নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত নবম অধ্যায় ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ৯.১ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান দেখতে নিচে চোখ রাখুন। অন্যান্য অধ্যায়গুলোর উত্তর পেতে নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন।

সাধারণ গণিত নবম অধ্যায় ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ৯.১ অনুশীলনী

পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি

⇒ ত্রিকোণমিতি কাকে বলে? : ‘ত্রিকোণ’ শব্দটি দ্বারা তিনটি কোণ বোঝায় আর ‘মিতি’ শব্দটির অর্থ পরিমাপ বোঝায়। ইংরেজিতে ত্রিকোণমিতিকে Trigonometry বলা হয় ‘Trigon’ গ্রিক শব্দটির অর্থ তিনটি কোণ বা ত্রিভুজ এবং “metry” শব্দের অর্থ পরিমাপ।
অর্থাৎ, গণিতের যে শাখায় ত্রিভুজ সংক্রান্ত বিভিন্ন পরিমাপ সম্পর্কে বিশেষভাবে আলোচনা করা হয় তাকে ত্রিকোণমিতি বলে।

⇒ সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর নামকরণ : সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো অতিভুজ, ভুমি ও উন্নতি নামে অভিহিত হয়। আবার, সমকোণী ত্রিভুজের সূ্ক্ষকোণদ্বয়ের একটির সাপেক্ষে অবস্থানের প্রেক্ষিতেও বাহুগুলোর নামকরণ করা হয়। যথা :
ক. ‘অতিভুজ’, সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু যা সমকোণের বিপরীত বাহু
খ. ‘বিপরীত বাহু’, যা হলো প্রদত্ত কোণের সরাসরি বিপরীত দিকের বাহু
গ. ‘সন্নিহিত বাহু’, যা প্রদত্ত কোণ সৃষ্টিকারী একটি রেখাংশ।

∠PON কোণের জন্য অতিভুজ OP, সন্নিহিত বাহু ON, বিপরীত বাহু PN ∠OPN কোণের জন্য অতিভুজ OP, সন্নিহিত বাহু PN, বিপরীত বাহু ON

∠XOA সাপেক্ষে সমকোণী ত্রিভুজ POM-এর PM বাহুকে লম্ব, OM বাহুকে ভুমি, OP বাহুকে অতিভুজ ধরা হয়। এখন, ∠XOA = θ ধরলে θ কোণের যে ছθটি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পাওয়া যায় তা বর্ণনা করা হলো।
PM/OP = লম্ব/অতিভুজ =  sinθ
OM/OP = ভূমি/অতিভুজ =  cosθ.
PM/OM = লম্ব/ভূমি =  tanθ.
OM/PM = ভূমি/লম্ব =  cotθ.
OP/OM = অতিভুজ/ভূমি =  secθ.
OP/PM = অতিভুজ/লম্ব =  cosecθ.

*** মনে রাখার সহজ উপায়:

sinθ = সাগরে লবণ অনেক

cosθ = কবরে ভূত অনেক

tanθ =  ট্যারা লম্বা ভূত

ত্রিকোণমিতিক সূত্রসমূহ

1. sinθ. cosecθ = 1
∴sinθ= এবং cosecθ =

2. cosθ.secθ= 1
∴cosθ= এবং secθ =

3. tanθ.cotθ = 1
∴ tanθ= এবং cotθ =

4. tanθ=PM/OM
∴ tanθ=

এবং একইভাবে, cotθ =

⇒ ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি পিথাগোরাসের প্রতিজ্ঞা ব্যবহার করে যে সম্পর্ক পাওয়া যায় তা হলো :
1. sin²θ + cos²θ = 1

বা, sin²θ = 1 – cos²θ

বা, cos²θ = 1 – sin²θ

2. 1 + tan²θ = sec²θ
বা, sec²θ – tan²θ = 1

3. 1 + cot²θ = cosec²θ

বা, cosec²θ – cot²θ = 1

4. sec²q – tan²q = 1

5. cosec²q – cot²q = 1

সাধারণ গণিত নবম অধ্যায় ৯.১ অনুশীলনীর প্রশ্ন সমাধান

প্রশ্ন \ 1 \ নিচের গাণিতিক উক্তিগুলোর সত্য-মিথ্যা যাচাই কর। তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও।
(ক) tanA এর মান সর্বদা 1 এর চেয়ে কম।
সমাধান : উক্তিটি মিথ্যা।
যুক্তি : যখন A = 45°, তখন tanA এর মান tan 45° = 1। আবার, যখন A = 60° তখন tanA এর মান
tan 60° = √3 = 1.732 > 1
অর্থাৎ tanA এর মান 1 অথবা 1 অপেক্ষা বেশিও হতে পারে।

(খ) cotA হলো cot ও A এর গুণফল।
সমাধান : উক্তিটি মিথ্যা।
যুক্তি : cotA দ্বারা একটি কোণের পরিমাপকে বুঝানো হয়। A বাদে cot এর আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না।

(গ) A এর কোন মানের জন্য secA = 12/5
সমাধান : দেওয়া আছে, secA = 12/5
বা, 1/cosA = 12/5
বা, cosA = 5/12 = cos65.37°
[ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]
∴ A = 65.37° = 65.37°
নির্ণেয় A এর মান 65.37°

(ঘ) cos হলো cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ।
সমাধান : উক্তিটি মিথ্যা।
যুক্তি : cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ হলো cot
এবং cosine এর সংক্ষিপ্ত রূপ হলো cos।

প্রশ্ন \ 2 \ sinA = 3/4 হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, sinA = 3/4
অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু BC = 3 এবং অতিভুজ AC = 4

∴ AB =

=

=

\[\begin{array}{l}
\therefore {\rm{cosA = }}\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\\
\therefore {\rm{ tanA = }}\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{3}{{\sqrt 7 }}\\
\therefore {\rm{ cotA = }}\frac{1}{{tanA}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\\
{\rm{ }}\therefore {\rm{ secA = }}\frac{1}{{cosA}} = \frac{4}{{\sqrt 7 }}\\
\therefore {\rm{cosecA = }}\frac{1}{{sinA}} = \frac{4}{3}
\end{array}\]

প্রশ্ন \ 3 \ দেওয়া আছে, 15 cotA = 8, sinA ও secA এর মান বের কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, 15 cotA = 8
∴cotA = 8/15
অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু BC = 15
সন্নিহিত বাহু AB = 8
অতিভুজ AC =

=

= √289
= 17
∴ sinA = 15/17 ও secA = 17/8
নির্ণেয় মান, 15/17 ও 17/8

প্রশ্ন \ 4 \ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ, AB = 13 সে.মি., BC = 12 সে.মি. এবং ∠ABC = θ হলে, sinθ, cosθ ও tanθ এর মান বের কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ।
AB = 13 সে.মি., BC = 12 সে.মি. এবং ∠ABC = θ
পিথাগোরাসের উপাপাদ্য হতে পাই,
AB² = AC² + BC²
বা, AC² = AB² – BC²
বা, AC² = (13)² – (12)²
বা, AC² = 169 – 144
বা, AC² = 25
বা, AC = 25
∴ AC = 5
∴ sinθ = AC/AB = 5/13

cosθ = BC/AB = 12/13
এবং tanθ = AC/BC = 5/12
নির্ণেয় মান 5/13, 12/13, 5/12

প্রশ্ন \ 5 \ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 3 হলে, 3 sinA cosA = 3/4 এর সত্যতা যাচাই কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, tanA = √3
অতএব, লম্ব = √3
এবং ভুমি = 1
∴অতিভুজ =

=

= √4
= 2
∴ sinA =

এবং cosA =

বামপক্ষ = √3 sinA cosA
= [মান বসিয়ে]
=

= ডানপক্ষ
সুতরাং √3 sinA cosA = বাক্যটি সত্য।

⇒ প্রমাণ কর (6 – 20) :
প্রশ্ন \ 6 \ (i)

সমাধান : বামপক্ষ

= +

= +

=

= cos²A + sin²A
= 1
= ডানপক্ষ [∵ sin2A + cos2A = 1]
অর্থাৎ, [প্রমাণিত]

(ii)

সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= \frac{1}{{co{s^2}A}} – \frac{1}{{co{t^2}A}}\\
= {\left( {\frac{1}{{cosA}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ – }}{\left( {\frac{1}{{\cot A}}} \right)^{\rm{2}}}\\
= se{c^2}A{\rm{ }}–{\rm{ }}ta{n^2}A\\
= 1{\rm{ }} + {\rm{ }}ta{n^2}A{\rm{ }}–{\rm{ }}ta{n^2}A\;\\
= 1
\end{array}\]

= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, . [প্রমাণিত]

(iii)

সমাধান :
বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
{\rm{ = }}\frac{1}{{si{n^2}A}} – \frac{1}{{ta{n^2}A}}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{{si{n^2}A}} – \frac{1}{{\frac{{si{n^2}A}}{{co{s^2}A}}}}{\rm{ = }}\frac{1}{{si{n^2}A}} – \frac{{co{s^2}A}}{{si{n^2}A}}\\
{\rm{ = }}\frac{{1 – co{s^2}A}}{{si{n^2}A}}\\
{\rm{ = }}\frac{{si{n^2}A}}{{si{n^2}A}}
\end{array}\]
= 1 = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 7 \ (i) \[\frac{{{\bf{sinA}}}}{{{\bf{cosecA}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{cosA}}}}{{{\bf{secA}}}}{\rm{ = 1}}\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= \frac{{sinA}}{{cosecA}}{\rm{ + }}\frac{{cosA}}{{secA}}\\
= \frac{{sinA}}{{\frac{1}{{sinA}}}}{\rm{ + }}\frac{{cosA}}{{\frac{1}{{cosA}}}}\\
= sinA.sinA{\rm{ }} + {\rm{ }}cosA.cosA\\
= si{n^2}A{\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}A
\end{array}\]
= 1 = ডানপক্ষ
অর্থাৎ,   [প্রমাণিত]

(ii)

সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
{\rm{ = }}\frac{{secA}}{{cosA}}{\rm{ – }}\frac{{tanA}}{{cotA}}\\
{\rm{ = sec A }} \times {\rm{ }}\frac{1}{{cosA}}{\rm{ – tanA }} \times {\rm{ }}\frac{1}{{cotA}}\\
{\rm{ = secA}}.{\rm{ secA – tanA}}.{\rm{ tanA}}\\
\left[ {secA = \frac{1}{{cosA}},tanA = \frac{1}{{cotA}}} \right]\\
{\rm{ = se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{A – ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}\\
{\rm{ = 1 + ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{A – ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}
\end{array}\]
= 1 = ডানপক্ষ
অর্থাৎ [প্রমাণিত]

 

(iii)

সমাধান :
বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= \frac{1}{{1 + si{n^2}A}} + \frac{1}{{1 + cose{c^2}A}}\\
= \frac{1}{{1 + si{n^2}A}} + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{si{n^2}A}}}}\\
= \frac{1}{{1 + si{n^2}A}} + \frac{{si{n^2}A}}{{1 + si{n^2}A}}\\
= \frac{{1 + si{n^2}A}}{{1 + si{n^2}A}}
\end{array}\]
= 1 = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, [প্রমাণিত]

 

প্রশ্ন \ 8 \ (i)

সমাধান :
বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= \frac{{tanA}}{{1 – cotA}}{\rm{ + }}\frac{{cotA}}{{1 – tanA}}\\
= \frac{{\frac{{sinA}}{{cosA}}}}{{1 – \frac{{cosA}}{{sinA}}}} + \frac{{\frac{{cosA}}{{sinA}}}}{{1 – \frac{{sinA}}{{cosA}}}}\\
= \frac{{\frac{{sinA}}{{cosA}}}}{{\frac{{sinA – cosA}}{{sinA}}}}{\rm{ + }}\frac{{\frac{{cosA}}{{sinA}}}}{{\frac{{cosA – sinA}}{{cosA}}}}\\
= \frac{{sinA}}{{cosA}}{\rm{ }} \times {\rm{ }}\left( {\frac{{sinA}}{{sinA – cosA}}} \right){\rm{ + }}\frac{{cosA}}{{sinA}}{\rm{ }} \times \left( {\frac{{cosA}}{{cosA – sinA}}} \right)\\
= \frac{{si{n^2}A}}{{cosA(sinA – cosA)}}{\rm{ + }}\frac{{co{s^2}A}}{{sinA(cosA – sinA)}}\\
= \frac{{si{n^2}A}}{{cosA(sinA – cosA)}}{\rm{ – }}\frac{{co{s^2}A}}{{sinA(sinA – cosA)}}\\
= \frac{{si{n^3}A – co{s^3}A}}{{sinA.cosA(sinA – cosA)}}\\
= \frac{{(sinA – cosA)(si{n^2}A + sinA.cosA + co{s^2}A)}}{{sinA.cosA(sinA – cosA)}}\\
= \frac{{1 + sinA.cosA}}{{sinA.cosA}}\\
= \frac{1}{{sinA.cosA}}{\rm{ + }}\frac{{sinA.cosA}}{{sinA.cosA}}\\
= \left( {\frac{1}{{cosA}}} \right)\left( {\frac{1}{{sinA}}} \right){\rm{ + 1}}\\
{\rm{ = }}sec{\rm{ }}A.cosec{\rm{ }}A{\rm{ }} + {\rm{ }}1
\end{array}\]
= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, [প্রমাণিত]

(ii) \[\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{1}} + {\bf{ta}}{{\bf{n}}^{\bf{2}}}{\bf{A}}}} + \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{1}} + {\bf{co}}{{\bf{t}}^{\bf{2}}}{\bf{A}}}} = {\bf{1}}\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
{\rm{ = }}\frac{1}{{1 + ta{n^2}A}} + \frac{1}{{1 + co{t^2}A}}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{{1 + ta{n^2}A}} + \frac{1}{{1 + \frac{1}{{ta{n^2}A}}}}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{{1 + ta{n^2}A}}{\rm{ + }}\frac{{ta{n^2}A}}{{1 + ta{n^2}A}}\\
{\rm{ = }}\frac{{1 + ta{n^2}A}}{{1 + ta{n^2}A}}{\rm{ }}
\end{array}\]

= 1 = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{1}} + {\bf{ta}}{{\bf{n}}^{\bf{2}}}{\bf{A}}}} + \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{1}} + {\bf{co}}{{\bf{t}}^{\bf{2}}}{\bf{A}}}} = {\bf{1}}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 9 \ \[\frac{{{\bf{cosA}}}}{{{\bf{1}} – tanA}} + \frac{{sinA}}{{1 – cotA}} = sinA + cosA\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= \frac{{cosA}}{{1 – tanA}} + \frac{{sinA}}{{1 – cotA}}\\
= \frac{{cosA}}{{1 – \frac{{sinA}}{{cosA}}}} + \frac{{sinA}}{{1 – \frac{{cosA}}{{sinA}}}}\\
= \frac{{co{s^2}A}}{{cosA – sinA}} + \frac{{si{n^2}A}}{{sinA – cosA}}\\
{\rm{ = }}\frac{{co{s^2}A}}{{cosA – sinA}} – \frac{{si{n^2}A}}{{cosA – sinA}}\\
{\rm{ = }}\frac{{co{s^2}A – si{n^2}A}}{{cosA – sinA}}\\
= {\rm{ }}cosA{\rm{ }} + {\rm{ }}sinA
\end{array}\]

= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[\frac{{{\bf{cosA}}}}{{{\bf{1}} – tanA}} + \frac{{sinA}}{{1 – cotA}} = sinA + cosA\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 10 \ \[{\rm{tanA }}\sqrt {1 – si{n^2}A} = sinA\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
{\rm{ = tanA }}\sqrt {1 – si{n^2}A} \\
{\rm{ = tanA}}\sqrt {co{s^2}A} \\
{\rm{ = }}\frac{{sinA}}{{cosA}} \times cosA{\rm{ }}\\
{\rm{ = sinA }}
\end{array}\]

= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[{\rm{tanA }}\sqrt {1 – si{n^2}A} = sinA\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 11 \ \[\frac{{{\bf{secA}} + {\bf{tanA}}}}{{{\bf{cosecA}} + {\bf{cotA}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{cosecAcotA}}}}{{{\bf{secAtanA}}}}\]
সমাধান :
বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
\frac{{secA + tanA}}{{cosecA + cotA}}\\
= \frac{{(secA + tanA)(secA – tanA)}}{{(cosecA + cotA)(secA – tanA)}}{\rm{ }} \times {\rm{ }}\frac{{(cosecA – cotA)}}{{(cosecA – cotA)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{(secA + tanA)(secA – tanA)}}{{(cosecA + cotA)(cosecA – cotA)}}{\rm{ }} \times {\rm{ }}\frac{{(cosecA – cotA)}}{{(secA – tanA)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{se{c^2}A – ta{n^2}A}}{{cose{c^2}A – co{t^2}A}}{\rm{ }} \times {\rm{ }}\frac{{cosecA – cotA}}{{secA – tanA}}\\
{\rm{ = }}\frac{{1.(cosecA – cotA)}}{{1.(secA – tanA)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{cosecA – cotA}}{{secA – tanA}}
\end{array}\]
= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[\frac{{{\bf{secA}} + {\bf{tanA}}}}{{{\bf{cosecA}} + {\bf{cotA}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{cosecAcotA}}}}{{{\bf{secAtanA}}}}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 12 \ \[\frac{{{\bf{cosecA}}}}{{{\bf{cosecA}} – {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{cosecA}}}}{{{\bf{cosecA}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = 2se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}\]
সমাধান :
বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= \frac{{cosecA}}{{cosecA – 1}}{\rm{ + }}\frac{{cosecA}}{{cosecA + 1}}\\
{\rm{ = }}\frac{{cosecA(cosecA + 1) + cosecA(cosecA – 1)}}{{(cosecA – 1)(cosecA + 1)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{cose{c^2}A + cosecA + cose{c^2}A – cosecA}}{{cose{c^2}A – 1}}\\
= \frac{{2cose{c^2}A}}{{1 + co{t^2}A – 1}}\\
= \frac{{2cose{c^2}A}}{{co{t^2}A}}\\
{\rm{ = }}\frac{{\frac{2}{{si{n^2}A}}}}{{\frac{{co{s^2}A}}{{si{n^2}A}}}}\\
= \frac{2}{{si{n^2}A}}{\rm{ }} \times {\rm{ }}\frac{{si{n^2}A}}{{co{s^2}A}}\\
{\rm{ = 2}} \cdot {\rm{ }}\frac{1}{{co{s^2}A}}{\rm{ }}\\
{\rm{ = 2}} \cdot {\rm{ }}{\left( {\frac{1}{{cosA}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ }}\\
= {\rm{ }}2{\rm{ }}se{c^2}A\;
\end{array}\]
= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[\frac{{{\bf{cosecA}}}}{{{\bf{cosecA}} – {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{cosecA}}}}{{{\bf{cosecA}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = 2se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 13 \  \[\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{1}} + {\bf{sinA}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{1}} – {\bf{sinA}}}}{\rm{ = 2 se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
{\rm{ = }}\frac{1}{{1 + sinA}}{\rm{ + }}\frac{1}{{1 – sinA}}\\
{\rm{ = }}\frac{{1 – sinA + 1 + sinA}}{{(1 + sinA)(1 – sinA)}}\\
{\rm{ = }}\frac{2}{{1 – si{n^2}A}}\\
{\rm{ = }}\frac{2}{{co{s^2}A}}{\rm{ [}}{\rm{ 1 }} – {\rm{ si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{A = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{A]}}\\
{\rm{ = 2 se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}
\end{array}\]
= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{1}} + {\bf{sinA}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{1}} – {\bf{sinA}}}}{\rm{ = 2 se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 14 \ \[\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{cosecA}} – {\bf{1}}}} – \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{cosecA}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = 2ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
{\rm{ = }}\frac{1}{{cosecA – 1}}{\rm{ – }}\frac{1}{{cosecA + 1}}\\
{\rm{ = }}\frac{{cosecA + 1 – cosecA + 1}}{{(cosecA – 1)(cosecA + 1)}}\\
{\rm{ = }}\frac{2}{{cose{c^2}A – 1}}\\
{\rm{ = }}\frac{2}{{1 + co{t^2}A – 1}}\\
{\rm{ = }}\frac{2}{{co{t^2}A}}\\
{\rm{ = 2}}.{\rm{ }}{\left( {\frac{1}{{cotA}}} \right)^{\rm{2}}}\\
= {\rm{ }}2.{\left( {tanA} \right)^2}\\
= {\rm{ }}2{\rm{ }}ta{n^2}A
\end{array}\]

= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{cosecA}} – {\bf{1}}}} – \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{cosecA}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = 2ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 15 \ \[\frac{{{\bf{sinA}}}}{{{\bf{1}} – {\bf{cosA}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{1}} – {\bf{cosA}}}}{{{\bf{sinA}}}}{\rm{ = 2cosecA}}\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
{\rm{ = }}\frac{{sinA}}{{1 – cosA}}{\rm{ + }}\frac{{1 – cosA}}{{sinA}}\\
{\rm{ = }}\frac{{si{n^2}A + {{(1 – cosA)}^2}}}{{(1 – cosA)sinA}}\\
{\rm{ = }}\frac{{si{n^2}A + 1 – 2cosA + co{s^2}A}}{{sinA(1 – cosA)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{(si{n^2}A + co{s^2}A) + 1 – 2cosA}}{{sinA(1 – cosA)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{1 + 1 – 2cosA}}{{sinA(1 – cosA)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{2 – 2cosA}}{{sinA(1 – cosA)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{2(1 – cosA)}}{{sinA(1 – cosA)}}\\
{\rm{ = 2}} \cdot {\rm{ }}\frac{1}{{sinA}}{\rm{ }}\\
{\rm{ = 2cosecA }}
\end{array}\]
= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[\frac{{{\bf{sinA}}}}{{{\bf{1}} – {\bf{cosA}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{1}} – {\bf{cosA}}}}{{{\bf{sinA}}}}{\rm{ = 2cosecA}}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 16 \ \[\frac{{{\bf{tanA}}}}{{{\bf{secA}} + {\bf{1}}}}{\rm{ – }}\frac{{{\bf{secA}} – {\bf{1}}}}{{{\bf{tanA}}}}{\rm{ = 0 }}\]
সমাধান : বামপক্ষ

= \[\begin{array}{l}
\frac{{{\bf{tanA}}}}{{{\bf{secA}} + {\bf{1}}}}{\rm{ – }}\frac{{{\bf{secA}} – {\bf{1}}}}{{{\bf{tanA}}}}\\
{\rm{ = }}\frac{{ta{n^2}A – (secA – 1)(secA + 1)}}{{tanA(secA + 1)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{ta{n^2}A – (se{c^2}A – 1)}}{{tanA(secA + 1)}}\\
= \frac{{ta{n^2}A – (1 + ta{n^2}A – 1)}}{{tanA(secA + 1)}}\\
{\rm{ = }}\frac{{ta{n^2}A – ta{n^2}A}}{{tanA(secA + 1)}}\\
{\rm{ = }}\frac{0}{{tanA(secA + 1)}}
\end{array}\]
= 0 = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[\frac{{{\bf{tanA}}}}{{{\bf{secA}} + {\bf{1}}}}{\rm{ – }}\frac{{{\bf{secA}} – {\bf{1}}}}{{{\bf{tanA}}}}{\rm{ = 0 }}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 17 \ \[{{\rm{(tan}}\theta {\rm{ + sec}}\theta {\rm{)}}^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{1 + sin\theta }}{{1 – sin\theta }}{\rm{ }}\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= {\rm{ }}{(tan\theta + {\rm{ }}sec\theta )^2}\\
{\rm{ = }}{\left( {\frac{{sin\theta }}{{cos\theta }} + \frac{1}{{cos\theta }}} \right)^{{{\rm{2}}_{\rm{ }}}}}{\rm{ }}\\
{\rm{ = }}{\left( {\frac{{sin\theta + 1}}{{cos\theta }}} \right)^{\rm{2}}}\\
{\rm{ = }}\frac{{{{(1 + sin\theta )}^2}}}{{co{s^2}\theta }}\\
{\rm{ = }}\frac{{(1 + sin\theta )(1 + sin\theta )}}{{1 – si{n^2}\theta }}\\
{\rm{ = }}\frac{{(1 + sin\theta )(1 + sin\theta )}}{{(1 + sin\theta )(1 – sin\theta )}}\\
{\rm{ = }}\frac{{1 + sin\theta }}{{1 – sin\theta }}
\end{array}\]
= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[{{\rm{(tan}}\theta {\rm{ + sec}}\theta {\rm{)}}^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{1 + sin\theta }}{{1 – sin\theta }}{\rm{ }}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 18 \ \[\frac{{{\bf{cotA}} + {\bf{tanB}}}}{{{\bf{cotB}} + {\bf{tanA}}}}{\rm{ = cotA}}.{\rm{ tanB}}\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= \frac{{{\bf{cotA}} + {\bf{tanB}}}}{{{\bf{cotB}} + {\bf{tanA}}}}\\
= \frac{{\frac{{cosA}}{{sinA}} + \frac{{sinB}}{{cosB}}}}{{\frac{{cosB}}{{sinB}} + \frac{{sinA}}{{cosA}}}}\\
= \frac{{\frac{{cosA.cosB + sinA.sinB}}{{sinA.cosB}}}}{{\frac{{cosA.cosB + sinA.sinB}}{{sinB.cosA}}}}\\
= \frac{{cosA.cosB + sinA.sinB}}{{sinA.cosB}}{\rm{ }} \times {\rm{ }}\frac{{sinB.cosA}}{{cosA.cosB + sinA.sinB}}\\
= \frac{{cosA}}{{sinA}} \cdot {\rm{ }}\frac{{sinB}}{{cosB}}\\
= cotA.tanB
\end{array}\]

= ডানপক্ষ
অর্থাৎ,\[\frac{{{\bf{cotA}} + {\bf{tanB}}}}{{{\bf{cotB}} + {\bf{tanA}}}}{\rm{ = cotA}}.{\rm{ tanB}}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 19 \ \[\sqrt {\frac{{{\bf{1}} – {\bf{sinA}}}}{{{\bf{1}} + {\bf{sinA}}}}} {\rm{ = secA – tanA }}\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= \sqrt {\frac{{{\bf{1}} – {\bf{sinA}}}}{{{\bf{1}} + {\bf{sinA}}}}} {\rm{ }}\\
{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{(1 – sinA)(1 – sinA)}}{{(1 + sinA)(1 – sinA)}}} \\
= \sqrt {\frac{{{{(1 – sinA)}^2}}}{{1 – si{n^2}A}}} \\
= {\rm{ }}\sqrt {\frac{{{{(1 – sinA)}^2}}}{{co{s^2}A}}} \\
= \frac{{1 – sinA}}{{cosA}}\\
= \frac{1}{{cosA}}{\rm{ – }}\frac{{sinA}}{{cosA}}\\
= secA{\rm{ }}–{\rm{ }}tanA
\end{array}\]
= ডানপক্ষ
অর্থাৎ,\[\sqrt {\frac{{{\bf{1}} – {\bf{sinA}}}}{{{\bf{1}} + {\bf{sinA}}}}} {\rm{ = secA – tanA }}\][প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 20\ \[\sqrt {\frac{{{\bf{secA}} + {\bf{1}}}}{{{\bf{secA}} – {\bf{1}}}}} {\rm{ = cotA + cosecA }}\]
সমাধান : বামপক্ষ

\[\begin{array}{l}
= \sqrt {\frac{{{\bf{secA}} + {\bf{1}}}}{{{\bf{secA}} – {\bf{1}}}}} \\
= \sqrt {\frac{{(secA + 1)(secA + 1)}}{{(secA – 1)(secA + 1)}}} \\
= \sqrt {\frac{{{{(secA + 1)}^2}}}{{se{c^2}A1}}} \\
= \sqrt {\frac{{{{(secA + 1)}^2}}}{{1 + ta{n^2}A – 1}}} \\
= {\sqrt {\frac{{(secA + 1)2}}{{ta{n^2}A}}} ^{}}\\
= \frac{{secA + 1}}{{tanA}}\\
= \frac{{secA}}{{tanA}}{\rm{ + }}\frac{1}{{tanA}}\\
= \frac{{\frac{1}{{cosA}}}}{{\frac{{sinA}}{{cosA}}}}{\rm{ + cot A}}\\
= \frac{1}{{cosA}} \cdot {\rm{ }}\frac{{cosA}}{{sinA}}{\rm{ + cotA}}\\
= \frac{1}{{sinA}}{\rm{ + cot A}}\\
= cosecA\; + {\rm{ }}cotA\;
\end{array}\]
= ডানপক্ষ
অর্থাৎ, \[\sqrt {\frac{{{\bf{secA}} + {\bf{1}}}}{{{\bf{secA}} – {\bf{1}}}}} {\rm{ = cotA + cosecA }}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 21 \ cosA + sinA = √2cosA হলে, প্রমাণ কর যে, cosA – sinA = √2sinA
সমাধান : দেওয়া আছে,

\[\begin{array}{l}
{\rm{cosA + sinA = }}\sqrt 2 {\rm{cosA}}\\
{\rm{sinA = }}\sqrt 2 {\rm{cosA }} – {\rm{ cosA}}\\
{\rm{sinA = }}\left( {\sqrt 2 – 1} \right){\rm{cosA}}\\
{\rm{cosA = }}\frac{{sinA}}{{\sqrt 2 – 1}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)sinA}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}}{\rm{ }}\\
{\rm{cosA = }}\frac{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)sinA}}{{2 – 1}}\\
{\rm{cosA = }}\left( {\sqrt 2 + 1} \right)sinA\\
{\rm{cosA = }}\sqrt 2 sinA + sinA\\
\therefore {\rm{ cosA }} – {\rm{ sinA = }}\sqrt 2 sinA{\rm{ }}
\end{array}\] [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ 22 \ যদি হয়, তবে এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে,

\[\begin{array}{l}
{\rm{tan A = }}\frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
ta{n^2}A{\rm{ }} = \;{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}\\
{\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{A = }}\frac{1}{3}\\
\frac{1}{{co{t^2}A}}{\rm{ = }}\frac{1}{3}{\rm{ }}\\
\therefore co{t^2}A{\rm{ }} = {\rm{ }}3
\end{array}\]
আমরা জানি,

\[\begin{array}{l}
cose{c^2}A{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}co{t^2}A\\
\therefore cose{c^2}A{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}4\\
se{c^2}A{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}ta{n^2}A\\
\therefore {\rm{ se}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{A = 1 + }}\frac{1}{3}{\rm{ = }}\frac{4}{3}
\end{array}\]
এখন, প্রদত্ত রাশি

\[\begin{array}{l}
\frac{{cose{c^2}A – se{c^2}A}}{{cose{c^2}A + se{c^2}A}}\\
{\rm{ = }}\frac{{4 – \frac{4}{3}}}{{4 + \frac{4}{3}}}\\
{\rm{ = }}\frac{{\frac{{12 – 4}}{3}}}{{\frac{{12 + 4}}{3}}}\\
{\rm{ = }}\frac{{\frac{8}{3}}}{{\frac{{16}}{3}}}\\
{\rm{ = }}\frac{8}{3}{\rm{ }} \times {\rm{ }}\frac{3}{{16}}\\
{\rm{ = }}\frac{1}{2}(Ans)
\end{array}\]

প্রশ্ন \ 23 \ cosecA – cotA = হলে, cosecA + cotA এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, cosecA – cotA =

আমরা জানি, cosec²A – cot²A = 1
বা, (cosecA + cotA) (cosecA – cotA) = 1
বা, (cosecA + cotA) . = 1 [মান বসিয়ে]
∴ cosecA + cotA = (Ans.)

প্রশ্ন \ 24 \ cotA = হলে, এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, cotA =

\[\begin{array}{l}
{\rm{cotA = }}\frac{b}{a}\\
{\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{A = }}\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\\
{\rm{1 + co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{A = 1 + }}\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\\
{\rm{cose}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{A = }}\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}}\\
\frac{1}{{si{n^2}A}}{\rm{ = }}\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}}\\
{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{A = }}\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\\
sinA{\rm{ }} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \\
sinA{\rm{ = }}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array}\]

আবার,

\[\begin{array}{l}
{\rm{si}}{{\rm{n}}^{{\rm{2 }}}}{\rm{A = }}\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\\
1{\rm{ }}–{\rm{ }}co{s^2}A{\rm{ }} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\\
{\rm{1 – }}\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}{\rm{ = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}\\
\frac{{{a^2} + {b^2}{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}{\rm{ = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{A}}\\
{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{A = }}\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\\
{\rm{cosA = }}\sqrt {\frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} {\rm{ = }}\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array}\]

প্রদত্ত রাশি

\[\begin{array}{l}
= \frac{{asinA – bcosA}}{{asinA + bcosA}}\\
= \frac{{\frac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} – \frac{{b.b}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}}{{\frac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{{b.b}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}}\\
= \frac{{\frac{{{a^2} – {b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}}{{\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}}\\
= \frac{{{a^2} – {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}
\end{array}\] (Ans.)

 

---

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত ৯.২ অনুশীলনী

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত অধ্যায় ৯ প্রশ্ন ব্যাংক

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত সকল অধ্যায়