এসএসসি গণিত ১২ অধ্যায় দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ অনুশীলনী ১২.১ প্রশ্ন সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি গণিত ১২ অধ্যায় দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ অনুশীলনীর প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

দ্বাদশ অধ্যায় দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ

বি.দ্র: কিছু ফন্ট ঠিক দেখতে Google Chrome Browser ব্যবহার করুন।

পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি

👉 সরল সহসমীকরণ
সরল সহসমীকরণ বলতে দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণকে বুঝায় যাদের যুগপৎ সমাধান চাওয়া হয়, এরূপ দুইটি সমীকরণকে একত্রে সরল সমীকরণজোটও বলে। প্রথমে আমরা ২ী + ু = ১২ সমীকরণটি বিবেচনা করি। এটি একটি দুই চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ।

	সমীকরণজোট	সহগ ও ধ্রুবক পদ তুলনা	সমঞ্জস/অসমঞ্জস	পরস্পর নির্ভরশীল/অনির্ভরশীল	সমাধান আছে (কয়টি)/নেই
(i)	a¹x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂	$\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}$	সমঞ্জস	অনির্ভরশীল	আছে (একটিমাত্র)
(ii)	a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂	$\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$	সমঞ্জস	নির্ভরশীল	আছে (অসংখ্য)
(iii)	a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂	$\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$	অসমঞ্জস	অনির্ভরশীল	নেই

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

নিচের সরল সহসমীকরণগুলো সমঞ্জস, পরস্পর নির্ভরশীল/অনির্ভরশীল কি না যুক্তিসহ উল্লেখ কর এবং এগুলোর সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ কর :
প্রশ্ন \ ১ \ x – y = 4

x + y = 10

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ জোট : $_{\left. {_{x + y = 10}^{x - y = 4}} \right\}}$

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{1}{1}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত – $\frac{1}{1}$
আমরা পাই, $\frac{1}{1}$ ≠ – $\frac{1}{1}$
∴ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান আছে।

প্রশ্ন \ ২ \ 2x + y = 3

4x + 2y = 6

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণজোট : $_{\left. {_{4x + 2y = 6}^{2x + y = 3}} \right\}}$

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{2}{4}$ বা $\frac{1}{2}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{1}{2}$
ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত ৩৬ বা $\frac{1}{2}$
আমরা পাই, $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{6}$

∴ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির অসংখ্য সমাধান আছে।

প্রশ্ন \ ৩ \ x – y – 4 = 0

3x – 3y – 10 = 0

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণজোট : $_{\left. {_{3x - 3y - 10 = 0ev3x - 3y = 10}^{x - y - 4 = 0evx - y = 4}} \right\}}$

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{1}{3}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{{ - 1}}{{ - 3}}$ বা $\frac{1}{3}$
ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত $\frac{{ - 4}}{{ - 10}}$ বা $\frac{2}{5}$

আমরা পাই, $\frac{1}{3}$ = $\frac{{ - 1}}{{ - 3}}$ ≠ $\frac{4}{{10}}$

∴ সমীকরণজোটটি অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।
সমীকরণজোটটির কোনো সমাধান নেই।

প্রশ্ন \ ৪ \ 3x + 2y = 0

6x + 4y = 0

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণজোট : $_{\left. {_{6x + 4y = 0}^{3x + 2y = 0}} \right\}}$

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{3}{6}$ বা $\frac{1}{2}$
y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{2}{4}$ বা $\frac{1}{2}$
আমরা পাই, $\frac{3}{6}$ = $\frac{2}{4}$
∴ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির অসংখ্য সমাধান আছে।

প্রশ্ন \ ৫ \ 3x + 2y = 0

9x – 6y = 0

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণজোট : $_{\left. {_{9x - 6y = 0}^{3x + 2y = 0}} \right\}}$

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{3}{9}$ বা $\frac{1}{3}$
y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{2}{{ - 6}}$ বা $\frac{1}{{ - 3}}$

আমরা পাই, $\frac{3}{9}$ ≠ $\frac{2}{{ - 6}}$

∴ সমীকরণজোটটি সর্বদা সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল এবং একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান আছে।

প্রশ্ন \ ৬ \ 5x – 2y – 16 = 0

3x – y = 2

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণজোট : $_{\left. {_{3x - \frac{6}{5}y = 2}^{5x - 2y = 16}} \right\}}$

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{5}{3}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{{ - 2}}{{ - \frac{6}{5}}}$ বা, $\left( {\frac{{ - 2}}{1} \times \frac{5}{{ - 6}}} \right)$ বা $\frac{5}{3}$
ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত = $\frac{{16}}{2}$ বা $\frac{8}{1}$

আমরা পাই, $\frac{5}{3}$ = $\frac{{ - 2}}{{ - \frac{6}{5}}}$ ≠ $\frac{{16}}{2}$
∴ সমীকরণজোটটি অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির কোনো সমাধান নেই।

প্রশ্ন \ ৭ \ $- \frac{{\bf{1}}}{{\bf{2}}}{\bf{x}} + {\bf{y}} = - 1$

x – 2y = 2

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণজোট : $_{\left. {_{x - 2y = 2}^{ - \frac{1}{2}x + y = - 1}} \right\}}$

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{{ - \frac{1}{2}}}{1}$ বা – $\frac{1}{2}$
y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{1}{{ - 2}}$ বা – $\frac{1}{2}$
ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত – $\frac{1}{2}$
আমরা পাই, $\frac{{ - \frac{1}{2}}}{1}$ = $\frac{1}{{ - 2}}$ = – $\frac{1}{2}$
∴ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির অসংখ্য সমাধান আছে।

প্রশ্ন \ ৮ \ $- {\rm{ }}\frac{1}{2}x - y = 0$

x – 2y = 0

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণজোট : $_{\left. {_{x - 2y = 0}^{ - \frac{1}{2}x - y = 0}} \right\}}$

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{{ - \frac{1}{2}}}{1}$ বা – $\frac{1}{2}$
y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{{ - 1}}{{ - 2}}$ বা $\frac{1}{2}$
আমরা পাই, $\frac{{ - \frac{1}{2}}}{1}$ ≠ $\frac{{ - 1}}{{ - 2}}$ [∵ c₁ = c₂ = o]
∴ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান আছে।

প্রশ্ন \ ৯ \ $- {\rm{ }}\frac{1}{2}x + y = - 1$

x + y = 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণজোট : ${_{x + y = 5}^{ - \frac{1}{2}x + y = - 1}}$

∴ x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{{ - \frac{1}{2}}}{1}$ বা – $\frac{1}{2}$
y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{1}{1}$
আমরা পাই, – $\frac{1}{2}$ ≠ $\frac{1}{1}$
∴ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।
সমীকরণজোটটির একটিমাত্র সমাধান আছে।

প্রশ্ন \ ১০ \ ax – cy = 0

cx – ay = c² – a²

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণজোট : ${\left. {_{cx - ay = c2 - a2}^{ax - cy = 0}} \right\}}$