গণিত

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত ২য় অধ্যায় অনুশীলনী ২.১ এর সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এখানে মিশ্র ভগ্নাংগুলো লেখার সময় পূর্ণ সংখ্যা পরে অতিরিক্ত একটি ফাঁকা জায়গা রাখা হয়েছে। ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ২.১ প্রশ্ন \ ১ \ নিচের রাশিগুলো দিয়ে সমানুপাত লেখ : (ক) ৩ কেজি, ৫ টাকা, ৬ কেজি, ১০ টাকা সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ৩ কেজি , ২য় রাশি = ৬ কেজি, ৩য় রাশি = ৫ টাকা এবং ৪র্থ রাশি = ১০ টাকা আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা,  ৩ : ৬ :: ৫ : ১০ নির্ণেয় সমানুপাত ৩ : ৬ :: ৫ : ১০। (খ) ৯ বছর, ১০ দিন, ১৮ বছর ও ২০ দিন সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ৯ বছর , ২য় রাশি = ১৮ বছর,   ৩য় রাশি = ১০ দিন এবং ৪র্থ রাশি = ২০ দিন আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩ য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা, ৯ : ১৮ :: ১০ : ২০ নির্ণেয় সমানুপাত  ৯ : ১৮ :: ১০ : ২০। (গ) ৭ সে.মি., ১৫ সেকেন্ড, ২৮ সে.মি. ও ১ মিনিট সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ৭ সে.মি., ২য় রাশি = ২৮ সে.মি., ৩য় রাশি = ১৫ সেকেন্ড এবং ৪র্থ রাশি = ১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ড আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা, ৭ : ২৮ :: ১৫ : ৬০ নির্ণেয় সমানুপাত  ৭ : ২৮ :: ১৫ : ৬০। (ঘ) ১২টি খাতা, ১৫টি পেন্সিল, ২০ টাকা ও ২৫ টাকা সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ১২টি খাতা,   ২য় রাশি = ১৫টি পেন্সিল, ৩য় রাশি = ২০ টাকা  এবং ৪র্থ রাশি = ২৫ টাকা আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা, ১২ : ১৫ :: ২০ : ২৫ নির্ণেয় সমানুপাত  ১২ : ১৫ :: ২০ : ২৫। (ঙ) ১২৫ জন ছাত্র ও ২৫ জন শিক্ষক, ২৫০০ টাকা ও ৫০০ টাকা সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ১২৫ জন ছাত্র, ২য় রাশি = ২৫ জন শিক্ষক ৩য় রাশি = ২৫০০ টাকা এবং ৪র্থ রাশি = ৫০০ টাকা আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা, ১২৫ : ২৫ :: ২৫০০ : ৫০০ নির্ণেয় সমানুপাত  ১২৫ : ২৫ :: ২৫০০ : ৫০০। প্রশ্ন \ ২ \ নিচের ক্রমিক সমানুপাতের প্রান্তীয় রাশি দুইটি দেওয়া আছে। সমানুপাত তৈরি কর : (ক) ৬, ২৪ সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ৬  এবং ৩য় রাশি = ২৪ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ৬ × ২৪ বা, ক ২ = ১৪৪ বা, ক = √১৪৪ ∴ ক = ১২ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত ৬ : ১২ :: ১২ : ২৪। (খ) ২৫, ৮১ সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ২৫  এবং ৩য় রাশি = ৮১ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ২৫ × ৮১ বা, ক ২ = ২০২৫ বা, ক = √২০২৫ ∴ ক = ৪৫ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত   ২৫ : ৪৫ :: ৪৫ : ৮১।  (গ) ১৬, ৪৯ সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ১৬  এবং ৩য় রাশি = ৪৯ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ১৬ × ৪৯ বা, ক = √(৪২ × ৭২) বা, ক = ৪ × ৭ ∴ ক = ২৮ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত   ১৬ : ২৮ :: ২৮ : ৪৯।  (ঘ) সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ৫/৭ এবং  ৩য় রাশি = ১(২/৫) বা ৭/৫ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ৫৭ × ৭৫ বা, ক ২ = ১ বা, ক = ১ ∴ ক = ১ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত   ৫৭ : ১ :: ১ : ৭৫।  (ঙ) ১.৫, ১৩.৫ সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ১.৫ = ১৫১০ = ৩২   এবং  ৩য় রাশি = ১৩.৫ = ১৩৫১০ = ২৭২ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ৩২ × ২৭২ বা, ক ২ = ৮১৪ বা, ক =  ৮১৪ = ৯২ = ৪.৫ ∴ ক = ৪.৫ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত  ১.৫ : ৪.৫ :: ৪.৫ : ১৩.৫। প্রশ্ন \ ৩ \ শূন্যস্থান পূরণ কর :  (ক) ১১ : ২৫ ::          : : ৫০ সমাধান :  ১১ : ২৫ ::      : ৫০ বা, বা, ২৫ ×     = ৫০ × ১১ বা,      = ৫০ × ১১২৫ ∴      = ২২ উত্তর : ১১ : ২৫ ::   ২২  : ৫০।  (খ) ৭ :      :: ৮ : ৬৪ সমাধান : ৭ :      :: ৮ : ৬৪ বা, ৭     = ৮৬৪ বা,      × ৮  = ৭ × ৬৪ বা,      = ৭ × ৬৪৮৮১ ∴      = ৫৬ উত্তর : ৭ :  ৫৬  :: ৮ : ৬৪।  (গ) ২.৫ : ৫.০ :: ৭ : সমাধান : ২.৫ : ৫.০ :: ৭ : বা, ২.৫৫.০ = ৭ বা, ২৫৫০ = ৭ বা,      × ২৫  = ৭ × ৫০ বা,      = ৭ × ৫০২৫ ∴      = ১৪ উত্তর : ২.৫ : ৫.০ :: ৭ :  ১৪ ।  (ঘ) ১৩ : ১৫ ::      : ৭১০ সমাধান :    ১৩ : ১৫ ::      : ৭১০ বা, ১৩১৫ =    ৭১০ বা, ৫৩ = ১০ ×   ৭ বা, ৩০ ×      = ৩৫ বা,      = ৩৫৩০ ∴      = ৭৬     উত্তর : ১৩ : ১৫ :: ৭৬ : ৭১০।  (ঙ)      : ১২.৫ :: ৫ : ২৫ সমাধান :      : ১২.৫ :: ৫ : ২৫ বা,   ১২.৫ = ৫২৫ বা,      × ২৫ = ৫ × ১২.৫ বা,      = ৫ × ১২.৫২৫ ∴      = ২.৫ উত্তর : ২.৫ :

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.১ এর সমাধান পোস্টে সকলকে স্বাগতম। এখানে এই অনুশীলনীর উত্তরের সাথে ৭ম শ্রেণির গণিতের অন্যান্য অনুশীলনীর সমাধনের লিংক শেয়ার করা হয়েছে। ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.৩ প্রশ্ন \ 1 \ কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং এদের একটি বিপরীত কোণ দেওয়া থাকলে, সর্বাধিক কয়টি ত্রিভুজ আঁকা যাবে? ক. 1 গ. 2 গ. 3 ঘ. 4 প্রশ্ন \ 2 \ কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব যখন তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য- ক. 1 সে.মি., 2 সে. মি. 3 সে. মি. খ. 3 সে.মি., 4 সে. মি. 5 সে. মি. গ. 2 সে.মি., 4 সে. মি. 6 সে. মি. ঘ. 3 সে.মি., 4 সে. মি. 7 সে. মি. ব্যাখ্যা : ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। এখানে, 3 + 4 > 5 বা, 7 > 5 প্রশ্ন \ 3 \ i. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায়। ii. দুইটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায়। iii. কোনো ত্রিভুজের একাধিক স্থূলকোণ থাকতে পারে। উপরের তথ্য অনুসারে নিচের কোনটি সঠিক? ক. i ও ii খ. ii ও iii গ. i ও iii ঘ. i, ii ও iii নিচের চিত্র অনুসারে 4-5 নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও : ৪. ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে কি বলে? ক. ক্ষেত্রফল খ. আয়তন গ. দৈর্ঘ্য ঘ. পরিসীমা 5. ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ কয়টি? ক. 1টি খ. 2টি গ. 3টি ঘ. 4টি 6. সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি? ক. 300 খ. 450 গ. 600 ঘ. 900 7. একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রী? ক. 300 খ. 600 গ. 900 ঘ. 1800 প্রশ্ন \ 8 \ C বিন্দুতে BA রেখার সমান্তরাল রেখা আঁকতে হলে, কোন কোণের সমান কোণ আঁকতে হবে? ক. ∠ABC খ. ∠ACB গ. ∠BAC ঘ. ∠CAD প্রশ্ন \ 9 \ ∠CAD এর সমান নিচের কোনটি? ক. ∠BAC + ∠ACB খ. ∠ABC + ∠ACB গ. ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC ঘ. ∠ABC + ∠BAC প্রশ্ন \ 10 \ একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক। (ক) 3 সে.মি., 4 সে.মি., 6 সে.মি. (খ) 3.5 সে.মি., 4.7 সে.মি., 5.6 সে.মি. সমাধান : (ক) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য x = 3 সে.মি., y = 4 সে.মি. এবং z = 6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রশ্মি হতে z -এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. এখন, B কে কেন্দ্র করে y- এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে এবং C কে কেন্দ্র করে x- এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করল। 4. এখন A,B ও A,C যোগ করি। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 4 সে.মি., BC = 6 সে.মি. এবং AC = 3 সে.মি.। ∴ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। (খ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য x = 3.5 সে.মি. y = 4.7 সে.মি. এবং z = 5.6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রশ্মি হতে z -এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. এখন, B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে y ও x এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করল। 4. এখন, A, B ও A, C যোগ করি। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 4.7 সে.মি., BC = 5.6 সে.মি. এবং AC = 3.5 সে.মি.। ∴ ABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। প্রশ্ন \ 11 \ একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক। (ক) 3 সে.মি., 4 সে.মি., 60° (খ) 3.8 সে.মি., 4.7 সে.মি., 45° সমাধান : (ক) বিশেষ নির্বচন : একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x = 3 সে.মি. ও y = 4 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠z = 60° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রেখাংশ হতে y-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. B বিন্দুতে ∠z-এর সমান করে ∠EBD আঁকি। 4. BD রেখা হতে x-এর সমান করে BA অংশ কেটে নিই। 5. এখন A, C যোগ করি। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 3 সে.মি., BC = 4 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = 60°। ∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। (খ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x = 3.8 সে.মি. ও ু = 4.7 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠z = 45°। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রশ্মি হতে y-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. B বিন্দুতে ∠z-এর সমান করে ∠EBD আঁকি। 4. BD রশ্মি হতে x-এর সমান করে BA অংশ কেটে নিই। 5. এখন A, C যোগ করি। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 3.8 সে.মি., BC = 4.7 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = 45°। ∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। প্রশ্ন \ 12 \ একটি ত্রিভুজের একটি বাহু ও এর সংলগ্ন দুইটি কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক। (ক) 5 সে.মি., 30°, 45° (খ) 4 সে.মি., 45°, 60° সমাধান : (ক) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের একটি বাহু x = 5 সে.মি. এবং এর সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠y = 30° ও ∠z = 45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রশ্মি হতে x-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. B বিন্দুতে ∠y-এর সমান করে ∠Cইচ এবং C বিন্দুতে ∠z-এর সমান করে ∠Bঈছ আঁকি। 4. এখন, ইচ ও ঈছ রেখাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করল। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ ∠ABC = 30°, ∠ACB = 45° এবং BC = 5 সে.মি.। ∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। (খ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের একটি বাহু x = 4 সে.মি. এবং এর সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠P = 45° ও ∠Q = 60° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BD যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BD রশ্মি হতে x-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. B বিন্দুতে ∠P -এর সমান করে ∠CBE

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.২ এর সমাধান পোস্টে সকল কে স্বাগতম। এখানে সপ্তম শ্রেণির গণিতের শুধুমাত্র অনুশীলনী ৯.২ এর সমাধান দেওয়া হয়েছে। সপ্তম শ্রেণির সকল বিষয়ের সমাধান পেতে নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন। সপ্তম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.২   নিচের তথ্যের ভিত্তিতে 1-3 নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও : চিত্রে, CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB \ CE এবং ∠ECD = 60° প্রশ্ন \ 1 \ ∠BAC এর মান নিচের কোনটি? ক. 30° খ. 45° গ. 60° ঘ. 120° ব্যাখ্যা : যেহেতু AB \ CE এবং AC ছেদক ∴ ∠BAC = ∠ACE [একান্তর কোণ] কিন্তু CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। সুতরাং ∠ACE = ∠ECD = 60° ∴ ∠BAC = 60° প্রশ্ন \ 2 \ ∠ACD এর মান নিচের কোনটি? ক. 60° খ. 90° গ.120° ঘ. 180° ব্যাখ্যা : ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD = 60° + 60° = 120° প্রশ্ন \ 3 \ ΔABC কোন ধরনের ত্রিভুজ? ক. স্থূলকোণী খ. সমদ্বিবাহু গ. সমবাহু ঘ. সমকোণী ব্যাখ্যা : যেহেতু BA \ CE এবং BD ছেদক ∴ ∠ABC = ∠ECD = 60° [অনুরূপ কোণ] আবার, ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° বা, 60° + 60° + ∠ACB = 180° বা, ∠ACB = 180° – 120° = 60° ∴ ∠ACB = 60° সুতরাং ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60° অতএব, ΔABC সমবাহু প্রশ্ন \ ৪ \ একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে 5 সে.মি. এবং 4 সে.মি. ত্রিভুজটির অপর বাহুটি নিচের কোনটি হতে পারে? ক. 1 সে.মি. গ. 4 সে.মি. গ. 9 সে.মি. ঘ. 10 সে.মি. ব্যাখ্যা : 5 সে.মি. + 4 সে.মি. = 9 সে.মি. > 4 সে.মি. প্রশ্ন \ ৫ \ সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষকোণদ্বয়ের একটি 40° হলে, অপর সূক্ষকোণের মান নিচের কোনটি? ক. 40° খ. 45° গ. 50° ঘ. 60° ব্যাখ্যা : অপর সূক্ষকোণ = 90° – 40° = 50° প্রশ্ন \ 6 \ কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে? ক. সমবাহু খ. সূক্ষকোণী গ. সমকোণী ঘ. স্থূলকোণী প্রশ্ন \ 7 \ ΔABC-এ AB > AC এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, PB > PC. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ΔABC এ AB > AC এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, PB > PC. প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা 1. ΔABC -এ AB > AC [কল্পনা] ∴ ∠ACB > ∠ABC [ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর] ∴1/2 ∠ACB > 1/2 ∠ABC. [ উভয়পক্ষকে 12 দ্বারা গুণ করে ] বা, ∠PCB >∠PBC [PB ও PC যথাক্রমে ∠ABC এবং ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক] 2. ΔPBC -এ ∠PCB >∠PBC ∴ PB > PC. [প্রমাণিত] [বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] প্রশ্ন \ 8 \ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর AB = AC; BC কে যেকোনো দূরত্বে উ পর্যন্ত বাড়ানো হলো। প্রমাণ কর যে, AD > AB. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ΔABC-এ AB = AC; BC কে যেকোনো দূরত্বে উ পর্যন্ত বাড়ানো হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, AD > AB. প্রমাণ : ধাপ: যথার্থতা 1. ΔABC-এ AB = AC [কল্পনা] ∴ ∠ABC = ∠ACB [ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান] 2. ΔADC-এর বহিঃস্থ ∠ACB ∴ ∠ACB > ∠ADC [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর] 3. ΔABD-এ ∠ABD >∠ADB [ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর] ∴ AD > AB. [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ 9 \ ABCD চতুর্ভুজে AB = AD, BC = CD এবং CD > AD. প্রমাণ কর যে, ∠DAB >∠BCD. সমাধান : মনে করি, ABCD চতুর্ভুজে AB = AD, BC = CD এবং CD > AD. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠DAB > ∠BCD. অঙ্কন : A, C যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ                                   যথার্থতা 1. ΔADC -এ CD > AD [কল্পনা] ∴ ∠DAC > ∠DCA [ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর] 2. ΔABC -এ BC > AB [CD = BC এবং AD = AB] ∴ ∠BAC > ∠BCA [1 নং অনুসারে] 3. ∠DAC + ∠BAC > ∠DAC + ∠BCA [ উভয়পক্ষে ∠DAC যোগ করে] বা, ∠DAC + ∠BAC > ∠DCA + ∠BCA [∵ ∠DAC > ∠DCA ] ∴ ∠DAB > ∠BCD [প্রমাণিত] ১০. △ABC এ ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু। (ক) তথ্যের আলোকে চিত্রটি অঙ্কন কর। (খ) দেখাও যে, AC>AB (গ) প্রমান কর যে, AB+AC>2AD সমাধানঃ (ক) প্রদত্তের আলোকে নিচের চিত্রটি আঁকা হলোঃ- (খ) △ABC এ ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু। দেখাতে হবে যে, AC>AB প্রামানঃ যদি AC>AB না হয় তবে AC=AB বা AC<AB হবে। AC=AB হলে, ∠ABC=∠ACB হবে [কারন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান হয়] কিন্তু, ∠ABC>∠ACB বিধায় AC=AB হবে না। আবার, AC<AB হলে, ∠ABC<∠ACB হবে [কারন ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর হয়] কিন্তু, ∠ABC>∠ACB বিধায় AC<AB হবে না। তাহলে, AC>AB হবে (দেখানো হলো) (গ) বিশেষ নির্বাচনঃ △ABC এ ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু। প্রমান করতে হবে যে, AB+AC>2AD. অঙ্কনঃ AD কে E পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করি যেন AD=DE হয়। এবং E, C যোগ করি। প্রমাণঃ △ABD ও △DEC-এর ক্ষেত্রে, AD=DE [অঙ্কনানুসারে] BD=DC [প্রশ্নানুসারে] ∠ADB=∠EDC [বিপ্রতীপ কোন] ∴△ABD ≅ △DEC ∴AB=EC এখন, △AEC-এর ক্ষেত্রে, AC+EC>AE বা, AC+AB>AD+DE [∴AB=EC] বা, AC+AB>2AD (প্রমাণিত) প্রশ্ন \ 11 \ ΔABC-এ AB = AC এবং D, BC-এর উপর একটি বিন্দু।প্রমাণ কর যে, AB > AD. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ΔABC -এ AB = AC এবং D, BC-এর উপর একটি বিন্দু। A, D যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AB > AD. প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা 1. ΔABC-এ AB = AC ∴ ∠ABC = ∠ACB . [সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান] 2. ΔADC-এর বহিঃস্থ ∠ADB > ∠ACD [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর] বা, ∠ADB > ∠ACB . বা, ∠ADB > ∠ABC. [1 নং হতে] বা, ∠ADB > ∠ABD. 3. ΔABD-এ ∠ADB>∠ABD. ∴ AB > AD. [প্রমাণিত] [ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] প্রশ্ন \ 12 \ ΔABC -এ AB ⊥ AC এবং D, AC-এর উপর একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, BC > BD. সমাধান : মনে করি, ΔABC -এ AB ⊥ AC এবং D, AC-এর উপর একটি বিন্দু। B, D

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত ৯ অধ্যায় অনুশীলনী ৯.১ এর সমাধান দেখতে নিচে চোখ রাখুন। ছবিগুলো লোড হতে কিছুক্ষণ সময় লাগতে পারে দয়া করে অপেক্ষা করুন। ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.১   প্রশ্ন \ 1 \ ∠ABD, ∠CBD এবং ∠ADB এর মান নির্ণয় কর। সমাধান : চিত্রে, ΔABC এর ∠ABC = 90°, ∠BAC = 48° এবং BD⊥AC. ∴∠ADB = 90°, ∠ABD = 90° – 48° = 42° ∠BDC = 90°, ∠CBD = 90° – 42° = 48° প্রশ্ন \ 2 \ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত কোণটির মান 50°। অবশিষ্ট কোণ দুইটির মান নির্ণয় কর। সমাধান : ΔABC-এ AB = AC এবং শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত ∠BAC = 50°. অবশিষ্ট কোণ দুইটির মান নির্ণয় : ΔABC-এ AB = AC ∴ ∠ABC = ∠ACB  [ত্রিভুজের সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান] আবার, ΔABC-এ ∠ABC +∠ACB +∠BAC =180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] বা, ∠ABC +∠ABC + 50°=180°  [∵∠ABC = ∠ACB ] বা, 2∠ABC =180°- 500 =130° ∴ ∠ABC = 1300/2 = 65° ∴∠ABC = ∠ACB = 65° প্রশ্ন \ 3 \ প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণের সমান। সমাধান : মনে করি, ΔABCD একটি চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠A +∠B +∠C +∠D = চার সমকোণ। প্রমাণ : ধাপ : 1. ΔABD এ ∠BAD +∠ABD +∠ADB = দুই সমকোণ। [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] 2. ΔBCD-এ ∠BCD +∠DBC +∠BDC = দুই সমকোণ। [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] 3. ∴∠BAD + ∠BCD + (∠ABD + ∠DBC) + (∠ADB +∠BDC) = চার সমকোণ [1 ও 2 হতে] ∴∠BAD + ∠BCD + ∠ABC + ∠ADC = চার সমকোণ [প্রমাণিত] যথার্থতা প্রশ্ন \ 4 \ দুইটি রেখা PQ এবং RS পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। PQ এবং RS এর উপর যথাক্রমে L ও M এবং E ও F চারটি বিন্দু, যেন, LM ⊥ RS, EF ⊥ PQ. প্রমাণ কর যে, ∠MLO =∠FEO. সমাধান : মনে করি, PQ এবং RS রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। PQ এবং RS এর উপর যথাক্রমে L ও M এবং E ও F চারটি বিন্দু যেন LM ⊥ RS এবং EF ⊥ PQ হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠MLO =∠FEO. প্রমাণ : ধাপ : 1. ∠LMO = ∠EFO [সমকোণ] 2. ∠MOL = ∠EOF [বিপ্রতীপ কোণ] 3. ∠MOL +∠MLO +∠LMO =∠EOF +∠EFO +∠FEO [প্রত্যেকেই দুই সমকোণের সমান] 4. ∠MLO = ∠FEO [প্রমাণিত] যথার্থতা [সমান সমান কোণ বাদ দিয়ে] প্রশ্ন \ 5 \ ΔABC-এর AC ⊥ BC; E, AC এর বর্ধিতাংশের উপর যেকোনো বিন্দু এবং ED ⊥ AB. ED এবং BC পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, ∠CEO = ∠DBO. সমাধান : মনে করি, ΔABC এর AC ⊥ BC; E, AC এর বর্ধিতাংশের উপর যেকোনো বিন্দু এবং ED ⊥ AB. ED এবং BC পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠CEO = ∠DBO. প্রমাণ : ধাপ : 1. ∠BOD = ∠COE [বিপ্রতীপ কোণ] 2. ∠BDO = ∠OCE [সমকোণ] 3. ΔBDO এ-∠DBO + ∠BDO + ∠BOD = দুই সমকোণ। [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] 4. তদ্রæপ ΔCEO এ ∠COE + ∠OCE + ∠CEO = দুই সমকোণ। [একইভাবে] ∴∠COE + ∠OCE + ∠CEO =∠DBO + ∠BDO + ∠BOD [3 এবং 4 হতে] ∴∠CEO =∠DBO [প্রমাণিত] যথার্থতা [ উভয়পক্ষ থেকে সমান কোণ বাদ দিয়ে] আরো পড়ুনঃ  ৭ম শ্রেণির গণিত সমাধান  ৭ম শ্রেণির সকল বিষয় সমাধান  

নবম দশম শ্রেণি বা এসএসসি গণিত ৮ অধ্যায় বৃত্ত অনুশীলনীর ৮.১ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো। নবম-দশম শ্রেণির গণিত অন্যান্য অধ্যায়গুলো সমাধান দেখতে পোস্টের নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন। এসএসসি গণিত অনুশীলনী ৮.১ প্রশ্ন সমাধান প্রশ্ন \ 1 \ প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের AB ও CD দুইটি জ্যা পরস্পরকে E বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, E-ই বৃত্তের কেন্দ্র। অঙ্কন : বৃত্তটির কেন্দ্র E না ধরে O ধরি এবং O, E যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু E [জানা আছে যে, বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু এবং কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর ওপর লম্ব] ∴ OE ⊥ AB অর্থাৎ ∠OEA = এক সমকোণ (2) আবার, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং CD জ্যা এর মধ্যবিন্দু E ∴ OE ⊥ CD অর্থাৎ ∠OEC = এক সমকোণ (3) যেহেতু AB এবং CD দুইটি পরস্পরচ্ছেদী সরলরেখা। ∴ ∠OEA এবং ∠OEC উভয়ই এক সমকোণ হতে পারে না। (৪) সুতরাং E ব্যতীত অন্য কোনো বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র হতে পারে না। ∴ E বিন্দুটি ABCD বৃত্তের কেন্দ্র। [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ 2 \ প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের ওপর লম্ব। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের ওপর লম্ব। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O। AB এর মধ্যবিন্দু E এবং CD এর মধ্যবিন্দু F এবং AB॥CD। প্রমাণ করতে হবে যে, EF কেন্দ্রগামী এবং AB ও CD এর ওপর লম্ব। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) F, CD এর মধ্যবিন্দু এবং OF কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ। ∴ OF, CD এর ওপর লম্ব। [বৃত্তের কেন্দ্র ও জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যায়ের ওপর লম্ব] এবং ∠OFC = এক সমকোণ। (2) আবার, E, AB এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় OE , AB এর ওপর লম্ব এবং ∠AEO = এক সমকোণ। [একই কারণে] ∴ ∠AEO = ∠OFC [একান্তর কোণ] (3) AB ॥ CD হওয়ায় EF ছেদক। অর্থাৎ E, O, F একই সরলরেখা। অতএব, EF কেন্দ্রগামী এবং EF⊥CD এবং FE⊥AB. [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ 3 \ কোনো বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুইটি অ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ কর যে, AB = AC. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের কেন্দ্র O। AB ও AC জ্যা দুইটি OA ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে অর্থাৎ ∠BAO = ∠CAO। প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC. অঙ্কন : O হতে AB এর ওপর OM এবং AC এর ওপর ON লম্ব আঁকি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) OM,AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়, OM, AB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, AM = 1/2 AB (2) আবার, ON, AC এর ওপর লম্ব হওয়ায়, AN = 1/2 AC (3) এখন, ΔAOM ও ΔAON এর মধ্যে ∠AMO = ∠ANO [সমকোণ বলে] ∠MAO = ∠NAO [কল্পনা] এবং AO সাধারণ বাহু। ∴ ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। অতএব, AM = AN অর্থাৎ 1/2 AB = 1/2 AC ∴ AB = AC [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ ৪ \ চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং জ্যা AB = জ্যা AC। প্রমাণ কর যে, ∠BAO = ∠CAO. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের O কেন্দ্র এবং জ্যা AB = জ্যা AC। AO কেন্দ্রগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAO = ∠CAO. অঙ্কন : O, B এবং O, C যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) ΔAOB ও ΔAOC এর মধ্যে AB = AC [দেওয়া আছে] BO = CO [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং AO বাহু সাধারণ। [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] ∴ ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম। অতএব, ∠BAO = ∠CAO। [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ ৫ \ কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাতে হবে যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, সমকোণী ΔABC এর ∠B = এক সমকোণ এবং AC অতিভুজ। A, B, C শীর্ষবিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা হলো। মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্র O। দেখাতে হবে যে, কেন্দ্র O অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) ΔABC-এর ∠ABC = এক সমকোণ [কল্পনা] ∴ ∠ABC, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। [∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ] (2) A, B, C বিন্দুগামী বৃত্তের ব্যাস AC। সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র O, ব্যাস AC এর উপর অবস্থিত। ∴ OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে] ∴ বৃত্তের কেন্দ্র O, A তিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। [দেখানো হলো] প্রশ্ন \ ৬ \ দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের একটির AB জ্যা অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AC = BD. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABE ও CDF বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র O। ABE বৃত্তের জ্যা AB, CDF বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AC = BD। অঙ্কন : O হতে AB বা CD এর ওপর OP লম্ব আঁকি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) OP, CD এর ওপর লম্ব হওয়ায় OP, CD-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ CP = PD [বৃত্তের কেন্দ্র হতে কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] (2) আবার, OP, AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়, OP, AB-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, AP = BP [একই] এখন, AP = AC + CP এবং BP = PD + BD সুতরাং AC + CP = PD + BD [∵ AP = BP] ∴ AC = BD [প্রমাণিত] [∵ CP = PD] প্রশ্ন \ ৭ \ বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, দেখাতে হবে যে, তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O। AB ও CD দুটি সমান জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AP = PD এবং PB = PC. অঙ্কন : O হতে AB এর ওপর OM এবং CD এর ওপর ON লম্ব আঁকি। O, চ যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) MOP ও NOP সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে OM = ON [সমান সমান জ্যা

নবম দশম শ্রেণির বা এসএসসি গণিত ১২ অধ্যায়ের অনুশীলনী ১২.৪ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো। সেই সাথে এসএসসি গণিত বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধান লিংক দেওয়া হলো। নবম দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ১২.৪ প্রশ্ন সমাধান বি.দ্রঃ ফন্ট দেখতে সমস্যা হলে Google Chrome ব্রাউজার ব্যবহার করুন। প্রশ্ন \ 1 \ নিচের কোন শর্তে ax + by + c = 0 ও px + qy + r = 0 সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে? ক. (খ)   (গ) (ঘ) প্রশ্ন \ 2 \ x + y = 4, x – y = 2 হলে, (x, y) এর মান নিচের কোনটি? ক. (2, 4) খ. (4, 2) গ. (3, 1) ঘ. (1, 3) প্রশ্ন \ 3 \x + y = 6 ও 2x = 4 হলে, y এর মান কত? ক. 2 খ. 4 গ. 6 ঘ. 8 প্রশ্ন \ 4 \ নিচের কোনটির x 0 2 4 y -4 0 4 জন্য পাশের ছকটি সঠিক? ক.y = x – 4 4 খ.y = 8 – x গ.y = 4 – 2x ঘ.y = 2x – 4 প্রশ্ন \ 5 \ 2x – y = 8 এবংx – 2y = 4 হলে,x + y = কত? ক. 0 খ. 4 গ. 8 ঘ. 12 প্রশ্ন \ 6 \x – y -4= 0 এবং 3x-3y-10 সমীকরণদ্বয়। i. পরস্পর নির্ভরশীল। ii. পরস্পর সমঞ্জস। iii. এর কোনো  সমাধান নেই। উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক? ক. ii খ. iii গ. i ও iii ঘ. ii ও iii আয়তাকার একটি ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা 2 মিটার বেশি এবং মেঝের পরিসীমা 20 মিটার। নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও : প্রশ্ন \ 7 \ ঘরটির মেঝের দৈর্ঘ্য কত মিটার? ক. 10 খ. 8 গ. 6 ঘ. 4 ব্যাখ্যা : ধরি প্রস্থ = x মি. ∴ দৈর্ঘ্য : (x + 2) মি. প্রশ্নমতে, 2(x + x + 2) = 20 বা, 2(2x + 2) = 20 বা, 4x + 4 = 20 বা, 4x = 20 – 4 = 16 ∴ x = 4 ∴ দৈর্ঘ্য = (4 + 2) মি. = 6 মি. প্রশ্ন \ 8 \ ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? ক. 24 খ. 32 গ. 48 ঘ. 80 ব্যাখ্যা : ক্ষেত্রফল = (6 × 4) বর্গ মি. = 24 বর্গ মি. প্রশ্ন \ 9 \ ঘরটির মেঝে মোজাইক করতে প্রতি বর্গমিটারে 900 টাকা হিসেবে মোট কত খরচ হবে? ক. 72000 খ. 43200 গ. 28800 ঘ. 21600 ব্যাখ্যা : প্রতি বর্গমিটার 900 টাকা হিসেবে মোজাইক করতে মোট খরচ = (900 × 24) টাকা = 21600 টাকা। সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (10 -17) : প্রশ্ন \ 10 \ কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকটির সাথে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি হবে। আবার, লব ও হরের প্রত্যেকটি থেকে 5 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি হবে। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y ∴ ভগ্নাংশটি = 1ম শর্তানুসারে, ………(i) 2য় শর্তানুসারে, ………..(ii) সমীকরণ (i) হতে পাই, 5x + 5 = 4y + 4    [আড়গুণন করে] বা, 5x – 4y = 4 – 5 ∴ 5x – 4y = -1 ……………….(iii) সমীকরণ (ii) হতে পাই, 2x – 10 = y – 5   [আড়গুণন করে] বা, 2x-y = – 5 + 10 বা, 2x-y = 5 বা, 2x = y + 5 ∴ x =  ………..(iv) x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই, 52 – 4y = – 1 বা, = – 1 বা, 25 – 3y = – 2 বা, – 3y = – 2 – 25 বা, – 3y = – 27 ∴ y= 9 [-3 দ্বারা ভাগ করে] y এর মান সমীকরণ (iv) এ বসিয়ে পাই, x = বা, x = 14/2 ∴x = 7 নির্ণেয় ভগ্নাংশ = প্রশ্ন \ 11 \ কোনো ভগ্নাংশের লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি হয়। আর লব থেকে 7 বিয়োগ এবং হর থেকে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি 1/3 হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y ∴ ভগ্নাংশটি = 1ম শর্তানুসারে,  ………..(i) 2য় শর্তানুসারে, …………….(ii) সমীকরণ (1) হতে পাই, y + 2 = 2x – 2 [আড়গুণন করে] বা, y= 2x – 2 – 2 ∴ y= 2x – 4 … … (iii) সমীকরণ (2) হতে পাই, 3x – 21 = y – 2 [আড়গুণন করে] বা, 3x – 21 = 2x – 4 – 2 [∵ y= 2x – 4] বা, 3x – 2x = 21 – 6 ∴ x = 15 (iii) নং সমীকরণে x -এর মান বসিয়ে পাই, ∴ y= 2 × 15 – 4 = 30 – 4 = 26 নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = . প্রশ্ন \ 12 \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ অপেক্ষা 1 বেশি। কিন্তু অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির আটগুণের সমান। সংখ্যাটি কত? সমাধান : মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y ∴ সংখ্যাটি = 10y + x অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি 10x + y 1ম শর্তানুসারে, x = 3y + 1 …………………(1) 2য় শর্তানুসারে, 10x + y= 8(x + y)………..(2) সমীকরণে (2) এ x = 3y + 1 বসিয়ে পাই, 10(3y + 1) + y= 8(3y + 1 + y) বা, 30y + 10 + y= 24y + 8 + 8y বা, 31y + 10 = 32 y + 8 বা, 31y – 32y= 8 – 10 [পক্ষান্তর করে] বা, – y= -2 ∴ y= 2 [-1 দ্বারা গুণ করে] y এর মান সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই, x = 3 × 2 + 1 = 6 + 1 = 7 ∴ সংখ্যাটি = 10 × 2 + 7 = 20 + 7 = 27 (ans) প্রশ্ন \ 13 \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 4; সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 110; সংখ্যাটি নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y ∴ সংখ্যাটি = 10y + x অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10x + y প্রথম শর্তানুসারে, x– y= 4; যখন x >y … … … … … … (i) y – x = 4; যখন x <y … … ….. …