সপ্তম শ্রেণি

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত ২য় অধ্যায় অনুশীলনী ২.৩ এর সমাধান নিচে দেওয়া হলো। নিচে আরো অনুশীলনী গুলোর উত্তর লিংক দেওয়া হয়েছে।  এখানে মিশ্র ভগ্নাংগুলো লেখার সময় পূর্ণ সংখ্যা পরে অতিরিক্ত একটি ফাঁকা জায়গা রাখা হয়েছে। ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ২.৩ প্রশ্ন: ১. ৪ : ৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত নির্ণয় করঃ (ক) ২ : ৩✅ (খ) ৪ : ৯ (গ) ৯ : ৪ (ঘ) ১৬ : ৮১ প্রশ্ন: ২. ক : খ =৪ : ৭ এবং খ : গ = ১০ : ৭ হলে গ : খ : ক এর মান কত? (ক) ৪৯ : ৭০ : ৪০✅ (খ) ৪৯ : ৪০ : ৭০ (গ) ৪০ : ৭০ : ৪৯ (ঘ) ৪০ : ৪৯ : ৭০ প্রশ্ন: ৩. ৪ : ৩ ও ৫ : ৬ এর ধারাবাহিক অনুপাতের দ্বিতীয় রাশির মান কত? (ক) ২০ (খ) ১৮ (গ) ১৬ (ঘ) ১৫✅ নিচের তথ্যের আলোকে ৪-৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ ৩০ মিটার কাপড় মাইশা, মারিয়া ও তানিয়ার মধ্যে ৫ : ৩ : ২ অনুপাতে ভাগ করে দেওয়া হলো। প্রশ্ন: ৪. মাইশা কত মিটার কাপড় পেল? (ক) ১৫✅ (খ) ৯ (গ) ৬ (ঘ) ৩ প্রশ্ন: ৫. তানিয়া থেকে মারিয়া কত মিটার কাপড় বেশি পেল? (ক) ১৫✅ (খ) ৪ (গ) ৫ (ঘ) ৬ প্রশ্ন: ৬. ৫ : ৩ এবং ২ : ৫ এর ধারাবাহিক অনুপাত কোণটি? (ক) ১০ : ৬ : ১৫✅ (খ) ৩ : ৫ : ৬ (গ) ৫ : ৬ : ৫ (ঘ) ১৫ : ৬ : ১০ প্রশ্ন \ ৭ \ ৩, ৫, ১৫-এর চতুর্থ সমানুপাতী কোনটি ? (ক) ২০ খ) ২৫✅ (গ) ১০ (ঘ) ৩৫ ব্যাখ্যা : ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি বা, ৩ × ৪র্থ রাশি = ৫ × ১৫ ∴ ৪র্থ রাশি = ৫ × ১৫৩ = ২৫। প্রশ্ন \ ৮ \ একজন দোকানদার একটি দিয়াশলাই বক্স ১.৫০ টাকায় ক্রয় করে ২.০০ টাকায় বিক্রয় করলে তাঁর শতকরা কত লাভ হবে ? (ক) ২০% (খ) ১৫% (গ) ২৫% ঘ) ৩৩ ১৩%✅ প্রশ্ন \ ৯ \ একজন কলাবিক্রেতা প্রতি হালি কলা ২৫ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি হালি ২৭ টাকা দরে বিক্রয় করলে, তাঁর ৫০ টাকা লাভ হয়। সে কত হালি কলা ক্রয় করেছিল ? ক) ২৫ হালি✅ (খ) ২০ হালি (গ) ৫০ হালি (ঘ) ২৭ হালি ব্যাখ্যা : প্রতি হালিতে লাভ = (২৭ – ২৫) টাকা = ২ টাকা ২ টাকা লাভ হয় ১ হালিতে ∴ ৫০ ” ” ১ × ৫০২ হালিতে = ২৫ হালিতে প্রশ্ন \ ১০ \ নিচের রাশিগুলো দাগ টেনে মিল কর : (ক) ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চেয়ে বেশি হলে (খ) ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের চেয়ে কম হলে (গ) স্রোতের অনুক‚লে সময় (ঘ) স্রোতের প্রতিক‚লে সময় (ক) কম লাগে (খ) লাভ হয় (গ) বেশি লাগে (ঘ) ক্ষতি হয় সমাধান : প্রশ্ন \ ১১ \ ৫ জন শ্রমিক ৬ দিনে ৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে পারে। ২০ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ২৫ জন শ্রমিকের কত দিন লাগবে ? সমাধান : ৫ জন শ্রমিক ৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে পারে ৬ দিনে ∴ ১ ,, ,, ১ ,, ,, ,, ,,              (৬ × ৫)/৮ ,, ∴২৫ ,, ,, ২০ ,, ,, ,, ,, (৬ × ৫ × ২০)/(৮ × ২৫) ,, = ৩ দিনে উত্তর : ২০ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ২৫ জন লোকের ৩ দিন লাগবে। প্রশ্ন \ ১২ \ স্বপন একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। রতন উক্ত কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। স্বপন ও রতন একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে ? সমাধান : মনে করি, সম্পূর্ণ কাজ = ১ অংশ স্বপন ২৪ দিনে করতে পারে ১টি বা সম্পূর্ণ কাজ ∴ ,, ১ ,,    ,,     ,, কাজটির ১/২৪ অংশ আবার, রতন ১৬ দিনে করতে পারে ১টি বা সম্পূর্ণ কাজ ∴ ,, ১ ,  , ,,   ,, কাজটির ১/১৬ অংশ ∴ স্বপন ও রতন একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/২৪+১/১৬ অংশ =(২+৩)/৪৮ অংশ = ৫/৪৮ অংশ স্বপন ও রতন কাজটির ৫/৪৮ অংশ করে ১ দিনে ∴ ,, ও ,, ১ বা (সম্পূর্ণ) ,, ,, (১×৪৮)/৫দিনে = ৪৮/ ৫ দিনে = ৯  ৩/৫ দিনে উত্তর : স্বপন ও রতন একত্রে ৯ ৩৫ দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে। প্রশ্ন \ ১৩ \ হাবিবা ও হালিমা একটি কাজ একত্রে ২০ দিনে করতে পারে। হাবিবা ও হালিমা একত্রে ৮ দিন কাজ করার পর হাবিবা চলে গেল। হালিমা বাকি কাজ ২১ দিনে শেষ করল। সম্পূর্ণ কাজটি হালিমা কত দিনে করতে পারত? সমাধান : হাবিবা ও হলিমা, ২০ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ ∴ ১ ,, ,, ,, কাজটির ১/২০ অংশ ∴ ৮ ,, ,, ,, কাজটির (১ × ৮)/২০ অংশ = ২/৫ অংশ ∴ বাকি থাকে কাজের ১ – ২/৫ অংশ = (৫ – ২)/৫ অংশ = ৩/৫ অংশ হালিমা ৩/৫ অংশ কাজ করে ২১ দিনে ∴ ,, ১ বা (সম্পূর্ণ) ,, ,, (২১ × ৫)/৩ দিনে = ৩৫ দিনে উত্তর : হালিমা সম্পূর্ণ কাজটি ৩৫ দিনে করতে পারত। প্রশ্ন \ ১৪ \ ৩০ জন শ্রমিক ২০ দিনে একটি বাড়ি তৈরি করতে পারে। কাজ শুরুর ১০ দিন পরে খারাপ আবহাওয়ার জন্য ৬ দিন কাজ বন্ধ রাখতে হয়েছে। নির্ধারিত সময়ে কাজটি শেষ করতে অতিরিক্ত কতজন শ্রমিক লাগবে? সমাধান : মনে করি, স¤পূর্ণ কাজ ১ অংশ ৩০ জন শ্রমিক ২০ দিনে তৈরি করে ১ অংশ ∴ ৩০ ” ” ১ ” ” ” ঐ বাড়ির ১/২০অংশ ∴৩০ ” ” ১০ ” ” ” ” (১ × ১০)/২০ অংশ = ১/২ অংশ সুতরাং কাজ বাকি ১-১/২ অংশ বা ২ – ১/২ অংশ বা ১/২ অংশ এবং সময় বাকি {২০ – (১০ + ৬)} দিন = (২০ – ১৬) দিন = ৪ দিন ১০ দিনে ১/২ অংশ তৈরি করে ৩০ জন শ্রমিক ∴ ১ ,, ১২ ,, ,, ,, ৩০ × ১০,, ,, ∴ ৪ ,, ১২ ,, ,, ,, (৩০ × ১০)/৪ ,, ,, = ৭৫ জন শ্রমিক ∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে (৭৫ – ৩০) বা ৪৫ জন উত্তর : নির্ধারিত সময়ে কাজটি শেষ করতে অতিরিক্ত ৪৫ জন শ্রমিক লাগবে। প্রশ্ন \ ১৫ \ একটি কাজ ক ও খ একত্রে ১৬ দিনে, খ ও গ একত্রে ১২ দিনে এবং ক ও গ একত্রে ২০ দিনে করতে পারে। ক, খ ও গ একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে? সমাধান : মনে করি, স¤পূর্ণ কাজ ১ অংশ ক ও খ একত্রে

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত ২য় অধ্যায় অনুশীলনী ২.২ এর সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এখানে মিশ্র ভগ্নাংগুলো লেখার সময় পূর্ণ সংখ্যা পরে অতিরিক্ত একটি ফাঁকা জায়গা রাখা হয়েছে। নিচে সপ্তম শ্রেণির গণিতের সকল অধ্যায়ের সমাধান লিংক দেওয়া হয়েছে। ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ২.২ প্রশ্ন \ ১ \ একজন দোকানদার প্রতি মিটার ২০০ টাকা দরে ৫ মিটার কাপড় কিনে প্রতি মিটার ২২৫ টাকা দরে বিক্রয় করলে কত লাভ হয়েছে ? সমাধান :     ১ মিটার কাপড়ের ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা ∴ ৫   ,,            ,,               ,, (২০০ × ৫) টাকা = ১০০০ টাকা আবার,    ১ মিটার কাপড়ের বিক্রয়মূল্য ২২৫ টাকা ∴ ৫   ,,           ,,              ,, (২২৫ × ৫) টাকা = ১১২৫ টাকা এখানে, বিক্রয়মূল্য, ক্রয়মূল্য অপেক্ষা বেশি হওয়ায় লাভ হয়েছে। ∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য – ক্রয়মূল্য = (১১২৫ – ১০০০) টাকা বা ১২৫ টাকা উত্তর : লাভ হয়েছে ১২৫ টাকা। প্রশ্ন \ ২ \ একজন কমলাবিক্রেতা প্রতি হালি ৬০ টাকা দরে ৫ ডজন কমলা কিনে প্রতি হালি ৫০ টাকা দরে বিক্রয় করলে কত ক্ষতি হয়েছে ? সমাধান : আমরা জানি, ১ ডজন = ৩ হালি ∴ ৫ ডজন = (৩ × ৫) হালি = ১৫ হালি      ১ হালি কমলার ক্রয়মূল্য ৬০ টাকা ∴ ১৫ ,,           ,,          ৬০ × ১৫ টাকা = ৯০০ টাকা     ১ হালি কমলার বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা ∴ ১৫ ,,             ,,               ৫০ × ১৫ টাকা = ৭৫০ টাকা এখানে, বিক্রয়মূল্য অপেক্ষা ক্রয়মূল্য বেশি হওয়ায় ক্ষতি হয়েছে। ∴ ক্ষতি = ক্রয়মূল্য – বিক্রয়মূল্য = (৯০০ – ৭৫০) টাকা বা ১৫০ টাকা উত্তর : ক্ষতি হয়েছে ১৫০ টাকা। প্রশ্ন \ ৩ \ রবি প্রতি কেজি ৪০ টাকা দরে ৫০ কেজি চাউল কিনে ৪৪ টাকা কেজি দরে বিক্রয় করলে কত লাভ বা ক্ষতি হবে ? সমাধান :      ১ কেজি চাউলের ক্রয়মূল্য ৪০ টাকা ∴ ৫০   ,,        ,,       ,,         ,, (৫০ × ৪০) টাকা = ২০০০ টাকা     ১ কেজি চাউলের বিক্রয়মূল্য ৪৪ টাকা ∴ ৫০   ,,       ,,          ,, (৫০ × ৪৪) টাকা = ২২০০ টাকা এখানে, বিক্রয়মূল্য, ক্রয়মূল্য অপেক্ষা বেশি হওয়ায় লাভ হয়েছে। ∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য – ক্রয়মূল্য = (২২০০ – ২০০০) টাকা = ২০০ টাকা উত্তর : লাভ হবে ২০০ টাকা। প্রশ্ন \ ৪ \ প্রতি লিটার মিল্কভিটা দুধ ৫২ টাকায় কিনে ৫৫ টাকা দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হয় ? সমাধান : দেওয়া আছে, ক্রয়মূল্য = ৫২ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য = ৫৫ টাকা এখানে, বিক্রয়মূল্য, ক্রয়মূল্য অপেক্ষা বেশি হওয়ায় লাভ হয়েছে। ∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য – ক্রয়মূল্য = (৫৫ – ৫২) টাকা বা ৩ টাকা   ৫২ টাকায় লাভ হয় ৩ টাকা ∴ ১       ,,         ,,      ,,   ৩/৫২ ,, ∴ ১০০ ,,         ,,      ,, (৩ × ১০০)/৫২,,                         = ৭৫/১৩                         = ৫     ১০/১৩ টাকা উত্তর : লাভ হয় ৫ ১০১৩ %। প্রশ্ন \ ৫ \ প্রতিটি চকলেট ৮ টাকা হিসেবে ক্রয় করে ৮.৫০ টাকা হিসেবে বিক্রয় করে ২৫ টাকা লাভ হলো, মোট কয়টি চকলেট ক্রয় করা হয়েছিল ? সমাধান : দেওয়া আছে, প্রতি চকলেটের ক্রয়মূল্য = ৮ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য = ৮.৫০ টাকা এখানে, বিক্রয়মূল্য, ক্রয়মূল্য অপেক্ষা বেশি হওয়ায় লাভ হয়েছে। ∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য – ক্রয়মূল্য = (৮.৫০ – ৮) টাকা = ০.৫০ টাকা   ০.৫০ টাকা লাভ হয় ১ টি চকলেটে ∴ ১          ,,       ,,       ,, ১/০.৫০ ,, ,, ∴ ২৫       ,,      ,,       ,, (১ × ২৫ × ১০০)/৫০,, = ৫০ টি চকলেটে উত্তর : মোট ৫০ টি চকলেট ক্রয় করা হয়েছিল। প্রশ্ন \ ৬ \ প্রতি মিটার ১২৫ টাকা দরে কাপড় ক্রয় করে ১৫০ টাকা দরে বিক্রয় করলে দোকানদারের ২০০০ টাকা লাভ হয়। দোকানদার মোট কত মিটার কাপড় ক্রয় করেছিলেন ? সমাধান : দেওয়া আছে, প্রতি মিটার কাপড়ের ক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা বিক্রয়মূল্য, ক্রয়মূল্য অপেক্ষা বেশি হওয়ায় লাভ হয়েছে। ∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য – ক্রয়মূল্য = (১৫০ – ১২৫) টাকা বা ২৫ টাকা   ২৫ টাকা লাভ হয় ১ মিটার কাপড়ে ∴ ১     ,,        ,,     ,,    ১/২৫    ,,    ,, ∴ ২০০০ ,,    ,,     ,, (১ × ২০০০)/২৫   ,,   ,, = ৮০ মিটার উত্তর : দোকানদার মোট ৮০ মিটার কাপড় ক্রয় করেছিলেন। প্রশ্ন \ ৭ \ একটি দ্রব্য ১৯০ টাকায় ক্রয় করে ১৭৫ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে ? সমাধান : দেওয়া আছে, ক্রয়মূল্য ১৯০ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য ১৭৫ টাকা এখানে, ক্রয়মূল্যের চেয়ে বিক্রয়মূল্য কম হওয়ায় ক্ষতি হয়েছে। ∴ ক্ষতি = ক্রয়মূল্য – বিক্রয়মূল্য = (১৯০ – ১৭৫) টাকা বা ১৫ টাকা     ১৯০ টাকায় ক্ষতি হয় ১৫ টাকা ∴ ১         ,,       ,,         ,, ১৫/১৯০ টাকা ∴ ১০০    ,,     ,,         ,, (১৫ × ১০০)/১৯০ টাকা = ১৫০১৯ টাকা = ৭ ১৭১৯ টাকা উত্তর : ক্ষতি হবে ৭ ১৭১৯ %। প্রশ্ন \ ৮ \ ২৫ মিটার কাপড় যে মূল্যে ক্রয় করে, সেই মূল্যে ২০ মিটার কাপড় বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে ? সমাধান : মনে করি, ২৫ মিটার কাপড়ের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা ∴ ১    ”      ”     ”         ” ১০০/২৫ টাকা = ৪ টাকা ২০ মিটার কাপড়ের বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা ∴ ১    ”        ”     ”         ” ১০০/২০ টাকা = ৫ টাকা এখানে, ক্রয়মূল্যের চেয়ে বিক্রয়মূল্য বেশি হওয়ায় লাভ হয়েছে। ∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য – ক্রয়মূল্য = (৫ – ৪) টাকা বা ১ টাকা     ৪ টাকায় লাভ হয় ১ টাকা ∴ ১    ”          ”      ” ১/৪ টাকা ∴ ১০০ ”       ”       ” (১ × ১০০)/৪ টাকা

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত ২য় অধ্যায় অনুশীলনী ২.১ এর সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এখানে মিশ্র ভগ্নাংগুলো লেখার সময় পূর্ণ সংখ্যা পরে অতিরিক্ত একটি ফাঁকা জায়গা রাখা হয়েছে। ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ২.১ প্রশ্ন \ ১ \ নিচের রাশিগুলো দিয়ে সমানুপাত লেখ : (ক) ৩ কেজি, ৫ টাকা, ৬ কেজি, ১০ টাকা সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ৩ কেজি , ২য় রাশি = ৬ কেজি, ৩য় রাশি = ৫ টাকা এবং ৪র্থ রাশি = ১০ টাকা আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা,  ৩ : ৬ :: ৫ : ১০ নির্ণেয় সমানুপাত ৩ : ৬ :: ৫ : ১০। (খ) ৯ বছর, ১০ দিন, ১৮ বছর ও ২০ দিন সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ৯ বছর , ২য় রাশি = ১৮ বছর,   ৩য় রাশি = ১০ দিন এবং ৪র্থ রাশি = ২০ দিন আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩ য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা, ৯ : ১৮ :: ১০ : ২০ নির্ণেয় সমানুপাত  ৯ : ১৮ :: ১০ : ২০। (গ) ৭ সে.মি., ১৫ সেকেন্ড, ২৮ সে.মি. ও ১ মিনিট সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ৭ সে.মি., ২য় রাশি = ২৮ সে.মি., ৩য় রাশি = ১৫ সেকেন্ড এবং ৪র্থ রাশি = ১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ড আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা, ৭ : ২৮ :: ১৫ : ৬০ নির্ণেয় সমানুপাত  ৭ : ২৮ :: ১৫ : ৬০। (ঘ) ১২টি খাতা, ১৫টি পেন্সিল, ২০ টাকা ও ২৫ টাকা সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ১২টি খাতা,   ২য় রাশি = ১৫টি পেন্সিল, ৩য় রাশি = ২০ টাকা  এবং ৪র্থ রাশি = ২৫ টাকা আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা, ১২ : ১৫ :: ২০ : ২৫ নির্ণেয় সমানুপাত  ১২ : ১৫ :: ২০ : ২৫। (ঙ) ১২৫ জন ছাত্র ও ২৫ জন শিক্ষক, ২৫০০ টাকা ও ৫০০ টাকা সমাধান : মনে করি, ১ম রাশি = ১২৫ জন ছাত্র, ২য় রাশি = ২৫ জন শিক্ষক ৩য় রাশি = ২৫০০ টাকা এবং ৪র্থ রাশি = ৫০০ টাকা আমরা জানি, ১ম রাশি : ২য় রাশি :: ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি বা, ১২৫ : ২৫ :: ২৫০০ : ৫০০ নির্ণেয় সমানুপাত  ১২৫ : ২৫ :: ২৫০০ : ৫০০। প্রশ্ন \ ২ \ নিচের ক্রমিক সমানুপাতের প্রান্তীয় রাশি দুইটি দেওয়া আছে। সমানুপাত তৈরি কর : (ক) ৬, ২৪ সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ৬  এবং ৩য় রাশি = ২৪ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ৬ × ২৪ বা, ক ২ = ১৪৪ বা, ক = √১৪৪ ∴ ক = ১২ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত ৬ : ১২ :: ১২ : ২৪। (খ) ২৫, ৮১ সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ২৫  এবং ৩য় রাশি = ৮১ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ২৫ × ৮১ বা, ক ২ = ২০২৫ বা, ক = √২০২৫ ∴ ক = ৪৫ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত   ২৫ : ৪৫ :: ৪৫ : ৮১।  (গ) ১৬, ৪৯ সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ১৬  এবং ৩য় রাশি = ৪৯ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ১৬ × ৪৯ বা, ক = √(৪২ × ৭২) বা, ক = ৪ × ৭ ∴ ক = ২৮ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত   ১৬ : ২৮ :: ২৮ : ৪৯।  (ঘ) সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ৫/৭ এবং  ৩য় রাশি = ১(২/৫) বা ৭/৫ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ৫৭ × ৭৫ বা, ক ২ = ১ বা, ক = ১ ∴ ক = ১ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত   ৫৭ : ১ :: ১ : ৭৫।  (ঙ) ১.৫, ১৩.৫ সমাধান :  মনে করি, মধ্য রাশি = ক এখানে, ১ম রাশি = ১.৫ = ১৫১০ = ৩২   এবং  ৩য় রাশি = ১৩.৫ = ১৩৫১০ = ২৭২ আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে, (মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি বা, ক ২ = ৩২ × ২৭২ বা, ক ২ = ৮১৪ বা, ক =  ৮১৪ = ৯২ = ৪.৫ ∴ ক = ৪.৫ নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত  ১.৫ : ৪.৫ :: ৪.৫ : ১৩.৫। প্রশ্ন \ ৩ \ শূন্যস্থান পূরণ কর :  (ক) ১১ : ২৫ ::          : : ৫০ সমাধান :  ১১ : ২৫ ::      : ৫০ বা, বা, ২৫ ×     = ৫০ × ১১ বা,      = ৫০ × ১১২৫ ∴      = ২২ উত্তর : ১১ : ২৫ ::   ২২  : ৫০।  (খ) ৭ :      :: ৮ : ৬৪ সমাধান : ৭ :      :: ৮ : ৬৪ বা, ৭     = ৮৬৪ বা,      × ৮  = ৭ × ৬৪ বা,      = ৭ × ৬৪৮৮১ ∴      = ৫৬ উত্তর : ৭ :  ৫৬  :: ৮ : ৬৪।  (গ) ২.৫ : ৫.০ :: ৭ : সমাধান : ২.৫ : ৫.০ :: ৭ : বা, ২.৫৫.০ = ৭ বা, ২৫৫০ = ৭ বা,      × ২৫  = ৭ × ৫০ বা,      = ৭ × ৫০২৫ ∴      = ১৪ উত্তর : ২.৫ : ৫.০ :: ৭ :  ১৪ ।  (ঘ) ১৩ : ১৫ ::      : ৭১০ সমাধান :    ১৩ : ১৫ ::      : ৭১০ বা, ১৩১৫ =    ৭১০ বা, ৫৩ = ১০ ×   ৭ বা, ৩০ ×      = ৩৫ বা,      = ৩৫৩০ ∴      = ৭৬     উত্তর : ১৩ : ১৫ :: ৭৬ : ৭১০।  (ঙ)      : ১২.৫ :: ৫ : ২৫ সমাধান :      : ১২.৫ :: ৫ : ২৫ বা,   ১২.৫ = ৫২৫ বা,      × ২৫ = ৫ × ১২.৫ বা,      = ৫ × ১২.৫২৫ ∴      = ২.৫ উত্তর : ২.৫ :

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.১ এর সমাধান পোস্টে সকলকে স্বাগতম। এখানে এই অনুশীলনীর উত্তরের সাথে ৭ম শ্রেণির গণিতের অন্যান্য অনুশীলনীর সমাধনের লিংক শেয়ার করা হয়েছে। ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.৩ প্রশ্ন \ 1 \ কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং এদের একটি বিপরীত কোণ দেওয়া থাকলে, সর্বাধিক কয়টি ত্রিভুজ আঁকা যাবে? ক. 1 গ. 2✅ গ. 3 ঘ. 4 প্রশ্ন \ 2 \ কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব যখন তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য- ক. 1 সে.মি., 2 সে. মি. 3 সে. মি. খ. 3 সে.মি., 4 সে. মি. 5 সে. মি.✅ গ. 2 সে.মি., 4 সে. মি. 6 সে. মি. ঘ. 3 সে.মি., 4 সে. মি. 7 সে. মি. ব্যাখ্যা : ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। এখানে, 3 + 4 > 5 বা, 7 > 5 প্রশ্ন \ 3 \ i. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায়। ii. দুইটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায়। iii. কোনো ত্রিভুজের একাধিক স্থূলকোণ থাকতে পারে। উপরের তথ্য অনুসারে নিচের কোনটি সঠিক? ক. i ও ii ✅ খ. ii ও iii গ. i ও iii ঘ. i, ii ও iii নিচের চিত্র অনুসারে 4-5 নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও : ৪. ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে কি বলে? ক. ক্ষেত্রফল খ. আয়তন গ. দৈর্ঘ্য ঘ. পরিসীমা✅ 5. ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ কয়টি? ক. 1টি খ. 2টি গ. 3টি✅ ঘ. 4টি 6. সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি? ক. 300 খ. 450 গ. 600 ✅ঘ. 900 7. একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রী? ক. 300 ✅ খ. 600 গ. 900 ঘ. 1800 প্রশ্ন \ 8 \ C বিন্দুতে BA রেখার সমান্তরাল রেখা আঁকতে হলে, কোন কোণের সমান কোণ আঁকতে হবে? ক. ∠ABC ✅ খ. ∠ACB গ. ∠BAC ঘ. ∠CAD প্রশ্ন \ 9 \ ∠CAD এর সমান নিচের কোনটি? ক. ∠BAC + ∠ACB খ. ∠ABC + ∠ACB ✅ গ. ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC ঘ. ∠ABC + ∠BAC প্রশ্ন \ 10 \ একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক। (ক) 3 সে.মি., 4 সে.মি., 6 সে.মি. (খ) 3.5 সে.মি., 4.7 সে.মি., 5.6 সে.মি. সমাধান : (ক) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য x = 3 সে.মি., y = 4 সে.মি. এবং z = 6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রশ্মি হতে z -এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. এখন, B কে কেন্দ্র করে y- এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে এবং C কে কেন্দ্র করে x- এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করল। 4. এখন A,B ও A,C যোগ করি। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 4 সে.মি., BC = 6 সে.মি. এবং AC = 3 সে.মি.। ∴ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। (খ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য x = 3.5 সে.মি. y = 4.7 সে.মি. এবং z = 5.6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রশ্মি হতে z -এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. এখন, B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে y ও x এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করল। 4. এখন, A, B ও A, C যোগ করি। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 4.7 সে.মি., BC = 5.6 সে.মি. এবং AC = 3.5 সে.মি.। ∴ ABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। প্রশ্ন \ 11 \ একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক। (ক) 3 সে.মি., 4 সে.মি., 60° (খ) 3.8 সে.মি., 4.7 সে.মি., 45° সমাধান : (ক) বিশেষ নির্বচন : একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x = 3 সে.মি. ও y = 4 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠z = 60° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রেখাংশ হতে y-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. B বিন্দুতে ∠z-এর সমান করে ∠EBD আঁকি। 4. BD রেখা হতে x-এর সমান করে BA অংশ কেটে নিই। 5. এখন A, C যোগ করি। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 3 সে.মি., BC = 4 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = 60°। ∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। (খ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x = 3.8 সে.মি. ও ু = 4.7 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠z = 45°। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রশ্মি হতে y-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. B বিন্দুতে ∠z-এর সমান করে ∠EBD আঁকি। 4. BD রশ্মি হতে x-এর সমান করে BA অংশ কেটে নিই। 5. এখন A, C যোগ করি। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 3.8 সে.মি., BC = 4.7 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = 45°। ∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। প্রশ্ন \ 12 \ একটি ত্রিভুজের একটি বাহু ও এর সংলগ্ন দুইটি কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক। (ক) 5 সে.মি., 30°, 45° (খ) 4 সে.মি., 45°, 60° সমাধান : (ক) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের একটি বাহু x = 5 সে.মি. এবং এর সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠y = 30° ও ∠z = 45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BE রশ্মি হতে x-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. B বিন্দুতে ∠y-এর সমান করে ∠Cইচ এবং C বিন্দুতে ∠z-এর সমান করে ∠Bঈছ আঁকি। 4. এখন, ইচ ও ঈছ রেখাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করল। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ ∠ABC = 30°, ∠ACB = 45° এবং BC = 5 সে.মি.। ∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ। (খ) বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের একটি বাহু x = 4 সে.মি. এবং এর সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠P = 45° ও ∠Q = 60° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন : 1. BD যেকোনো একটি রশ্মি নিই। 2. BD রশ্মি হতে x-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই। 3. B বিন্দুতে ∠P -এর সমান করে ∠CBE

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.২ এর সমাধান পোস্টে সকল কে স্বাগতম। এখানে সপ্তম শ্রেণির গণিতের শুধুমাত্র অনুশীলনী ৯.২ এর সমাধান দেওয়া হয়েছে। সপ্তম শ্রেণির সকল বিষয়ের সমাধান পেতে নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন। সপ্তম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.২   নিচের তথ্যের ভিত্তিতে 1-3 নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও : চিত্রে, CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB \ CE এবং ∠ECD = 60° প্রশ্ন \ 1 \ ∠BAC এর মান নিচের কোনটি? ক. 30° খ. 45° গ. 60°✅ ঘ. 120° ব্যাখ্যা : যেহেতু AB \ CE এবং AC ছেদক ∴ ∠BAC = ∠ACE [একান্তর কোণ] কিন্তু CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। সুতরাং ∠ACE = ∠ECD = 60° ∴ ∠BAC = 60° প্রশ্ন \ 2 \ ∠ACD এর মান নিচের কোনটি? ক. 60° খ. 90° গ.120°✅ ঘ. 180° ব্যাখ্যা : ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD = 60° + 60° = 120° প্রশ্ন \ 3 \ ΔABC কোন ধরনের ত্রিভুজ? ক. স্থূলকোণী খ. সমদ্বিবাহু গ. সমবাহু✅ ঘ. সমকোণী ব্যাখ্যা : যেহেতু BA \ CE এবং BD ছেদক ∴ ∠ABC = ∠ECD = 60° [অনুরূপ কোণ] আবার, ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° বা, 60° + 60° + ∠ACB = 180° বা, ∠ACB = 180° – 120° = 60° ∴ ∠ACB = 60° সুতরাং ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60° অতএব, ΔABC সমবাহু প্রশ্ন \ ৪ \ একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে 5 সে.মি. এবং 4 সে.মি. ত্রিভুজটির অপর বাহুটি নিচের কোনটি হতে পারে? ক. 1 সে.মি. গ. 4 সে.মি.✅ গ. 9 সে.মি. ঘ. 10 সে.মি. ব্যাখ্যা : 5 সে.মি. + 4 সে.মি. = 9 সে.মি. > 4 সে.মি. প্রশ্ন \ ৫ \ সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষকোণদ্বয়ের একটি 40° হলে, অপর সূক্ষকোণের মান নিচের কোনটি? ক. 40° খ. 45° গ. 50°✅ ঘ. 60° ব্যাখ্যা : অপর সূক্ষকোণ = 90° – 40° = 50° প্রশ্ন \ 6 \ কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে? ক. সমবাহু খ. সূক্ষকোণী গ. সমকোণী✅ ঘ. স্থূলকোণী প্রশ্ন \ 7 \ ΔABC-এ AB > AC এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, PB > PC. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ΔABC এ AB > AC এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, PB > PC. প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা 1. ΔABC -এ AB > AC [কল্পনা] ∴ ∠ACB > ∠ABC [ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর] ∴1/2 ∠ACB > 1/2 ∠ABC. [ উভয়পক্ষকে 12 দ্বারা গুণ করে ] বা, ∠PCB >∠PBC [PB ও PC যথাক্রমে ∠ABC এবং ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক] 2. ΔPBC -এ ∠PCB >∠PBC ∴ PB > PC. [প্রমাণিত] [বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] প্রশ্ন \ 8 \ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর AB = AC; BC কে যেকোনো দূরত্বে উ পর্যন্ত বাড়ানো হলো। প্রমাণ কর যে, AD > AB. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ΔABC-এ AB = AC; BC কে যেকোনো দূরত্বে উ পর্যন্ত বাড়ানো হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, AD > AB. প্রমাণ : ধাপ: যথার্থতা 1. ΔABC-এ AB = AC [কল্পনা] ∴ ∠ABC = ∠ACB [ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান] 2. ΔADC-এর বহিঃস্থ ∠ACB ∴ ∠ACB > ∠ADC [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর] 3. ΔABD-এ ∠ABD >∠ADB [ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর] ∴ AD > AB. [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ 9 \ ABCD চতুর্ভুজে AB = AD, BC = CD এবং CD > AD. প্রমাণ কর যে, ∠DAB >∠BCD. সমাধান : মনে করি, ABCD চতুর্ভুজে AB = AD, BC = CD এবং CD > AD. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠DAB > ∠BCD. অঙ্কন : A, C যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ                                   যথার্থতা 1. ΔADC -এ CD > AD [কল্পনা] ∴ ∠DAC > ∠DCA [ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর] 2. ΔABC -এ BC > AB [CD = BC এবং AD = AB] ∴ ∠BAC > ∠BCA [1 নং অনুসারে] 3. ∠DAC + ∠BAC > ∠DAC + ∠BCA [ উভয়পক্ষে ∠DAC যোগ করে] বা, ∠DAC + ∠BAC > ∠DCA + ∠BCA [∵ ∠DAC > ∠DCA ] ∴ ∠DAB > ∠BCD [প্রমাণিত] ১০. △ABC এ ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু। (ক) তথ্যের আলোকে চিত্রটি অঙ্কন কর। (খ) দেখাও যে, AC>AB (গ) প্রমান কর যে, AB+AC>2AD সমাধানঃ (ক) প্রদত্তের আলোকে নিচের চিত্রটি আঁকা হলোঃ- (খ) △ABC এ ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু। দেখাতে হবে যে, AC>AB প্রামানঃ যদি AC>AB না হয় তবে AC=AB বা AC<AB হবে। AC=AB হলে, ∠ABC=∠ACB হবে [কারন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান হয়] কিন্তু, ∠ABC>∠ACB বিধায় AC=AB হবে না। আবার, AC<AB হলে, ∠ABC<∠ACB হবে [কারন ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর হয়] কিন্তু, ∠ABC>∠ACB বিধায় AC<AB হবে না। তাহলে, AC>AB হবে (দেখানো হলো) (গ) বিশেষ নির্বাচনঃ △ABC এ ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু। প্রমান করতে হবে যে, AB+AC>2AD. অঙ্কনঃ AD কে E পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করি যেন AD=DE হয়। এবং E, C যোগ করি। প্রমাণঃ △ABD ও △DEC-এর ক্ষেত্রে, AD=DE [অঙ্কনানুসারে] BD=DC [প্রশ্নানুসারে] ∠ADB=∠EDC [বিপ্রতীপ কোন] ∴△ABD ≅ △DEC ∴AB=EC এখন, △AEC-এর ক্ষেত্রে, AC+EC>AE বা, AC+AB>AD+DE [∴AB=EC] বা, AC+AB>2AD (প্রমাণিত) প্রশ্ন \ 11 \ ΔABC-এ AB = AC এবং D, BC-এর উপর একটি বিন্দু।প্রমাণ কর যে, AB > AD. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ΔABC -এ AB = AC এবং D, BC-এর উপর একটি বিন্দু। A, D যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AB > AD. প্রমাণ : ধাপ যথার্থতা 1. ΔABC-এ AB = AC ∴ ∠ABC = ∠ACB . [সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান] 2. ΔADC-এর বহিঃস্থ ∠ADB > ∠ACD [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর] বা, ∠ADB > ∠ACB . বা, ∠ADB > ∠ABC. [1 নং হতে] বা, ∠ADB > ∠ABD. 3. ΔABD-এ ∠ADB>∠ABD. ∴ AB > AD. [প্রমাণিত] [ত্রিভুজের বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] প্রশ্ন \ 12 \ ΔABC -এ AB ⊥ AC এবং D, AC-এর উপর একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, BC > BD. সমাধান : মনে করি, ΔABC -এ AB ⊥ AC এবং D, AC-এর উপর একটি বিন্দু। B, D

সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত ৯ অধ্যায় অনুশীলনী ৯.১ এর সমাধান দেখতে নিচে চোখ রাখুন। ছবিগুলো লোড হতে কিছুক্ষণ সময় লাগতে পারে দয়া করে অপেক্ষা করুন। ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.১   প্রশ্ন \ 1 \ ∠ABD, ∠CBD এবং ∠ADB এর মান নির্ণয় কর। সমাধান : চিত্রে, ΔABC এর ∠ABC = 90°, ∠BAC = 48° এবং BD⊥AC. ∴∠ADB = 90°, ∠ABD = 90° – 48° = 42° ∠BDC = 90°, ∠CBD = 90° – 42° = 48° প্রশ্ন \ 2 \ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত কোণটির মান 50°। অবশিষ্ট কোণ দুইটির মান নির্ণয় কর। সমাধান : ΔABC-এ AB = AC এবং শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত ∠BAC = 50°. অবশিষ্ট কোণ দুইটির মান নির্ণয় : ΔABC-এ AB = AC ∴ ∠ABC = ∠ACB  [ত্রিভুজের সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান] আবার, ΔABC-এ ∠ABC +∠ACB +∠BAC =180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] বা, ∠ABC +∠ABC + 50°=180°  [∵∠ABC = ∠ACB ] বা, 2∠ABC =180°- 500 =130° ∴ ∠ABC = 1300/2 = 65° ∴∠ABC = ∠ACB = 65° প্রশ্ন \ 3 \ প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণের সমান। সমাধান : মনে করি, ΔABCD একটি চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠A +∠B +∠C +∠D = চার সমকোণ। প্রমাণ : ধাপ : 1. ΔABD এ ∠BAD +∠ABD +∠ADB = দুই সমকোণ। [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] 2. ΔBCD-এ ∠BCD +∠DBC +∠BDC = দুই সমকোণ। [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] 3. ∴∠BAD + ∠BCD + (∠ABD + ∠DBC) + (∠ADB +∠BDC) = চার সমকোণ [1 ও 2 হতে] ∴∠BAD + ∠BCD + ∠ABC + ∠ADC = চার সমকোণ [প্রমাণিত] যথার্থতা প্রশ্ন \ 4 \ দুইটি রেখা PQ এবং RS পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। PQ এবং RS এর উপর যথাক্রমে L ও M এবং E ও F চারটি বিন্দু, যেন, LM ⊥ RS, EF ⊥ PQ. প্রমাণ কর যে, ∠MLO =∠FEO. সমাধান : মনে করি, PQ এবং RS রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। PQ এবং RS এর উপর যথাক্রমে L ও M এবং E ও F চারটি বিন্দু যেন LM ⊥ RS এবং EF ⊥ PQ হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠MLO =∠FEO. প্রমাণ : ধাপ : 1. ∠LMO = ∠EFO [সমকোণ] 2. ∠MOL = ∠EOF [বিপ্রতীপ কোণ] 3. ∠MOL +∠MLO +∠LMO =∠EOF +∠EFO +∠FEO [প্রত্যেকেই দুই সমকোণের সমান] 4. ∠MLO = ∠FEO [প্রমাণিত] যথার্থতা [সমান সমান কোণ বাদ দিয়ে] প্রশ্ন \ 5 \ ΔABC-এর AC ⊥ BC; E, AC এর বর্ধিতাংশের উপর যেকোনো বিন্দু এবং ED ⊥ AB. ED এবং BC পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, ∠CEO = ∠DBO. সমাধান : মনে করি, ΔABC এর AC ⊥ BC; E, AC এর বর্ধিতাংশের উপর যেকোনো বিন্দু এবং ED ⊥ AB. ED এবং BC পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠CEO = ∠DBO. প্রমাণ : ধাপ : 1. ∠BOD = ∠COE [বিপ্রতীপ কোণ] 2. ∠BDO = ∠OCE [সমকোণ] 3. ΔBDO এ-∠DBO + ∠BDO + ∠BOD = দুই সমকোণ। [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] 4. তদ্রæপ ΔCEO এ ∠COE + ∠OCE + ∠CEO = দুই সমকোণ। [একইভাবে] ∴∠COE + ∠OCE + ∠CEO =∠DBO + ∠BDO + ∠BOD [3 এবং 4 হতে] ∴∠CEO =∠DBO [প্রমাণিত] যথার্থতা [ উভয়পক্ষ থেকে সমান কোণ বাদ দিয়ে] আরো পড়ুনঃ 🔶🔶 ৭ম শ্রেণির গণিত সমাধান 🔶🔶 ৭ম শ্রেণির সকল বিষয় সমাধান