জ্যামিতি

জেএসসি পরীক্ষার্থী বন্ধুদের জন্য নিয়ে এলাম ৮ম শ্রেণির গণিত অধ্যায় ৯ জ্যামিতি সমাধান। তোমরা এখানে তোমাদের বইয়ের বাড়ির কাজ সহ অনুশীলনীর সকল জ্যামিতির সমাধান পেয়ে যাবে।  অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গণিত বইয়ের জ্যামিতি অংশের দুইটা অংশ থাকে। একটি সম্পাদ্য বা উপপাদ্য উদাহরণ হিসেবে বইয়ে দেওয়া থাকে এবং বাকি জ্যামিতি অনুশীলনীতে দেওয়া থাকে। তোমাদের অনেকেই গাইড ক্রয় করোনা তাই তোমাদের পক্ষে অনুশীলনীর জ্যামিতিগুলো করা কঠিন হয়ে যায়। তাদের জন্যই মূলত আজকের পোস্টটি। তোমরা এখান থেকে অষ্ঠম শ্রেণির পিথাগোরাসের অধ্যায় তথা ৯ অধ্যায় জ্যামিতির অনুশীলনীর প্রশ্নের উত্তরগুলো পেয়ে যাবে। ৮ম শ্রেণির গণিত অধ্যায় ৯ জ্যামিতি সমাধান জেএসসি পরীক্ষার্থীদের জন্য এই গণিত ৯ম অধ্যায়টি খুবই গুরুত্বপূর্ণ। এই অধ্যায় থেকে প্রতি বছর জেএসসি পরীক্ষায় প্রশ্ন এসে থাকে। তাই তোমাদের পিথাগোরাসের জ্যামিতি অধ্যায়টি ভালো করে আয়ত্ব করতে হবে। জ্যামিতি অংশটি তোমাদের কাছে কঠিন মনে হলেও আমাদের সমাধানটি তোমাদের তা সহজ করে বুঝতে সাহায্য করবে। তোমরা এগুলো ছবি আকারে সেভ করে রাখতে পারো। নবম অধ্যায় – পিথাগোরাসের উপপাদ্য সমাধান অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি খুবই কঠিন মেন করা হয়। তাই তোমাদের গণিত বইয়ে এটির অনেক কয়টি সমাধান দেওয়া আছে। সেখান থেকে যে কোনো একটি তোমরা বাছাই করে শিখতে পারো। ৯ম অধ্যায় অনুশীলনীর প্রশ্নগুলো সমাধান করা অনেকের জন্য কষ্টকর হয়ে যায়। অনেক শিক্ষকের এগুলো প্রয়োজন হয়। তাই শিক্ষকরাও এই পোস্টটি পড়তে পারেন। এবং এখান থেকে সহায়তা নিতে পারেন। ৮ম শ্রেণির গণিত ৯ অধ্যায় অনুশীলনীর প্রশ্ন সমাধান তোমরা নিচের প্রশ্নগুলো পড়ে সমাধান গুলো ভালো করে বুঝে পড়বে। যদি কোনা অংশের উত্তর না বুঝতে পারো তবে নিচে কমেন্ট করবে অথবা তোমার বিদ্যালয় শিক্ষক অথবা গৃহ শিক্ষকের কাছে বুঝিয়ে নিবে। কাজ-১ একটি সককোণ আঁক এবং এর বাহু দুইটির উপর যথাক্রমে ৩ সেমি ও ৪ সেমি দুরুত্বে দুইটি বিন্দু চিহ্নিত কর। বিন্দু দুইটি যোগ করে একটি সমকোনী ত্রিভূজ আঁক। ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য পরিমাপ কর। দৈর্ঘ্য ৫ সেমি হয়েছেকি? কাজ ২ (a-b)2 এর বিস্তৃতির সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ কর। অনুশীলনী প্রশ্ন ও সমাধানঃ ১। ABC একটি সমবাহু ত্রিভূজ। AD, BC এর উপর লম্ব। প্রমাণ কর যে AB2+BC2+CA2=4AD2 ২। ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটি পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে AB2+CD2= BC2+AD2 ৩। ABC ত্রিভূজের ∠A সমকোণ এবং CD একটি মধ্যমা। প্রমাণ কর যে BC2=CD2+3AD2 ৪।  ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ, BP ও CQ দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ কর যে 5BC2=4(BP2+CQ2) ৫। প্রমাণ কর যে কোনো বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্ব বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ। ৬। চিত্রে OB=4 সেমি হলে BD এবং AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ৭। প্রমাণ কর যে কোনো বর্গক্ষেত্র এর কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক। ৮। ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে BC2+AD2=BD2+AC2 ৯। ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। D, ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে DE2=CE2+BD2 ১০। ∆ABC এ BC এর উপর লম্ব AD এবং AB＞AC প্রমাণ কর যে, AB2-AC2=BD2-CD2 ১১। ∆ABC এ BC এর উপর লম্ব AD লম্ব এবং AD এর উপর P যেকোনো বিন্দু ও AB＞AC, প্রমাণ কর যে PB2-PC2=AB2-AC2 আরো পড়ুনঃ জেএসসি (৮ম শ্রেণি) গণিত অনুশীলনী ৩ (পরিমাপ) বহুনির্বাচনী প্রশ্ন ও সমাধান। অষ্টম শ্রেণির সকল অধ্যায়ে সমাধান পেতে তোমরা এই সাইটে ভিজিট করবে। সাথে আমাদের ফেজবুক পেজ (সমাস্য ও সমাধান) এ লাইক দিয়ে রাখতে পারো। সেখানে তোমরা কোনো সমস্যার সমাধান জানতে চাইলে সমাধান দেওয়া হবে।

সর্বসমতা এবং সদৃশতা নিয়ে আমাদের মধ্যে অনেক দ্বিদ্ধা দন্দের সৃষ্টি হয়ে থাকে। এই পোস্টের মাধ্যেমে আমরা সর্বসমতা এবং সদৃশতা কাকে বলে, সর্বসমতা-সদৃশতার শর্তসমূহ এবং এদের পার্থক্য সম্পর্কে বিস্তারিত জানব। সর্বসম কাকে বলে? যদি একই আকৃতি ও আকারের দুইটি বস্থুকে একটির উপর অন্যটিকে উপরিপাতন করা যায়, অথাৎ একটিকে যদি অন্যটির উপর স্থাপন করা হয়  এবং উহারা যদি পরস্পরকে সম্পূর্ণরূপে আবৃত করে রাখে,তাহলে এদেরকে সর্বসম বলে। সর্বসম ত্রিভূজের অনুরুপ বাহু ও অনুরুপ কোণগুলো সমান সর্বসম বোঝাতে ≅ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। সর্বসমতার শর্তসমূহঃ সর্বসমতার ৪টি শর্ত রয়েছে। বাহু-বাহু-বাহু বাহু-কোণ-বাহু কোণ-বাহু-কোণ সমকোণী ত্রিভূজের অতিভূজ-বাহু ১. বাহু-বাহু-বাহু  সর্বসমতাঃ যদি একটি ত্রিভূজের তিন বাহু অপর একটি ত্রিভূজের তিন বহুর সমান হয় তবে ত্রিভূজ দুইটি সর্বসম। ২. বাহু-কোণ-বাহু  সর্বসমতাঃ যদি দুইটি ত্রিভূজের একটির দুই বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমান এবং বাহু দুইটির অর্ন্তভূক্ত কোণ দুইটি পরস্পর সমান হয়, হবে ত্রিভূজ দুইটি সর্বসম। ৩. কোণ- বাহু-কোণ  সর্বসমতাঃ যদি একটি ত্রিভূজের দুইটি কোণ ও কোণ সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে অপর একটি ত্রিভূজের দুইটি কোণ ও কোণ সংলগ্ন বাহুর সমান হয় তবে ত্রিভূজ দুইটি সর্বসম হবে। ৪. সমকোণী ত্রিভূজের অতিভূজ-বহু  সর্বসমতাঃ দু্ইটি সমকোণী ত্রিভূজের অতিভূজদ্বয় সমান হলে এবং একটির এক বাহু অপরটির অপর এক বাহুর সমান হলে, ত্রিভূজদ্বয় সর্বসম হবে। সদৃশতা কাকে বলে? একই আকৃতির দুইটি বস্তু বা চিত্রের বিভিন্ন অংশের আকার একই,কিন্তু আনুরূপ দুই বিন্দুর দুরত্ব সমান নয় তখন তাদের কে সদৃশ বলা হয়। ত্রিভূজের সদৃশতাঃ যে ত্রিভূজের অনুরুপ কোণগুলো সমান ও অনুরুপ বাহুগুলো সমানুপাতিক তাকে সদৃশ ত্রিভূজ বলে।  অর্থাৎ সদৃশ ত্রিভূজের ক্ষেত্রেঃ অনুরুপ কোণগুলো সমান হয় অনুরুপ বাহুগলো সমানুপাতিক হয়। সদৃশতার সর্তসমূহঃ বাহু-বাহু-বাহু বাহু-কোণ-বাহু কোণ-কোণ অতিভূজ-বাহু ১. বাহু-বাহু-বাহু সদৃশতাঃ যদি একটি তিভূজের তিন বহু অপর একটি ত্রিভূজের তিন বাহুর সমানুপাতিক হয়, তবে ত্রিভূজ দুইটি সদৃশ। ২. বাহু-কোণ-বাহু সদৃশতাঃ যদি দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমানুপাতিক হয় এবং বাহু দুইটির অন্তর্ভূক্ত কোণ দুইটি পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভূজ দুইটি সদৃশ। ৩. কোণ-কোণ সদৃশতাঃ যদি দুইটি ত্রিভূজের একটির দুইটি কোণ যথাক্রমে অপরটির দুইটি কোণের সমান হয়, তবে ত্রিভূজ দুইটি সদৃশ। ৪. অতিভূজ-বাহু সদৃশতাঃ যদি দুইটি সমকোণী ত্রিভূজের একটির অতিভূজ  একটি বাহু যথাক্রমে অপরটির অতিভূজ ও অনুরুপ বাহুর সমানুপাতিক হয়, তবে ত্রিভূজ দুইটি সদৃশ। সর্বসমতা ও সদৃশতার পার্থক্য কী? সকল সর্বসম ত্রিভূজ/চতুর্ভূজ/বহুভূজ সদৃশ, কিন্তু সকল সদৃশ  ত্রিভূজ/চতুর্ভূজ/বহুভূজ সর্বসম নয়। এখনও কেউ যদি না বুঝতে পরলে, নিচের ভেনচিত্রটি লক্ষ করুন। বুঝতে পারবেন  ইনশাহআল্লাহ