নবম শ্রেণি

নবম দশম শ্রেণি বা এসএসসি গণিত ৮ অধ্যায় বৃত্ত অনুশীলনীর ৮.১ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো। নবম-দশম শ্রেণির গণিত অন্যান্য অধ্যায়গুলো সমাধান দেখতে পোস্টের নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন। এসএসসি গণিত অনুশীলনী ৮.১ প্রশ্ন সমাধান প্রশ্ন \ 1 \ প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের AB ও CD দুইটি জ্যা পরস্পরকে E বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, E-ই বৃত্তের কেন্দ্র। অঙ্কন : বৃত্তটির কেন্দ্র E না ধরে O ধরি এবং O, E যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু E [জানা আছে যে, বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু এবং কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর ওপর লম্ব] ∴ OE ⊥ AB অর্থাৎ ∠OEA = এক সমকোণ (2) আবার, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং CD জ্যা এর মধ্যবিন্দু E ∴ OE ⊥ CD অর্থাৎ ∠OEC = এক সমকোণ (3) যেহেতু AB এবং CD দুইটি পরস্পরচ্ছেদী সরলরেখা। ∴ ∠OEA এবং ∠OEC উভয়ই এক সমকোণ হতে পারে না। (৪) সুতরাং E ব্যতীত অন্য কোনো বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র হতে পারে না। ∴ E বিন্দুটি ABCD বৃত্তের কেন্দ্র। [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ 2 \ প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের ওপর লম্ব। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের ওপর লম্ব। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O। AB এর মধ্যবিন্দু E এবং CD এর মধ্যবিন্দু F এবং AB॥CD। প্রমাণ করতে হবে যে, EF কেন্দ্রগামী এবং AB ও CD এর ওপর লম্ব। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) F, CD এর মধ্যবিন্দু এবং OF কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ। ∴ OF, CD এর ওপর লম্ব। [বৃত্তের কেন্দ্র ও জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যায়ের ওপর লম্ব] এবং ∠OFC = এক সমকোণ। (2) আবার, E, AB এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় OE , AB এর ওপর লম্ব এবং ∠AEO = এক সমকোণ। [একই কারণে] ∴ ∠AEO = ∠OFC [একান্তর কোণ] (3) AB ॥ CD হওয়ায় EF ছেদক। অর্থাৎ E, O, F একই সরলরেখা। অতএব, EF কেন্দ্রগামী এবং EF⊥CD এবং FE⊥AB. [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ 3 \ কোনো বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুইটি অ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ কর যে, AB = AC. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের কেন্দ্র O। AB ও AC জ্যা দুইটি OA ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে অর্থাৎ ∠BAO = ∠CAO। প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC. অঙ্কন : O হতে AB এর ওপর OM এবং AC এর ওপর ON লম্ব আঁকি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) OM,AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়, OM, AB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, AM = 1/2 AB (2) আবার, ON, AC এর ওপর লম্ব হওয়ায়, AN = 1/2 AC (3) এখন, ΔAOM ও ΔAON এর মধ্যে ∠AMO = ∠ANO [সমকোণ বলে] ∠MAO = ∠NAO [কল্পনা] এবং AO সাধারণ বাহু। ∴ ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। অতএব, AM = AN অর্থাৎ 1/2 AB = 1/2 AC ∴ AB = AC [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ ৪ \ চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং জ্যা AB = জ্যা AC। প্রমাণ কর যে, ∠BAO = ∠CAO. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের O কেন্দ্র এবং জ্যা AB = জ্যা AC। AO কেন্দ্রগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAO = ∠CAO. অঙ্কন : O, B এবং O, C যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) ΔAOB ও ΔAOC এর মধ্যে AB = AC [দেওয়া আছে] BO = CO [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং AO বাহু সাধারণ। [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] ∴ ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম। অতএব, ∠BAO = ∠CAO। [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ ৫ \ কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাতে হবে যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, সমকোণী ΔABC এর ∠B = এক সমকোণ এবং AC অতিভুজ। A, B, C শীর্ষবিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা হলো। মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্র O। দেখাতে হবে যে, কেন্দ্র O অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) ΔABC-এর ∠ABC = এক সমকোণ [কল্পনা] ∴ ∠ABC, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। [∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ] (2) A, B, C বিন্দুগামী বৃত্তের ব্যাস AC। সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র O, ব্যাস AC এর উপর অবস্থিত। ∴ OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে] ∴ বৃত্তের কেন্দ্র O, A তিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। [দেখানো হলো] প্রশ্ন \ ৬ \ দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের একটির AB জ্যা অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AC = BD. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABE ও CDF বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র O। ABE বৃত্তের জ্যা AB, CDF বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AC = BD। অঙ্কন : O হতে AB বা CD এর ওপর OP লম্ব আঁকি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) OP, CD এর ওপর লম্ব হওয়ায় OP, CD-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ CP = PD [বৃত্তের কেন্দ্র হতে কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] (2) আবার, OP, AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়, OP, AB-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, AP = BP [একই] এখন, AP = AC + CP এবং BP = PD + BD সুতরাং AC + CP = PD + BD [∵ AP = BP] ∴ AC = BD [প্রমাণিত] [∵ CP = PD] প্রশ্ন \ ৭ \ বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, দেখাতে হবে যে, তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O। AB ও CD দুটি সমান জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AP = PD এবং PB = PC. অঙ্কন : O হতে AB এর ওপর OM এবং CD এর ওপর ON লম্ব আঁকি। O, চ যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) MOP ও NOP সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে OM = ON [সমান সমান জ্যা

নবম দশম শ্রেণির বা এসএসসি গণিত ১২ অধ্যায়ের অনুশীলনী ১২.৪ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো। সেই সাথে এসএসসি গণিত বইয়ের সকল অধ্যায়ের সমাধান লিংক দেওয়া হলো। নবম দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ১২.৪ প্রশ্ন সমাধান বি.দ্রঃ ফন্ট দেখতে সমস্যা হলে Google Chrome ব্রাউজার ব্যবহার করুন। প্রশ্ন \ 1 \ নিচের কোন শর্তে ax + by + c = 0 ও px + qy + r = 0 সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে? ক. (খ)   (গ) (ঘ) প্রশ্ন \ 2 \ x + y = 4, x – y = 2 হলে, (x, y) এর মান নিচের কোনটি? ক. (2, 4) খ. (4, 2) গ. (3, 1) ঘ. (1, 3) প্রশ্ন \ 3 \x + y = 6 ও 2x = 4 হলে, y এর মান কত? ক. 2 খ. 4 গ. 6 ঘ. 8 প্রশ্ন \ 4 \ নিচের কোনটির x 0 2 4 y -4 0 4 জন্য পাশের ছকটি সঠিক? ক.y = x – 4 4 খ.y = 8 – x গ.y = 4 – 2x ঘ.y = 2x – 4 প্রশ্ন \ 5 \ 2x – y = 8 এবংx – 2y = 4 হলে,x + y = কত? ক. 0 খ. 4 গ. 8 ঘ. 12 প্রশ্ন \ 6 \x – y -4= 0 এবং 3x-3y-10 সমীকরণদ্বয়। i. পরস্পর নির্ভরশীল। ii. পরস্পর সমঞ্জস। iii. এর কোনো  সমাধান নেই। উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক? ক. ii খ. iii গ. i ও iii ঘ. ii ও iii আয়তাকার একটি ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা 2 মিটার বেশি এবং মেঝের পরিসীমা 20 মিটার। নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও : প্রশ্ন \ 7 \ ঘরটির মেঝের দৈর্ঘ্য কত মিটার? ক. 10 খ. 8 গ. 6 ঘ. 4 ব্যাখ্যা : ধরি প্রস্থ = x মি. ∴ দৈর্ঘ্য : (x + 2) মি. প্রশ্নমতে, 2(x + x + 2) = 20 বা, 2(2x + 2) = 20 বা, 4x + 4 = 20 বা, 4x = 20 – 4 = 16 ∴ x = 4 ∴ দৈর্ঘ্য = (4 + 2) মি. = 6 মি. প্রশ্ন \ 8 \ ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? ক. 24 খ. 32 গ. 48 ঘ. 80 ব্যাখ্যা : ক্ষেত্রফল = (6 × 4) বর্গ মি. = 24 বর্গ মি. প্রশ্ন \ 9 \ ঘরটির মেঝে মোজাইক করতে প্রতি বর্গমিটারে 900 টাকা হিসেবে মোট কত খরচ হবে? ক. 72000 খ. 43200 গ. 28800 ঘ. 21600 ব্যাখ্যা : প্রতি বর্গমিটার 900 টাকা হিসেবে মোজাইক করতে মোট খরচ = (900 × 24) টাকা = 21600 টাকা। সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (10 -17) : প্রশ্ন \ 10 \ কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকটির সাথে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি হবে। আবার, লব ও হরের প্রত্যেকটি থেকে 5 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি হবে। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y ∴ ভগ্নাংশটি = 1ম শর্তানুসারে, ………(i) 2য় শর্তানুসারে, ………..(ii) সমীকরণ (i) হতে পাই, 5x + 5 = 4y + 4    [আড়গুণন করে] বা, 5x – 4y = 4 – 5 ∴ 5x – 4y = -1 ……………….(iii) সমীকরণ (ii) হতে পাই, 2x – 10 = y – 5   [আড়গুণন করে] বা, 2x-y = – 5 + 10 বা, 2x-y = 5 বা, 2x = y + 5 ∴ x =  ………..(iv) x এর মান সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই, 52 – 4y = – 1 বা, = – 1 বা, 25 – 3y = – 2 বা, – 3y = – 2 – 25 বা, – 3y = – 27 ∴ y= 9 [-3 দ্বারা ভাগ করে] y এর মান সমীকরণ (iv) এ বসিয়ে পাই, x = বা, x = 14/2 ∴x = 7 নির্ণেয় ভগ্নাংশ = প্রশ্ন \ 11 \ কোনো ভগ্নাংশের লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি হয়। আর লব থেকে 7 বিয়োগ এবং হর থেকে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি 1/3 হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y ∴ ভগ্নাংশটি = 1ম শর্তানুসারে,  ………..(i) 2য় শর্তানুসারে, …………….(ii) সমীকরণ (1) হতে পাই, y + 2 = 2x – 2 [আড়গুণন করে] বা, y= 2x – 2 – 2 ∴ y= 2x – 4 … … (iii) সমীকরণ (2) হতে পাই, 3x – 21 = y – 2 [আড়গুণন করে] বা, 3x – 21 = 2x – 4 – 2 [∵ y= 2x – 4] বা, 3x – 2x = 21 – 6 ∴ x = 15 (iii) নং সমীকরণে x -এর মান বসিয়ে পাই, ∴ y= 2 × 15 – 4 = 30 – 4 = 26 নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = . প্রশ্ন \ 12 \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ অপেক্ষা 1 বেশি। কিন্তু অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির আটগুণের সমান। সংখ্যাটি কত? সমাধান : মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y ∴ সংখ্যাটি = 10y + x অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি 10x + y 1ম শর্তানুসারে, x = 3y + 1 …………………(1) 2য় শর্তানুসারে, 10x + y= 8(x + y)………..(2) সমীকরণে (2) এ x = 3y + 1 বসিয়ে পাই, 10(3y + 1) + y= 8(3y + 1 + y) বা, 30y + 10 + y= 24y + 8 + 8y বা, 31y + 10 = 32 y + 8 বা, 31y – 32y= 8 – 10 [পক্ষান্তর করে] বা, – y= -2 ∴ y= 2 [-1 দ্বারা গুণ করে] y এর মান সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই, x = 3 × 2 + 1 = 6 + 1 = 7 ∴ সংখ্যাটি = 10 × 2 + 7 = 20 + 7 = 27 (ans) প্রশ্ন \ 13 \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 4; সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 110; সংখ্যাটি নির্ণয় কর। সমাধান : মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y ∴ সংখ্যাটি = 10y + x অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10x + y প্রথম শর্তানুসারে, x– y= 4; যখন x >y … … … … … … (i) y – x = 4; যখন x <y … … ….. …