ্ন \ 6 \ একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 26 মিটার ও b = 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল = 182 বর্গমিটার। ধরি, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ = θ আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = বা, 182 = 1/2 × 26 × 28 × Sinθ বা, 182 = 13 × 28 × Sinθ বা, 182 = 364Sinθ বা, 364Sinθ = 182 বা, Sinθ = 182/364 = 1/2 = Sin30° ∴ θ = 30° সুতরাং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° (Ans) প্রশ্ন \ 7 \ একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমির 11/ 12 অংশ থেকে 6 সে.মি. কম এবং অতিভুজ ভূমির 4/3 অংশ থেকে 3 সে.মি. কম। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। সমাধান :