নবম-দশম

  নবম-দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৪.১ সূচক, সরল, প্রমাণ ও সমাধান SSC Math Chapter 4.1 Exponents পোস্টে সকলকে স্বাগতম।  আজকে আমরা এসএসসি বা নবম-দশম শ্রেণীর অনুশীলনী ৪.১ সূচক এর গণিত বইয়ের প্রশ্নগুলোর উত্তর জানবো। গণিত চতুর্থ অধ্যায় অনুশীলনী 4.1 শিক্ষার্থীদের কাছে অনেক সহজ মনে হতে পারে।  তবে শিক্ষার্থীরা এখানে ছোট ছোট ভুল করে থাকে  ফলে সমস্যাগুলো সমাধান ভুল হয়ে যায়।  তাই শিক্ষার্থীদের বলব তোমরা এই অধ্যায়টি খুব মনোযোগ সহকারে করবে। নবম-দশম গণিত অনুশীলনী ৪.১ সূচক প্রশ্ন উত্তর সরল কর (১-৮) ১। সমাধানঃ \[\frac{{{7^3} \times {7^{ – 3}}}}{{3 \times {3^{ – 4}}}}\] \[ = \frac{{{7^3}^{ – 3}}}{{{3^{1 – 4}}}}\] \[ = \frac{{{7^0}}}{{{3^{ – 3}}}}\] \[ = \frac{1}{{\frac{1}{{{3^3}}}}}\] \[ = \frac{1}{{\frac{1}{{27}}}}\] \[ = 27\] ২। সমাধানঃ \[ = \frac{{\sqrt[3]{{{7^2}}}.\sqrt[3]{7}}}{{\sqrt 7 }}\] \[ = \frac{{{7^{\frac{2}{3}}}{{.7}^{\frac{1}{3}}}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = \frac{{{7^{\frac{2}{3} + }}^{\frac{1}{3}}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = \frac{{{7^{\frac{{2 + 1}}{3}}}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = \frac{{{7^{\frac{3}{3}}}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = \frac{{{7^1}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = {7^{1 – \frac{1}{2}}}\] \[ = {7^{\frac{{2 – 1}}{2}}}\] \[ = {7^{\frac{1}{2}}}\] \[ = \sqrt 7 \] ৩। সমাধানঃ \[ = {({2^{ – 1}} + {5^{ – 1}})^{ – 1}}\] \[ = {(\frac{1}{2} + \frac{1}{5})^{ – 1}}\] \[ = {(\frac{5}{{10}} + \frac{2}{5})^{ – 1}}\] \[ = {(\frac{7}{{10}})^{ – 1}}\] \[ = \frac{1}{{\frac{7}{{10}}}}\] \[ = \frac{{10}}{7}\] ৪। সমাধানঃ \[{ = {{\left( {{\bf{2}}{{\bf{a}}^{ – {\bf{1}}}} + {\bf{3}}{{\bf{b}}^{ – {\bf{1}}}}} \right)}^{ – {\bf{1}}}}}\] \[ = {\left( {{\bf{2}}\frac{1}{a} + {\bf{3}}\frac{1}{b}} \right)^{ – {\bf{1}}}}\] \[ = {\left( {\frac{2}{a} + \frac{3}{b}} \right)^{ – {\bf{1}}}}\] \[ = {\left( {\frac{{2b + 3a}}{{ab}}} \right)^{ – {\bf{1}}}}\] \[ = \frac{{ab}}{{3a + 2b}}\] ৫। সমাধানঃ \[ = {(\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}}{{\bf{b}}^{ – {\bf{1}}}}}}{{{{\bf{a}}^{ – {\bf{1}}}}{\bf{b}}}})^{\bf{2}}}\] \[ = {(\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}}\frac{1}{b}}}{{\frac{1}{{{a^2}}}{\bf{b}}}})^{\bf{2}}}\] \[ = {(\frac{{\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}}}}{b}}}{{\frac{{\bf{b}}}{{{a^2}}}}})^{\bf{2}}}\] \[ = {(\frac{{{a^2}.{a^2}}}{{b.b}})^{\bf{2}}}\] \[ = {(\frac{{{a^4}}}{{{b^2}}})^{\bf{2}}}\] \[ = \frac{{{a^8}}}{{{b^4}}}\] ৬। সমাধানঃ  \[ = \sqrt {{x^{ – 1}}y} .\sqrt {{y^{ – 1}}z} .\sqrt {{z^{ – 1}}x} {\rm{  }}(x > 0,y > 0,z > 0)\] \[ = \sqrt {\frac{1}{x}y} .\sqrt {\frac{1}{y}z} .\sqrt {\frac{1}{z}x} \] \[ = \sqrt {\frac{y}{x}} .\sqrt {\frac{z}{y}} .\sqrt {\frac{x}{z}} \] \[ = \sqrt {\frac{{y \times z \times x}}{{x \times y \times z}}} \] \[ = \sqrt 1 \] \[ = 1\] ৭। সমাধানঃ  \[ = \frac{{{2^{n + 4}} – {{4.2}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 2}} \div 2}}\] \[ = \frac{{{2^n}{2^4} – {{4.2}^n}{2^1}}}{{{2^n}{2^2} \div {2^1}}}\] \[ = \frac{{{2^n}({2^4} – {{4.2}^1})}}{{{2^n}{2^{2 – 1}}}}\] \[ = \frac{{(16 – 8)}}{{{2^1}}}\] \[ = \frac{8}{2}\] \[ = 4\] ৮। সমাধানঃ \[ = \frac{{{3^{m + 1}}}}{{{{({3^m})}^{m – 1}}}} \div \frac{{{9^{m + 1}}}}{{{{({3^{m – 1}})}^{m + 1}}}}\] \[ = \frac{{{3^{m + 1}}}}{{{3^{{m^2} – m}}}} \div \frac{{{{({3^2})}^{m + 1}}}}{{{3^{{m^2} – 1}}}}\] \[ = \frac{{{3^{m + 1}}}}{{{3^{{m^2} – m}}}} \div \frac{{{3^2}^{m + 2}}}{{{3^{{m^2} – 1}}}}\] \[ = {3^{m + 1 – {m^2} + m}} \div {3^{2m + 2 – {m^2} + 1}}\] \[ = {3^{2m + 1 – {m^2}}} \div {3^{2m + 3 – {m^2}}}\] \[ = {3^{2m + 1 – {m^2} – }}^{2m – 3 + {m^2}}\] \[ = {3^{ – 2}}\] \[ = \frac{1}{{{3^2}}}\] \[ = \frac{1}{9}\] প্রমাণ করো (৯-১৫) ৯। সমাধানঃ \[frac{{{4^n} – 1}}{{{2^n} – 1}} = \frac{{{{({2^2})}^n} – 1}}{{{2^n} – 1}}\] \[LHS = \frac{{{4^n} – 1}}{{{2^n} – 1}}\] \[ = \frac{{{{({2^2})}^n} – 1}}{{{2^n} – 1}}\] \[ = \frac{{{2^2}^n – 1}}{{{2^n} – 1}}\] \[ = \frac{{({2^2}^n – 1)({2^2}^n + 1)}}{{({2^n} – 1)({2^2}^n + 1)}}\] \[ = \frac{{({2^2}^n – 1)({2^2}^n + 1)}}{{{{({2^n})}^2} – {1^2}}}\] \[ = \frac{{({2^2}^n – 1)({2^2}^n + 1)}}{{({2^{2n}} – 1)}}\] \[ = {2^2}^n + 1\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS{\rm{  (proved)}}\] ১০। সমাধানঃ \[\frac{{{2^{2p + 1}}{{.3}^{2p + q}}{{.5}^{p + q}}{{.6}^p}}}{{{3^{p – 2}}{{.6}^{2p + 2}}{{.10}^p}{{.15}^q}}} = \frac{1}{2}\] \[LHS = \frac{{{2^{2p + 1}}{{.3}^{2p + q}}{{.5}^{p + q}}{{.6}^p}}}{{{3^{p – 2}}{{.6}^{2p + 2}}{{.10}^p}{{.15}^q}}}\] \[ = \frac{{{2^{2p + 1}}{{.3}^{2p + q}}{{.5}^{p + q}}.{{(2 \times 3)}^p}}}{{{3^{p – 2}}.{{(2 \times 3)}^{2p + 2}}.{{(2 \times 5)}^p}.{{(3 \times 5)}^q}}}\] \[ = \frac{{{2^{2p + 1}}{{.3}^{2p + q}}{{.5}^{p + q}}{{.2}^p}{{.3}^p}}}{{{3^{p – 2}}{{.2}^{2p + 2}}{{.3}^{2p + 2}}{{.2}^p}{{.5}^p}{{.3}^q}{{.5}^q}}}\]  \[ = \frac{{{2^{2p + 1 + p}}{{.3}^{2p + q + p}}{{.5}^{p + q}}}}{{{3^{p – 2 + }}^{2p + 2 + q}{{.2}^{2p + 2 + p}}{{.5}^{p + }}^q}}\] \[ = \frac{{{2^{3p + 1}}{{.3}^{3p + q}}{{.5}^{p + q}}}}{{{3^{3p + q}}{{.2}^{3p + 2}}{{.5}^{p + }}^q}}\] \[ = {2^{3p + 1 – 3p – 2}}{.3^{3p + q – 3p – q}}{.5^{p + q – p – q}}\] \[ = {2^{ – 1}}{.3^0}{.5^0}\] \[ = {2^{ – 1}}.1.1\] \[ = \frac{1}{2}\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS(proved)\] ১১। সমাধানঃ \[{(\frac{{{a^l}}}{{{a^m}}})^n}.{(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}})^l}{(\frac{{{a^n}}}{{{a^l}}})^m} = 1\] \[LHS = {(\frac{{{a^l}}}{{{a^m}}})^n}.{(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}})^l}{(\frac{{{a^n}}}{{{a^l}}})^m}\] \[ = {a^{\ln  – m}}^n.{a^{ml – n}}^l{a^{nm – l}}^m\] \[ = {a^{\ln  – mn + ml – nl + nm – lm}}\] \[ = {a^0}\] \[ = 1\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS{\rm{    }}(proved)\] ১২। সমাধানঃ \[\frac{{{a^{p + q}}}}{{{a^{2r}}}} \times \frac{{{a^{q + q}}}}{{{a^{2p}}}} \times \frac{{{a^{r + p}}}}{{{a^{2q}}}} = 1\] \[LHS = \frac{{{a^{p + q}}}}{{{a^{2r}}}} \times \frac{{{a^{q + q}}}}{{{a^{2p}}}} \times \frac{{{a^{r + p}}}}{{{a^{2q}}}}\] \[ = \frac{{{a^{p + q – 2r + p + q + r + p}}}}{{{a^{2r + 2p + 2q}}}}\] \[ = \frac{{{a^{2p + 2q + 2r}}}}{{{a^{2r + 2p + 2q}}}}\] \[ = {a^{2p + 2q + 2r – 2p – 2q – 2r}}\] \[ = {a^0}\] \[ = 1\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS{\rm{    }}(proved)\] ১৩। সমাধানঃ \[{(\frac{{{x^a}}}{{{a^b}}})^{\frac{1}{{ab}}}}.{(\frac{{{x^b}}}{{{a^c}}})^{\frac{1}{{bc}}}}.{(\frac{{{x^c}}}{{{a^a}}})^{\frac{1}{{ca}}}} = 1\] \[LHS = {(\frac{{{x^a}}}{{{a^b}}})^{\frac{1}{{ab}}}}.{(\frac{{{x^b}}}{{{a^c}}})^{\frac{1}{{bc}}}}.{(\frac{{{x^c}}}{{{a^a}}})^{\frac{1}{{ca}}}}\] \[ = {({x^{a – b}})^{\frac{1}{{ab}}}}.{({x^{b – c}})^{\frac{1}{{bc}}}}.{({x^{c – a}})^{\frac{1}{{ca}}}}\] \[ = {x^{\frac{{a – b}}{{ab}}}}.{x^{\frac{{b – c}}{{bc}}}}.{x^{\frac{{c – a}}{{ca}}}}\] \[ = {x^{\frac{{a – b}}{{ab}} + \frac{{b – c}}{{bc}} + \frac{{c – a}}{{ca}}}}\] \[ = {x^{\frac{{c(a – b) + a(b – c) + b(c – a)}}{{abc}}}}\] \[ = {x^{\frac{{ac – bc + ab – ac + bc – ab}}{{abc}}}}\] \[ = {x^{\frac{0}{{abc}}}}\] \[ = {x^0}\] \[ = 1\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS{\rm{    }}(proved)\] ১৪। সমাধানঃ \[{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{a}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{b}}}}}} \right)^{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}.{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{b}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{c}}}}}} \right)^{{\bf{b}} + {\bf{c}}}}.{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{c}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{a}}}}}} \right)^{{\bf{c}} + {\bf{a}}}}{\rm{ = 1}}\] \[LHS = {\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{a}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{b}}}}}} \right)^{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}.{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{b}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{c}}}}}} \right)^{{\bf{b}} + {\bf{c}}}}.{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{c}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{a}}}}}} \right)^{{\bf{c}} + {\bf{a}}}}\] \[ = {({x^a}^{ – b})^{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}.{({x^b}^{ – c})^{b{\rm{ }} + {\rm{ }}c}}.{({x^c}^{ – a})^{c{\rm{ }} + {\rm{ }}a}}\] \[ = {x^{(a}}^{ – b)\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}.{x^{(b}}^{ – c)\left( {b{\rm{ }} + {\rm{ }}c} \right)}.{x^{(c}}^{ – \;a)\left( {c{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)}\] \[ = {x^a}^{^2\; – {b^2}}.{x^b}^{^2\; – {c^2}}.{x^c}^{^2\; – {a^2}}\] \[ = {x^{{a^2} – {b^2} + {b^2} – {c^2}

নবম-দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ১ বাস্তব সংখ্যা সমাধান ও সাজেশন পোস্টে সবাইকে স্বাগতম।  সমস্ত পোস্টটিকে ৪টি অংশে ভাগ করা হয়েছে আপনারা নিচের টেবিলে অফ কন্টেন্টে ক্লিক করে সে চারটি অংশ আলাদা আলাদা করে পড়তে পারবেন। যেকোনো সমস্যায় নিচে কমেন্ট করুন। {tocify} $title={Table of Contents} নবম-দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ১ বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি স্বাভাবিক সংখ্যা  : ১, ২, ৩, ৪, …… ইত্যাদি সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা বলে। ২, ৩, ৫, ৭, ……. ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা এবং ৪, ৬, ৮, ৯, …….. ইত্যাদি যৌগিক সংখ্যা। পূর্ণসংখ্যা : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাসমূহকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ …..-৩, – ২, – ১, ০, ১, ২, ৩, ……….ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা। ভগ্নাংশ সংখ্যা  : a,b পরস্পর সহমৌলিক, a ≠ ০ এবং b ≠ 1 হলে, a/b আকারের সংখ্যাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলে। যেমন : ১/২, ৩/২, -৫/৩ ইত্যাদি ভগ্নাংশ সংখ্যা। লব ছোট এবং হর বড়  হলে ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং লব বড় এবং হর ছোট হলে ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন : ১/২, ১/৩, ২/৩, ১/৪,  ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং ৩/২, ৪/৩, ৫/৩, ৫/৪, ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস  নিয়ে বিস্তারিত পড়তে এখানে ক্লিক করুন  $ads={1} নবম-দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ১ বাস্তব সংখ্যা সমাধান ১. নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা? (ক) 0.3   (খ) √(16/9)   (গ) 3√ (8/27)   (ঘ) 5/√3 উত্তরঃ ঘ ২. a, b, c, d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা? (ক) abcd   (খ) ab+cd   (গ) abcd+1   (ঘ) abcd-1 উত্তরঃ গ ৩. 1 থেকে 10 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি? (ক) 3   (খ) 4   (গ) 5   (ঘ) 6 উত্তরঃ খ ৪. কোনটি সকল পূর্নসংখ্যার সেট? (ক) {…,-4, -2, 0, 2, 4, …}    (খ) {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} (গ) {…, -3, -1, 0,1, 3, …}     (ঘ) {0, 1, 2, 3, 4} উত্তরঃ খ ৫. বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে (i). বিজোড় সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা। (ii). দুইটি জোড় সংখ্যার গুণফল এর গুণিতিক জোড় সংখ্যা। (iii). পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। নিচের কোনটি সঠিক? (ক) i ও ii    (খ) i ও iii  (গ) ii ও iii   (ঘ) i, ii ও iii উত্তরঃ ক ৬. তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে? (ক) 5    (খ) 6   (গ) 7    (ঘ) 11 উত্তরঃ খ ৭. a ও b দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা? (ক) a2    (খ) b2    (গ) a2+1   (ঘ) b2+2 উত্তরঃ গ ৮. a ও b দুইটি পূর্ণসংখ্যা হলে a2+b2 এর সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? (ক) –ab   (খ) ab   (গ) 2ab   (ঘ) -2ab উত্তরঃ গ ৯. প্রমান কর যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদঃ (ক) √ 5   (খ) √ 7   (গ) √10 সমাধানঃ ক) প্রমাণঃ ধরি √ 5 একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে এমন দুইটি পরস্পর সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা p,q ＞1 থাকবে যে, √ 5 = p/q বা, 5 = p²/q² [বর্গ করে] অর্থাৎ 5q = p²/q [ উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে] স্পষ্টত 5q পূর্ণসংখ্যা কিন্তু p²/q পূর্ণসংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q ＞1 ∴ 5q এবং p²/q সমান হতে পারেনা অর্থাৎ 5q ≠ p²/q  ∴ √ 5  কে p/q আকারে প্রকাশ করা যাবে না, √ 5 ≠ p/q ∴ √ 5 একটি অমূলদ সংখ্যা।     ⬜ মন্তব্যঃ যোক্তিক প্রমাণের সমাপ্তির চিহ্ন হিসেবে ⬜ ব্যবহার করা হয়। $ads={1} খ) প্রমাণঃ ধরি √ 7 একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে এমন দুইটি পরস্পর সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা p,q ＞1 থাকবে যে, √ 7 = p/q বা, 7 = p²/q² [বর্গ করে] অর্থাৎ 7q = p²/q [ উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে] স্পষ্টত 7q পূর্ণসংখ্যা কিন্তু p²/q পূর্ণসংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q ＞1 ∴ 7q এবং p²/q সমান হতে পারেনা অর্থাৎ 7q ≠ p²/q  ∴ √ 7  কে p/q আকারে প্রকাশ করা যাবে না, √ 7 ≠ p/q ∴ √ 7 একটি অমূলদ সংখ্যা।     ⬜ গ) প্রমাণঃ ধরি √10 একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে এমন দুইটি পরস্পর সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা p,q ＞1 থাকবে যে, √10 = p/q বা, 10 = p²/q² [বর্গ করে] অর্থাৎ 10q = p²/q [ উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে] স্পষ্টত 10q পূর্ণসংখ্যা কিন্তু p²/q পূর্ণসংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q ＞1 ∴ 10q এবং p²/q সমান হতে পারেনা অর্থাৎ 10q ≠ p²/q  ∴ √10  কে p/q আকারে প্রকাশ করা যাবে না, √10 ≠ p/q ∴ √10 একটি অমূলদ সংখ্যা।     ⬜ ১০. ক) 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর। সমাধানঃ মনে করি, একটি সংখ্যা a=0.2001010001…………….. এবং অপর সংখ্যা b=0.20302000200………. স্পষ্টতঃ a ও b উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয় 0.31 অপেক্ষা ছোট এবং 0.12 অপেক্ষা বড়। অর্থাৎ, 0.31>0.2001010001………>0.12 এবং, 0.31>0.20302000200……….>0.12 আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না। a ও b, 0.31 এবং 0.12 এর মাঝখানে অবস্থিত। ∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা। খ) 1/√2 এবং √2 এর মধ্যে একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর। সমাধানঃ এখানে, 1/√2=0.707106 √2=1.4142 ∴ 0.707106 ও 1.4142 এর মাঝখানে একটি মূলদ সংখ্যা a=0.71717071 ∴ 0.707106 ও 1.4142 এর মাঝখানে একটি অমূলদ সংখ্যা b=1.3141010010001……  $ads={1} ১১. ক) প্রমাণ কর যে, যেকোন বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা। সমাধানঃ মনে করি, n একটি বিজোড় সংখ্যা  ∴ n= (2x-1) যেখানে x∊Z অর্থাৎ x যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n² =(2x-1)² =(2x)²-2.2x.1+1² =4x²- 4x+1 =4x(x-1)+1 আমরা জানি, যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে জোড় সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফলও জোড় সংখ্যা হয়। ∴ 4x(x-1) একটি জোড় সংখ্যা [∴4 একটি জোড় সংখ্যা] তাহলে, 4x(x-1)+1 একটি বিজোড় সংখ্যা। ∴ যেকোন বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা। খ) প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল (আট) দ্বারা বিভাজ্য। সমাধানঃ মনে করি, দুইটি ক্রমিক সংখ্যা 2n ও 2n+2 তাহলে, 2n(2n+2)  =4n²+4n =4n(n+1) এখানে, n ও (n+1) দুইটি ক্রমিক সংখ্যা, সুতরাং এদের যে কোনো একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। সুতরাং, n(n+1), 2 দ্বারা বিভাজ্য। অতএব, 4n(a+1), 2✕4=8 দ্বারা বিভাজ্য। ∴ দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 8 (আট) দ্বারা বিভাজ্য ১২. আবৃত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।                      ২১. n=2x-1, যেখানে x ∈ N. দেখাও যে, n² কে 8 (আট) দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকবে। সমাধানঃ n=2x-1 ∴n² =(2x-1)²         =(2x)²-2.2x+1²         =4x²-4x+1         =4x(x-1)+1 x ∈ N এখানে, x ও (x+1) দুইটি ক্রমিক সংখ্যা, সুতরাং এদের যে কোনো একটি অবশ্যই