এসএসসি গণিত ১১ অধ্যায় বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত সমাধান (অনুশীলনী ১১.১)

নবম-দশম বা এসএসসি গণিত ১১ অধ্যায় বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত অনুশীলনী ১১.১ সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এবং সকল অধ্যায়ের অনুশীলনীর সমাধান দেখতে নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন।

এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১১.১

বি.দ্রঃ উত্তর গুলো সঠিকভাবে দেখতে Google Chrome অথবা ভালো কোনো ব্রাউজার ব্যবহার করুন।

প্রশ্ন \ 1 \ দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a মিটার এবং b মিটার হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সমাধান : 1ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ 1ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² বর্গমিটার
এবং 2য় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = b মিটার
∴ 2য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = b² বর্গমিটার
∴ 1ম ও 2য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}$

= a² : b²
∴ তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = a² : b² (ans)

প্রশ্ন \ 2 \ একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, বৃত্তক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = r মিটার
∴ বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = Πr² বর্গমিটার
∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2Πr মিটার
প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = Πr² বর্গ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = $\sqrt {\pi {r^2}}$ মিটার = √Πr মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 √Πr মিটার
বৃত্তক্ষেত্রের ও বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অনুপাত

${\rm{ = }}\frac{{2\pi r}}{{4\sqrt \pi r}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt \pi }}{2}{\rm{ = }}\sqrt \pi {\rm{ : 2}}$ (ans)

প্রশ্ন \ 3 \ দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 এবং তাদের ল. সা. গু. 180; সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, সংখ্যাদ্বয় 3x ও 4x [অনুপাত অনুযায়ী)]
∴ সংখ্যাদ্বয়ের ল. সা. গু. = 1xী
প্রশ্নমতে, 12x = 180
বা, x = 180/12
∴x = 15
∴ সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে (3 × 15) = 45
এবং (4 × 15) = 60
নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি 45 ও 60.

প্রশ্ন \ 4 \ একদিন তোমাদের ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত ও উপস্থিত ছাত্র সংখ্যার অনুপাত 1 : 4, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যাকে মোট ছাত্র সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ কর।
সমাধান : মনে করি, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা =x
এবং উপস্থিত ছাত্র সংখ্যা = 4x
∴ মোট ছাত্র সংখ্যা = (4x + x) জন = 5x জন
∴ অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা মোট ছাত্র সংখ্যার $\frac{x}{{5x}}$ অংশ
অর্থাৎ অনুপস্থিত ছাত্র/মোট ছাত্র × 100% = $\frac{x}{{5x}} \times {\rm{ 100\% = }}\left( {\frac{1}{5} \times 100} \right){\rm{\% = 20\% }}$

∴ অনুপস্থিত ছাত্রসংখ্যা মোট ছাত্র সংখ্যার 20%. (ans)

প্রশ্ন \ 5 \ একটি দ্রব্য ক্রয় করে 28% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান : ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে 28% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (100 – 28) বা 72 টাকা।
বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য = 72 : 100 = $\frac{{72}}{{100}}$

= $\frac{{18}}{{25}}$ = 18 : 25
∴ বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত = 18 : 25. (ans)

প্রশ্ন \ 6 \ পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি 70 বছর। তাদের বয়সের অনুপাত 7 বছর পূর্বে ছিল 5 : 2। 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
সমাধান : মনে করি, 7 বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল 5x বছর
এবং 7 বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল 2x বছর
এখানে, x অনুপাতের সাধারণ গুণিতক
∴ বর্তমানে পিতার বয়স (5x + 7) বছর
এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স (2x + 7) বছর
আবার, 5 বছর পরে পিতার বয়স (5x + 7 + 5) বছর
= (5x + 12) বছর
এবং 5 বছর পরে পুত্রের বয়স (2x + 7 + 5) বছর
= (2x + 12) বছর

প্রশ্নানুসারে, (5x + 7) + (2x + 7) = 70
বা, 5x + 7 + 2x + 7 = 70
বা, 7x + 14 = 70
বা, 7x = 70 – 14 = 56
বা, x = 56/7 = 8
∴ x = 8

∴ 5 বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত
= (5 × 8 + 12) : (2 × 8 + 12)
= (40 + 12) : (16 + 12)
= 52 : 28
= 13 : 7 (ans)

প্রশ্ন \ 7 \ যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

$({\bf{i}})\frac{{\bf{a}}}{{\bf{c}}} = \frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{2}}} + {{\bf{c}}^{\bf{2}}}}}$

$\left( {{\bf{ii}}} \right){\rm{ }}{{\bf{a}}^{\bf{2}}}{{\bf{b}}^{\bf{2}}}{{\bf{c}}^{\bf{2}}}(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}})$ $= {\rm{ }}{{\bf{a}}^{\bf{3}}} + {\rm{ }}{{\bf{b}}^{\bf{3}}} + {\rm{ }}{{\bf{c}}^{\bf{3}}}$

${\rm{(iii) }}\frac{{{\bf{abc}}{{({\bf{a}} + {\bf{b}} + {\bf{c}})}^{\bf{3}}}}}{{{{({\bf{ab}} + {\bf{bc}} + {\bf{ca}})}^{\bf{3}}}}}{\rm{ = 1}}$

${\rm{(iv) a - 2b + c = }}\frac{{{{({\bf{a}} - {\bf{b}})}^{\bf{2}}}}}{{\bf{a}}}{\rm{ = }}\frac{{{{({\bf{b}} - {\bf{c}})}^{\bf{2}}}}}{{\bf{c}}}$

সমাধান : (i) দেওয়া আছে a : b = b : c,
বা, $\frac{a}{b}{\rm{ = }}\frac{b}{c}$

∴ b² = ac
বামপক্ষ = $\frac{a}{c}$

ডানপক্ষ = $\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}{\rm{ = }}\frac{{{a^2} + ac}}{{ac + {c^2}}}{\rm{[}}{\rm{ }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ = ac] }}$

${\rm{ = }}\frac{{a(a + c)}}{{c(a + c)}}{\rm{ = }}\frac{a}{c}$

অর্থাৎ, $({\bf{i}})\frac{{\bf{a}}}{{\bf{c}}} = \frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{2}}} + {{\bf{c}}^{\bf{2}}}}}$ (প্রমাণিত)

(ii) দেওয়া আছে, a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}{\rm{ = }}\frac{b}{c}$

∴ b² = ac

বামপক্ষ = ${{\bf{a}}^{\bf{2}}}{{\bf{b}}^{\bf{2}}}{{\bf{c}}^{\bf{2}}}(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}})$

\[\begin{array}{l}
{\rm{ = }}\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^3}}}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{b^3}}}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{c^3}}}\\
{\rm{ = }}\frac{{{b^2}{c^2}}}{a}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}{c^2}}}{b}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}{b^2}}}{c}\\
{\rm{ = }}\frac{{ac.{c^2}}}{a}{\rm{ + }}\frac{{{{({b^2})}^{^2}}}}{b}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}.ac}}{c}{\rm{ }}\\
{\rm{ = }}\frac{{a{c^3}}}{a}{\rm{ + }}\frac{{{b^4}}}{b}{\rm{ + }}\frac{{{a^3}c}}{c}\\
= {\rm{ }}{c^3} + {\rm{ }}{b^3} + {\rm{ }}{a^3}
\end{array}\]
= a³ + b³ + c³ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, ${{\bf{a}}^{\bf{2}}}{{\bf{b}}^{\bf{2}}}{{\bf{c}}^{\bf{2}}}(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}})$ =a³ + b³ + c³ (প্রমাণিত)

(iii) দেওয়া আছে, a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}{\rm{ = }}\frac{b}{c}$

∴ b² = ac

বামপক্ষ = \[\begin{array}{l}
= \frac{{abc{{(a + b + c)}^3}}}{{{{(ab + bc + ca)}^3}}}\\
= \frac{{b.{b^2}{{(a + b + c)}^3}}}{{{{(ab + bc + {b^2})}^3}}}{\rm{ [}}{\rm{ }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ = ac]}}\\
{\rm{ = }}\frac{{{b^3}{{(a + b + c)}^3}}}{{{{\{ b(a + c + b)\} }^3}}}\\
= \frac{{{b^3}{{(a + b + c)}^3}}}{{{b^3}{{(a + b + c)}^3}}}
\end{array}\]
= 1 = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, ${\rm{(iii) }}\frac{{{\bf{abc}}{{({\bf{a}} + {\bf{b}} + {\bf{c}})}^{\bf{3}}}}}{{{{({\bf{ab}} + {\bf{bc}} + {\bf{ca}})}^{\bf{3}}}}}{\rm{ = 1}}$ (প্রমাণিত)

(iv) দেওয়া আছে, a : b = b : c

বা, $\frac{a}{b}{\rm{ = }}\frac{b}{c}$

∴ b² = ac

1ম পক্ষ =a – 2b + c
2য় পক্ষ = \[\begin{array}{l}
\frac{{{{(a – b)}^2}}}{a}{\rm{ = }}\frac{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}{a}\\
{\rm{ = }}\frac{{{a^2} – 2ab + ac}}{a}[{b^2} = {\rm{ }}ac]\\
= \frac{{a(a – 2b + c)}}{a}\\
= a{\rm{ }}–{\rm{ }}2b{\rm{ }} + {\rm{ }}c
\end{array}\]
3য় পক্ষ = \[\begin{array}{l}
\frac{{{{(b – c)}^2}}}{c}\\
= \frac{{{b^2} – 2bc + {c^2}}}{c}\\
= \frac{{ac – 2bc + {c^2}}}{c}[{b^2} = {\rm{ }}ac]\\
= \frac{{c(a – 2b + c)}}{c}\\
= a–2b{\rm{ }} + {\rm{ }}c
\end{array}\]
অর্থাৎ, ${\rm{(iv) a - 2b + c = }}\frac{{{{({\bf{a}} - {\bf{b}})}^{\bf{2}}}}}{{\bf{a}}}{\rm{ = }}\frac{{{{({\bf{b}} - {\bf{c}})}^{\bf{2}}}}}{{\bf{c}}}$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ 8 \ সমাধান কর :
(i) $\frac{{{\bf{1}} - \sqrt {{\bf{1}} - {\bf{x}}} }}{{{\bf{1}} + \sqrt {{\bf{1}} - {\bf{x}}} }}{\rm{ = }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{3}}}$

(ii) $\frac{{\sqrt {{\bf{a}} + {\bf{x}}} + \sqrt {{\bf{a}} - {\bf{x}}} }}{{\sqrt {{\bf{a}} + {\bf{x}}} - \sqrt {{\bf{a}} - {\bf{x}}} }}{\rm{ = b}}$

(iii) $\frac{{{\bf{a}} + {\bf{x}} - \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{{a + x + \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\rm{ = }}\frac{{\bf{b}}}{{\bf{x}}}$ , 2a > b > 0 এবং x ≠ 0.
(iv) $\frac{{\sqrt {{\bf{x}} - {\bf{1}}} + \sqrt {{\bf{x}} - {\bf{6}}} }}{{\sqrt {{\bf{x}} - {\bf{1}}} - \sqrt {{\bf{x}} - {\bf{6}}} }}{\rm{ = 5}}$

(v) $\frac{{\sqrt {{\bf{ax}} + {\bf{b}}} + \sqrt {{\bf{ax}} - {\bf{b}}} }}{{\sqrt {{\bf{ax}} + {\bf{b}}} - \sqrt {{\bf{ax}} - {\bf{b}}} }}{\rm{ = c}}$

(vi) ${\rm{81 }}{\left( {\frac{{{\bf{1}} - {\bf{x}}}}{{{\bf{1}} + {\bf{x}}}}} \right)^{{{\bf{3}}^{\rm{ }}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{1}} + {\bf{x}}}}{{{\bf{1}} - {\bf{x}}}}$

সমাধান : (i) $\frac{{{\bf{1}} - \sqrt {{\bf{1}} - {\bf{x}}} }}{{{\bf{1}} + \sqrt {{\bf{1}} - {\bf{x}}} }}{\rm{ = }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{3}}}$
বা, $\frac{{1 - \sqrt {1 - x} + 1 + \sqrt {1 - x} }}{{1 - \sqrt {1 - x} - 1 - \sqrt {1 - x} }}{\rm{ = }}\frac{{1 + 3}}{{1 - 3}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{2}{{ - 2\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}}{\rm{ = }}\frac{4}{{ - 2}}$

বা, $\frac{1}{{\sqrt {1 - x} }}{\rm{ = 2 }}$ [ – 1 দ্বারা উভয়পক্ষকে গুণ করে]
বা, ${\rm{2 }}\sqrt {1 - x} {\rm{ = 1}}$ [আড়গুণন করে]
বা, ${\left( {2\sqrt {1 - x} } \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = (1}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, 4 (1– x) = 1
বা, 4 – 4x = 1
বা, – 4x = 1 – 4
বা, – 4x = – 3
∴ ${\rm{x = }}\frac{{ - 3}}{{ - 4}}{\rm{ = }}\frac{3}{4}{\rm{ }}$

নির্ণেয় সমাধান, x = $\frac{3}{4}$

(ii) $\frac{{\sqrt {{\bf{a}} + {\bf{x}}} + \sqrt {{\bf{a}} - {\bf{x}}} }}{{\sqrt {{\bf{a}} + {\bf{x}}} - \sqrt {{\bf{a}} - {\bf{x}}} }}{\rm{ = b}}$
বা, $\frac{{\sqrt {a + x} + \sqrt {a - x} + \sqrt {a + x} - \sqrt {a - x} }}{{\sqrt {a + x} + \sqrt {a - x} - \sqrt {a + x} + \sqrt {a - x} }}{\rm{ = }}\frac{{b + 1}}{{b - 1}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{2\sqrt {a + x} }}{{2\sqrt {a - x} }}{\rm{ = }}\frac{{b + 1}}{{b - 1}}$

বা, ${\left( {\frac{{\sqrt {a + x} }}{{\sqrt {a - x} }}} \right)^2}{\rm{ = }}{\left( {\frac{{b + 1}}{{b - 1}}} \right)^2}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে ]
বা, $\frac{{a + x}}{{a - x}}{\rm{ = }}\frac{{{b^2} + 2b + 1}}{{{b^2} - 2b + 1}}$

বা, $\frac{{a + x + a - x}}{{a + x - a + x}}{\rm{ = }}\frac{{{b^2} + 2b + 1 + {b^2} - 2b + 1}}{{{b^2} + 2b + 1 - {b^2} + 2b - 1}}$ [পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{2a}}{{2x}}{\rm{ = }}\frac{{2{b^2} + 2}}{{4b}}$

বা, $\frac{a}{x}{\rm{ = }}\frac{{2({b^2} + 1)}}{{4b}}$

বা, $\frac{a}{x}{\rm{ = }}\frac{{{b^2} + 1}}{{2b}}$

বা, x (b² + 1) = 2ab
∴ x = $\frac{{2ab}}{{{b^2} + 1}}$

নির্ণেয় সমাধান, x = $\frac{{2ab}}{{{b^2} + 1}}$

(iii) $\frac{{{\bf{a}} + {\bf{x}} - \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{{a + x + \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\rm{ = }}\frac{{\bf{b}}}{{\bf{x}}}$
বা, $\frac{{a + x - \sqrt {{a^2} - {x^2}} + a + x + \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{{a + x - \sqrt {{a^2} - {x^2}} - a - x - \sqrt {{a^2} - {x^2}} }} = \frac{{b + x}}{{b - x}}{\rm{ }}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{2a + 2x}}{{ - 2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\rm{ = }}\frac{{b + x}}{{b - x}}$

বা, $\frac{{2(a + x)}}{{ - 2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\rm{ = }}\frac{{b + x}}{{b - x}}$

বা, $\frac{{a + x}}{{ - \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\rm{ = }}\frac{{b + x}}{{b - x}}$

বা, $\frac{{{{(a + x)}^2}}}{{{{( - \sqrt {{a^2} - {x^2}} )}^2}}}{\rm{ = }}\frac{{{{(b + x)}^2}}}{{{{(b - x)}^2}}}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $\frac{{{a^2} + 2ax + {x^2}}}{{{a^2} - {x^2}}}{\rm{ = }}\frac{{{b^2} + 2bx + {x^2}}}{{{b^2} - 2bx + {b^2}}}$

বা, $\frac{{{a^2} + 2ax + {x^2} + {a^2} - {x^2}}}{{{a^2} + 2ax + {x^2} - {a^2} + {x^2}}}{\rm{ = }}\frac{{{b^2} + 2bx + {x^2} + {b^2} - 2bx + {x^2}}}{{{b^2} + 2bx + {x^2} - {b^2} + 2bx - {x^2}}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{2{a^2} + 2ax}}{{2ax + 2{x^2}}}{\rm{ = }}\frac{{2{b^2} + 2{x^2}}}{{4bx}}{\rm{ }}$

বা, $\frac{{2({a^2} + ax)}}{{2({x^2} + ax)}}{\rm{ = }}\frac{{2({x^2} + {b^2})}}{{2 \times 2bx}}$

বা, $\frac{{{a^2} + ax}}{{{x^2} + ax}}{\rm{ = }}\frac{{{x^2} + {b^2}}}{{2bx}}$

বা, (x² + b²)(x² + ax) = 2bx(a² + ax) [আড়গুণন করে]
বা, x(x² + b²) (x + a) = 2abx(x + a)
বা, x² + b² = 2ab [x (x + a) দ্বারা ভাগ করে]
বা, x² = 2ab – b²
∴ x = $\pm {\rm{ }}\sqrt {2ab - {b^2}}$

নির্ণেয় সমাধান, x = $\pm {\rm{ }}\sqrt {2ab - {b^2}}$

(iv) $\frac{{\sqrt {{\bf{x}} - {\bf{1}}} + \sqrt {{\bf{x}} - {\bf{6}}} }}{{\sqrt {{\bf{x}} - {\bf{1}}} - \sqrt {{\bf{x}} - {\bf{6}}} }}{\rm{ = 5}}$
বা, $\frac{{\sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 6} + \sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 6} }}{{\sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 6} - \sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 6} }}{\rm{ = }}\frac{{5 + 1}}{{5 - 1}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{2\sqrt {x - 1} }}{{2\sqrt {x - 6} }}{\rm{ = }}\frac{6}{4}$

বা, $\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 6} }}{\rm{ = }}\frac{3}{2}$

বা, ${\left( {\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 6} }}} \right)^{^2}}{\rm{ = }}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $\frac{{x - 1}}{{x - 6}}{\rm{ = }}\frac{9}{4}$

বা, 9x – 54 = 4x – 4 [আড়গুণন করে]
বা, 9x – 4x = 54 – 4
বা, 5x = 50
বা, x = ${\frac{{50}}{5}^{\rm{ }}}$

∴ x = 10
নির্ণেয় সমাধান, x = 10

(v) $\frac{{\sqrt {{\bf{ax}} + {\bf{b}}} + \sqrt {{\bf{ax}} - {\bf{b}}} }}{{\sqrt {{\bf{ax}} + {\bf{b}}} - \sqrt {{\bf{ax}} - {\bf{b}}} }}{\rm{ = c}}$
বা, $\frac{{\sqrt {ax + b} + \sqrt {ax - b} + \sqrt {ax + b} - \sqrt {ax - b} }}{{\sqrt {ax + b} + \sqrt {ax - b - } \sqrt {ax + b} + \sqrt {ax - b} }}{\rm{ = }}\frac{{c + 1}}{{c - 1}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{2\sqrt {ax + b} }}{{2\sqrt {ax - b} }}{\rm{ = }}\frac{{c + 1}}{{c - 1}}$

বা, ${\left( {\frac{{\sqrt {ax + b} }}{{\sqrt {ax - b} }}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = }}{\left( {\frac{{c + 1}}{{c - 1}}} \right)^{\rm{2}}}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $\frac{{ax + b}}{{ax - b}}{\rm{ = }}\frac{{{c^2} + 2c + 1}}{{{c^2} - 2c + 1}}$

বা, $\frac{{ax + b + ax - b}}{{ax + b - ax + b}}{\rm{ = }}\frac{{{c^2} + 2c + 1 + {c^2} - 2c + 1}}{{{c^2} + 2c + 1 - {c^2} + 2c - 1}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{2ax}}{{2b}}{\rm{ = }}\frac{{2{c^2} + 2}}{{4c}}$

বা, $\frac{{ax}}{b}{\rm{ = }}\frac{{2({c^2} + 1)}}{{2.2c}}$

বা, $\frac{{ax}}{b}{\rm{ = }}\frac{{{c^2} + 1}}{{2c}}$

বা, ${\rm{x = }}\frac{{{c^2} + 1}}{{2c}} \times {\rm{ }}\frac{b}{a}$

বা, ${\rm{x = }}\frac{{b({c^2} + 1)}}{{2ac}}$

বা, ${\rm{x = }}\frac{b}{{2a}}\left( {\frac{{{c^2} + 1}}{c}} \right)$

∴ x = $\frac{b}{{2a}}\left( {c + \frac{1}{c}} \right)$

নির্ণেয় সমাধান, x = $\frac{b}{{2a}}\left( {c + \frac{1}{c}} \right)$

(vi) ${\rm{81 }}{\left( {\frac{{{\bf{1}} - {\bf{x}}}}{{{\bf{1}} + {\bf{x}}}}} \right)^{{{\bf{3}}^{\rm{ }}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{1}} + {\bf{x}}}}{{{\bf{1}} - {\bf{x}}}}$
বা, $81{\rm{ }} = \frac{{{{(1 + x)}^4}}}{{{{(1 - x)}^4}}}$ [ ${\frac{{{{(1 - x)}^3}}}{{{{(1 + x)}^3}}}}$ দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ করে]
বা, ${\left\{ {{{\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)}^2}} \right\}^2}{\rm{ = (9}}{{\rm{)}}^{\rm{2}}}$

বা, ${\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)^2}{\rm{ = \pm 9}}$ [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে ]
বা, ${\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)^2}$ = 9 অথবা, – 9
বা, $\frac{{1 + x}}{{1 - x}}$ = ± √9 অথবা, ± √– 9
কিন্তু, $\frac{{1 + x}}{{1 - x}}$ = ± – 9 সমীকরণটির কোনো বাস্তব সংখ্যায় সমাধান নেই।
∴ $\frac{{1 + x}}{{1 - x}}$ = ± 3
∴হয় $\frac{{1 + x}}{{1 - x}}$ = 3 অথবা, $\frac{{1 + x}}{{1 - x}}$ = – 3
বা, 1 + x = 3 – 3x বা, – 3 + 3x = 1 + x
বা, x + 3x = 3 – 1 বা, 3x – x = 1 + 3
বা, 4x = 2 বা, 2x = 4
বা, x = 2/4 বা, x = 4/2
∴ x = 1/2 ∴ x = 2
নির্ণেয় সমাধান, x = 2 বা, 1/2

প্রশ্ন \ 9 \ $\frac{{\bf{a}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{c}}}{{\bf{d}}}$ হলে, দেখাও যে,
(i) $\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} + {\bf{ab}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} - {\bf{ab}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}$ = $\frac{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} + {\bf{cd}} + {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} - {\bf{cd}} + {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}$

(ii) $\frac{{{\bf{ac}} + {\bf{bd}}}}{{{\bf{ac}} - {\bf{bd}}}}$ = $\frac{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} + {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} - {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}$

সমাধান : (i) ধরি, $\frac{a}{b}{\rm{ = }}\frac{c}{d}{\rm{ = k }}$

∴ $\frac{a}{b}{\rm{ = k}}$

বা, $a{\rm{ }} = {\rm{ }}bk$

এবং $\frac{c}{d}{\rm{ = k}}$

বা, $c{\rm{ }} = {\rm{ }}dk$

বামপক্ষ = $\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} + {\bf{ab}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} - {\bf{ab}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}$

$= \frac{{{{(bk)}^2} + bk.b + {b^2}}}{{{{(bk)}^2} - bk.b + {b^2}}}[a{\rm{ }} = {\rm{ }}bk{\rm{ }}]$

$= \frac{{{b^2}{k^2} + {b^2}k + {b^2}}}{{{b^2}{k^2} - {b^2}k + {b^2}}}$

$= \frac{{{b^2}({k^2} + k + 1)}}{{{b^2}({k^2} - k + 1)}}$

$= \frac{{{k^2} + k + 1}}{{{k^2} - k + 1}}$

ডানপক্ষ = $\frac{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} + {\bf{cd}} + {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} - {\bf{cd}} + {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}$

$= \frac{{{{(dk)}^2} + dk.d + {d^2}}}{{{{(dk)}^2} - dk.d + {d^2}}}[c{\rm{ }} = {\rm{ }}dk{\rm{ }}]$

$= \frac{{{d^2}{k^2} + {d^2}k + {d^2}}}{{{d^2}{k^2} - {d^2}k + {d^2}}}$

$= \frac{{{d^2}({k^2} + k + 1)}}{{{d^2}({k^2} - k + 1)}}$

$= \frac{{{k^2} + k + 1}}{{k2 - k + 1}}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, $\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} + {\bf{ab}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} - {\bf{ab}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}$ = $\frac{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} + {\bf{cd}} + {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} - {\bf{cd}} + {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}$ (দেখানো হলো)

(ii) ধরি, $\frac{a}{b}{\rm{ = }}\frac{c}{d}{\rm{ = k }}$

∴ $\frac{a}{b}{\rm{ = k}}$

বা, $a{\rm{ }} = {\rm{ }}bk$

এবং $\frac{c}{d}{\rm{ = k}}$

বা, $c{\rm{ }} = {\rm{ }}dk$

বামপক্ষ = $\frac{{{\bf{ac}} + {\bf{bd}}}}{{{\bf{ac}} - {\bf{bd}}}}$

= $\frac{{bk.dk + bd}}{{bk.dk - bd}}$

$= \frac{{bd{k^2} + bd}}{{bd{k^2} - bd}}$

$= \frac{{bd({k^2} + 1)}}{{bd({k^2} - 1)}}$

$= \frac{{{k^2} + 1}}{{{k^2} - 1}}$

ডানপক্ষ = $\frac{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} + {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} - {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}$

$= \frac{{{{(dk)}^2} + {d^2}}}{{{{(dk)}^2} - {d^2}}}$

$= \frac{{{d^2}{k^2} + {d^2}}}{{{d^2}{k^2} - {d^2}}}$

$= \frac{{{d^2}({k^2} + 1)}}{{{d^2}({k^2} - 1)}}$

$= \frac{{{k^2} + 1}}{{{k^2} - 1}}$

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, $\frac{{{\bf{ac}} + {\bf{bd}}}}{{{\bf{ac}} - {\bf{bd}}}}$ = $\frac{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} + {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{c}}^{\bf{2}}} - {{\bf{d}}^{\bf{2}}}}}$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ 10 \ $\frac{{\bf{a}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{b}}}{{\bf{c}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{c}}}{{\bf{d}}}$ হলে, দেখাও যে,
(i) $\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{3}}} + {{\bf{b}}^{\bf{3}}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{3}}} + {{\bf{c}}^{\bf{3}}}}}$ ${\rm{ = }}\frac{{{{\bf{b}}^{\bf{3}}} + {{\bf{c}}^{\bf{3}}}}}{{{{\bf{c}}^{\bf{3}}} + {{\bf{d}}^{\bf{3}}}}}$

(ii) (a² + b² + c²) (b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²

সমাধান : (i) ধরি, $\frac{a}{b}{\rm{ = }}\frac{b}{c}{\rm{ = }}\frac{c}{d}{\rm{ = k }}$

∴ c = dk,

b = ck = dk.k = dk²

এবং a = bk = dk².k = dk³

বামপক্ষ = $\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{3}}} + {{\bf{b}}^{\bf{3}}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{3}}} + {{\bf{c}}^{\bf{3}}}}}$

$= \frac{{{{(d{k^3})}^3} + {{(d{k^2})}^3}}}{{{{(d{k^2})}^3} + {{(dk)}^3}}}$

$= \frac{{{d^3}{k^9} + {d^3}{k^6}}}{{{d^3}{k^6} + {d^3}{k^3}}}$

$= \frac{{{d^3}{k^6}({k^3} + 1)}}{{{d^3}{k^3}({k^3} + 1)}}$

=k³

ডানপক্ষ ${\rm{ = }}\frac{{{{\bf{b}}^{\bf{3}}} + {{\bf{c}}^{\bf{3}}}}}{{{{\bf{c}}^{\bf{3}}} + {{\bf{d}}^{\bf{3}}}}}$

$= \frac{{{{(d{k^2})}^3} + {{(dk)}^3}}}{{{{(dk)}^3} + {d^3}}}$

$= \frac{{{d^3}{k^6} + {d^3}{k^3}}}{{{d^3}{k^3} + {d^3}}}$

$= \frac{{{d^3}{k^3}({k^3} + 1)}}{{{d^3}({k^3} + 1)}}$

= k³
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, $\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{3}}} + {{\bf{b}}^{\bf{3}}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{3}}} + {{\bf{c}}^{\bf{3}}}}}$ ${\rm{ = }}\frac{{{{\bf{b}}^{\bf{3}}} + {{\bf{c}}^{\bf{3}}}}}{{{{\bf{c}}^{\bf{3}}} + {{\bf{d}}^{\bf{3}}}}}$ (দেখানো হলো)

(ii) ধরি, $\frac{a}{b}{\rm{ = }}\frac{b}{c}{\rm{ = }}\frac{c}{d}{\rm{ = k }}$

∴ c = dk,

b = ck = dk.k = dk²

এবং a = bk = dk².k = dk³

বামপক্ষ = (a² + b² + c²) (b² + c² + d²)
= {(dk³)²+ (dk²)²+(dk)² }{(dk²)²+ (dk)²+ d²} [ a, b ও c এর মান বসিয়ে ]
= (d²k⁶ + d²k⁴ + d²k²) (d²k⁴ + d²k² + d²)
= d²k²(k⁴ + k² + 1) ´ d² (k⁴ + k² + 1)
= d⁴k² (k⁴ + k² + 1)²

ডানপক্ষ = (ab + bc + cd)²
=(dk³ × dk² + dk² × dk + dk × d)² [মান বসিয়ে ]
= (d²k⁵+ d²k³ + d²k)²= {d²k (k⁴ + k² + 1)}²
= d⁴k² (k⁴ + k² + 1)²
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, (a²+ b²+ c²)(b²+ c²+ d²) = (ab + bc + cd)²(দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ 11 \ x = $\frac{{{\bf{4ab}}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}$ হলে, দেখাও যে, $\frac{{{\bf{x}} + {\bf{2a}}}}{{{\bf{x}} - 2a}}{\rm{ + }}\frac{{x + 2b}}{{x - 2b}}$ = 2, a≠b.
সমাধান : দেওয়া আছে, x = $\frac{{{\bf{4ab}}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}$
∴ $\frac{x}{{2a}}{\rm{ = }}\frac{{4ab}}{{2a(a + b)}}$ [উভয়পক্ষকে 2a দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{x}{{2a}}{\rm{ = }}\frac{{2b}}{{a + b}}$

বা, $\frac{{x + 2a}}{{x - 2a}}{\rm{ = }}\frac{{2b + a + b}}{{2b - a - b}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{x + 2a}}{{x - 2a}}{\rm{ = }}\frac{{3b + a}}{{b - a}}$ আবার, $\frac{x}{{2b}}{\rm{ = }}\frac{{4ab}}{{2b(a + b)}}$

বা, $\frac{x}{{2b}}{\rm{ = }}\frac{{2a}}{{a + b}}$

বা, $\frac{{x + 2b}}{{x - 2b}}{\rm{ = }}\frac{{2a + a + b}}{{2a - a - b}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{x + 2b}}{{x - 2b}}{\rm{ = }}\frac{{3a + b}}{{a - b}}$

∴ $\frac{{x + 2a}}{{x - 2a}}{\rm{ + }}\frac{{x + 2b}}{{x - 2b}}{\rm{ }}$

${\rm{ = }}\frac{{3b + a}}{{b - a}}{\rm{ + }}\frac{{3a + b}}{{a - b}}$

${\rm{ = }}\frac{{3b + a}}{{b - a}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{{3a + b}}{{b - a}}{\rm{ }}$

${\rm{ = }}\frac{{3b + a - 3a - b}}{{b - a}}{\rm{ = }}\frac{{2b - 2a}}{{b - a}}{\rm{ = }}\frac{{2(b - a)}}{{b - a}}{\rm{ = 2}}$

$\therefore {\rm{ }}\frac{{x + 2a}}{{x - 2a}}{\rm{ + }}\frac{{x + 2b}}{{x - 2b}}{\rm{ = 2 }}$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ 12 \ $\frac{{\sqrt[{\bf{3}}]{{{\bf{m}} + {\bf{1}}}} + \sqrt[{\bf{3}}]{{{\bf{m}} - {\bf{1}}}}}}{{\sqrt[{\bf{3}}]{{{\bf{m}} + {\bf{1}}}} - \sqrt[{\bf{3}}]{{{\bf{m}} - {\bf{1}}}}}}$ হলে,
প্রমাণ কর যে, x³ – 3mx² + 3x – m = 0

সমাধান : দেওয়া আছে, x = $\frac{{\sqrt[{\bf{3}}]{{{\bf{m}} + {\bf{1}}}} + \sqrt[{\bf{3}}]{{{\bf{m}} - {\bf{1}}}}}}{{\sqrt[{\bf{3}}]{{{\bf{m}} + {\bf{1}}}} - \sqrt[{\bf{3}}]{{{\bf{m}} - {\bf{1}}}}}}$
বা, $\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ = $\frac{{\sqrt[3]{{m + 1}} + \sqrt[3]{{m - 1}} + \sqrt[3]{{m + 1}} - \sqrt[3]{{m - 1}}}}{{\sqrt[3]{{m + 1}} + \sqrt[3]{{m - 1}} - \sqrt[3]{{m + 1}} + \sqrt[3]{{m - 1}}}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{x + 1}}{{x - 1}}{\rm{ = }}\frac{{2\sqrt[3]{{m + 1}}}}{{2\sqrt[3]{{m - 1}}}}$

বা, ${\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^3}{\rm{ = }}{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{m + 1}}}}{{\sqrt[3]{{m - 1}}}}} \right)^{{{\rm{3}}_{{\rm{ }}}}}}$ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, $\frac{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{\rm{ = }}\frac{{m + 1}}{{m - 1}}$

বা, $\frac{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 + {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1}}{\rm{ = }}\frac{{m + 1 + m - 1}}{{m + 1 - m + 1}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{2{x^3} + 6x}}{{6{x^2} + 2}}{\rm{ = }}\frac{{2m}}{2}$

বা, $\frac{{2({x^3} + 3x)}}{{2(3{x^2} + 1)}}{\rm{ = m}}$

বা, $\frac{{({x^3} + 3x)}}{{(3{x^2} + 1)}}{\rm{ = m}}$

বা, x³ + 3x = 3mx² + m [আড়গুণন করে]
∴ x³ – 3mx² + 3x – m = 0 (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ 13 \ x = $\frac{{\sqrt {{\bf{2a}} + {\bf{3b}}} + \sqrt {{\bf{2a}} - {\bf{3b}}} }}{{\sqrt {{\bf{2a}} + {\bf{3b}}} - \sqrt {{\bf{2a}} - {\bf{3b}}} }}$ হলে,
দেখাও যে, 3bx²– 4ax + 3b = 0.
সমাধান : দেওয়া আছে, x = $\frac{{\sqrt {{\bf{2a}} + {\bf{3b}}} + \sqrt {{\bf{2a}} - {\bf{3b}}} }}{{\sqrt {{\bf{2a}} + {\bf{3b}}} - \sqrt {{\bf{2a}} - {\bf{3b}}} }}$
বা, $\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ = $\frac{{\sqrt {2a + 3b} + \sqrt {2a - 3b} + \sqrt {2a + 3b} - \sqrt {2a - 3b} }}{{\sqrt {2a + 3b} + \sqrt {2a - 3b} - \sqrt {2a + 3b} + \sqrt {2a - 3b} }}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{x + 1}}{{x - 1}}{\rm{ = }}\frac{{2\sqrt {2a + 3b} }}{{2\sqrt {2a - 3b} }}$

বা, ${\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^2}{\rm{ = }}{\left( {\frac{{\sqrt {2a + 3b} }}{{\sqrt {2a - 3b} }}} \right)^2}{\rm{ }}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}}{\rm{ = }}\frac{{2a + 3b}}{{2a - 3b}}$

বা, $\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}{\rm{ = }}\frac{{2a + 3b}}{{2a - 3b}}$

বা, $\frac{{{x^2} + 2x + 1 + {x^2} - 2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{\rm{ = }}\frac{{2a + 3b + 2a - 3b}}{{2a + 3b - 2a + 3b}}$ [ যোজন-বিয়োজন করে ]
বা, $\frac{{2{x^2} + 2}}{{4x}}{\rm{ = }}\frac{{4a}}{{6b}}$

বা, $\frac{{2({x^2} + 1)}}{{2 \times 2x}}{\rm{ = }}\frac{{2a}}{{3b}}$

বা, $\frac{{{x^2} + 1}}{{2x}}{\rm{ = }}\frac{{2a}}{{3b}}$

বা, 3bx² + 3b = 4ax [আড়গুণন করে]
∴ 3bx² – 4ax + 3b = 0 (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ 14 \ $\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{2}}} + {{\bf{c}}^{\bf{2}}}}}$ = $\frac{{{{({\bf{a}} + {\bf{b}})}^{\bf{2}}}}}{{{{({\bf{b}} + {\bf{c}})}^{\bf{2}}}}}$ হলে, প্রমাণ কর যে, a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী।
সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} + {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{2}}} + {{\bf{c}}^{\bf{2}}}}}$ = $\frac{{{{({\bf{a}} + {\bf{b}})}^{\bf{2}}}}}{{{{({\bf{b}} + {\bf{c}})}^{\bf{2}}}}}$
বা, $\frac{{{{(b + c)}^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}{\rm{ = }}\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$ [একান্তরকরণ করে]
বা, $\frac{{{b^2} + 2bc + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}{\rm{ = }}\frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$

বা, $\frac{{{b^2} + 2bc + {c^2} - {b^2} - {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}{\rm{ = }}\frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - {a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$ [বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{2bc}}{{{b^2} + {c^2}}}{\rm{ = }}\frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}$

বা, $\frac{c}{{{b^2} + {c^2}}}{\rm{ = }}\frac{a}{{{a^2} + {b^2}}}$ [ 2b দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ করে]
বা, ab² + ac²= a²c + b²c [আড়গুণন করে]
বা, ab² – b²c = a²c – ac²
বা, b²(a – c) = ac (a – c)
বা, b² = ac [উভয়পক্ষকে (a – c) দ্বারা ভাগ করে]
∴ $\frac{a}{b}{\rm{ = }}\frac{b}{c}$

অর্থাৎ, a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ 15 \ $\frac{{\bf{x}}}{{{\bf{b}} + {\bf{c}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{y}}}{{{\bf{c}} + {\bf{a}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{z}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}$ হলে,
প্রমাণ কর যে, $\frac{{\bf{a}}}{{{\bf{y}} + {\bf{zx}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{b}}}{{{\bf{z}} + {\bf{xy}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{c}}}{{{\bf{x}} + {\bf{yz}}}}$

সমাধান : মনে করি,
$\frac{{\bf{x}}}{{{\bf{b}} + {\bf{c}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{y}}}{{{\bf{c}} + {\bf{a}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{z}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}$ =k
∴ x = k (b + c), y = k(c + a) এবং z = k (a + b)
1ম পক্ষ = $\frac{a}{{y + zx}}$

$= \frac{a}{{k(c + a) + k(a + b) - k(b + c)}}$ [মান বসিয়ে]

$\frac{a}{{k(c + a + a + b - b - c)}}{\rm{ = }}\frac{a}{{k.2a}}{\rm{ = }}\frac{1}{{2k}}$

2য় পক্ষ = $\frac{b}{{z + xy}}$

= $\frac{b}{{k(a + b) + k(b + c) - k(c + a)}}$ [মান বসিয়ে]

= $\frac{b}{{k(a + b + b + c - c - a)}}{\rm{ = }}\frac{b}{{k.2b}}{\rm{ = }}\frac{1}{{2k}}$

3য় পক্ষ = $\frac{c}{{x + y - z}}$

$= \frac{c}{{k(b + c) + k(c + a) - k(a + b)}}$ [মান বসিয়ে]

$= \frac{c}{{k(b + c + c + a - a - b)}}$

$= \frac{c}{{k.2c}}{\rm{ = }}\frac{1}{{2k}}$

∴ 1ম পক্ষ = 2য় পক্ষ = 3য় পক্ষ
অর্থাৎ, $\frac{{\bf{a}}}{{{\bf{y}} + {\bf{zx}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{b}}}{{{\bf{z}} + {\bf{xy}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{c}}}{{{\bf{x}} + {\bf{yz}}}}$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ 16 \ $\frac{{{\bf{bz}} - {\bf{cy}}}}{{\bf{a}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{cx}} - {\bf{az}}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{ay}} - {\bf{bx}}}}{{\bf{c}}}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{a}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{z}}}{{\bf{c}}}$

সমাধান : মনে করি,
$\frac{{{\bf{bz}} - {\bf{cy}}}}{{\bf{a}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{cx}} - {\bf{az}}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{ay}} - {\bf{bx}}}}{{\bf{c}}}$ =k
∴ $\frac{{{\bf{bz}} - {\bf{cy}}}}{{\bf{a}}}$ = k
বা, bz – cy = ak ……………. (i)
আবার, $\frac{{{\bf{cx}} - {\bf{az}}}}{{\bf{b}}}$ =k
বা, cx – az = bk …………… (ii)
এবং $\frac{{{\bf{ay}} - {\bf{bx}}}}{{\bf{c}}}$ =k

বা, ay – bx = ck …………….(iii)
সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) কে যথাক্রমে x, y ও z দ্বারা গুণ করে যোগ করি,
bxz – cxy + cxy – ayz + ayz – bxz
= akx + bky + ckz
বা, 0 = k (ax + by + cz)
∴ k = 0
সমীকরণ (i)-এ k = 0 বসিয়ে পাই,
bz – cy = a. 0
বা, bz – cy = 0
বা, bz = cy
∴ $\frac{{\bf{y}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{z}}}{{\bf{c}}}$ …………… (iv)
সমীকরণ (ii)-এ k = 0 বসিয়ে পাই,
cx – az = b. 0
বা, cx – az = 0
বা, cx = az
∴ $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{a}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{z}}}{{\bf{c}}}$ ………. (v)
সমীকরণ (iv) ও (v) থেকে পাই, $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{a}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{z}}}{{\bf{c}}}$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ 17 \ $\frac{{{\bf{a}} + {\bf{b}} - {\bf{c}}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{b}} + {\bf{c}} - {\bf{a}}}}{{{\bf{b}} + {\bf{c}}}}$ = $\frac{{{\bf{c}} + {\bf{a}} - {\bf{b}}}}{{{\bf{c}} + {\bf{a}}}}$ এবং a + b + c ≠ 0 হলে, প্রমাণ কর যে, a = b = c.
সমাধান : দেওয়া আছে,
$\frac{{{\bf{a}} + {\bf{b}} - {\bf{c}}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{b}} + {\bf{c}} - {\bf{a}}}}{{{\bf{b}} + {\bf{c}}}}$ = $\frac{{{\bf{c}} + {\bf{a}} - {\bf{b}}}}{{{\bf{c}} + {\bf{a}}}}$
বা, $\frac{{a + b - c - a - b}}{{a + b}}{\rm{ = }}\frac{{b + c - a - b - c}}{{b + c}}{\rm{ = }}\frac{{c + a - b - c - a}}{{c + a}}$ [বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{ - c}}{{a + b}}{\rm{ = }}\frac{{ - a}}{{b + c}}{\rm{ = }}\frac{{ - b}}{{c + a}}$

বা, $\frac{c}{{a + b}}{\rm{ = }}\frac{a}{{b + c}}{\rm{ = }}\frac{b}{{c + a}}$ [প্রত্যেক পক্ষকে –1 দ্বারা গুণ করে]
বা, $\frac{{a + b}}{c}{\rm{ = }}\frac{{b + c}}{a}{\rm{ = }}\frac{{c + a}}{b}$ [ব্যস্তকরণ করে]
বা, $\frac{{a + b + c}}{c}{\rm{ = }}\frac{{b + c + a}}{a}{\rm{ = }}\frac{{c + a + b}}{b}$ [যোজন করে]
বা, $\frac{1}{c}{\rm{ = }}\frac{1}{a}{\rm{ = }}\frac{1}{b}$ [a + b + c ≠ 0] [প্রত্যেক পক্ষকে a + b + c দ্বারা ভাগ করে]
∴ $\frac{1}{c}{\rm{ = }}\frac{1}{a}$ হলে, a = c এবং $\frac{1}{a}{\rm{ = }}\frac{1}{b}$ হলে, a = b
অর্থাৎ, a = b = c (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ 18 \ $\frac{{\bf{x}}}{{{\bf{xa}} + {\bf{yb}} + {\bf{zc}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{y}}}{{{\bf{ya}} + {\bf{zb}} + {\bf{xc}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{z}}}{{{\bf{za}} + {\bf{xb}} + {\bf{yc}}}}$ এবং
x + y + z ≠ 0 হলে, দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাত = $\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}} + {\bf{c}}}}$

সমাধান : মনে করি, প্রদত্ত প্রত্যেকটি অনুপাতের মান =k
∴ $\frac{{\bf{x}}}{{{\bf{xa}} + {\bf{yb}} + {\bf{zc}}}}$ = k
বা, k(xa + yb + zc) = x …………… (i)

আবার, $\frac{{\bf{y}}}{{{\bf{ya}} + {\bf{zb}} + {\bf{xc}}}}$ = k
বা, k(ya + zb + xc) = …………… (ii)

এবং $\frac{{\bf{z}}}{{{\bf{za}} + {\bf{xb}} + {\bf{yc}}}}$ = k
বা, k(za + xb + yc) = z …………… (iii)
সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) যোগ করে পাই,

k (xa + by + zc + ya + zb + xc + za + xb + yc) = x + y + z

বা, k (xa + ya + za + xb + yb + zb + xc + yc + zc) = x + y + z
বা, k {a (x + y + z) + b (x + y + z) + c (x + y + z)} = x + y + z
বা, k (x + y + z) (a + b + c) = x + y + z
বা, k = $\frac{{(x + y + z)}}{{(x + y + z)(a + b + c)}}$

∴ k = $\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}} + {\bf{c}}}}$
∴ প্রতিটি অনুপাতের মান = $\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}} + {\bf{c}}}}$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ 19 \ যদি (a + b + c) p = (b + c – a) q = (c + a – b) r = (a + b – c) s হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\frac{{\bf{1}}}{{\bf{q}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{r}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{s}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{p}}}{\rm{.}}$

সমাধান : মনে করি,

(a + b + c) p = (b + c – a) q = (c + a – b) r

= (a + b – c) s = k

∴(a + b + c) p = k

বা, $\frac{1}{p}{\rm{ = }}\frac{{a + b + c}}{k}$ … … … … … … (i)
আবার, q(b + c – a) = k
বা, $\frac{1}{q}{\rm{ = }}\frac{{b + c - a}}{k}$ … … … … … (ii)
অনুরূপভাবে, (c + a – b) r = k
বা, $\frac{1}{r}{\rm{ = }}\frac{{c + a - b}}{k}$ … … … … … (iii)
এবং s(a + b – c) = k
বা, $\frac{1}{s}{\rm{ = }}\frac{{a + b - c}}{k}$ … … … .. .. .. (iv)
বামপক্ষ = ${\rm{ }}\frac{1}{q}{\rm{ + }}\frac{1}{r}{\rm{ + }}\frac{1}{s}$

${\rm{ = }}\frac{{b + c - a}}{k}{\rm{ + }}\frac{{c + a - b}}{k}{\rm{ + }}\frac{{a + b - c}}{k}$ [মান বসিয়ে]

= $\frac{{b + c - a + c + a - b + a + b - c}}{k}$

= $\frac{{a + b + c}}{k}{\rm{ = }}\frac{1}{p}$ = ডানপক্ষ
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, $\frac{{\bf{1}}}{{\bf{q}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{r}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{s}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{p}}}{\rm{.}}$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ 20 \ যদি lx = my = nz হয়, তবে দেখাও যে,

$\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\bf{y}}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{zx}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\bf{z}}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{xy}}}}$ = $\frac{{{\bf{mn}}}}{{{{\bf{l}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{nl}}}}{{{{\bf{m}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{lm}}}}{{{{\bf{n}}^{\bf{2}}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, lx = my = nz
∴ lx = my ∴ my = nz ∴ lx = nz
বা, $\frac{x}{y}{\rm{ = }}\frac{m}{l}$ বা, $\frac{y}{z}{\rm{ = }}\frac{n}{m}$ বা, $\frac{x}{z}{\rm{ = }}\frac{n}{l}$

বা, $\frac{y}{x}{\rm{ = }}\frac{l}{m}$ বা, $\frac{z}{y}{\rm{ = }}\frac{m}{n}$ বা, $\frac{z}{x}{\rm{ = }}\frac{l}{n}$

বামপক্ষ = $\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\bf{y}}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{zx}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\bf{z}}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{xy}}}}$

${\rm{ = }}\frac{x}{y}{\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\frac{x}{z}{\rm{ + }}\frac{y}{x}{\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\frac{y}{z}{\rm{ + }}\frac{z}{x}{\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\frac{z}{y}$

${\rm{ = }}\frac{m}{l}{\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\frac{n}{l}{\rm{ + }}\frac{l}{m}{\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\frac{n}{m}{\rm{ + }}\frac{l}{n}{\rm{ }} \cdot {\rm{ }}\frac{m}{n}$ [ মান বসিয়ে ]
= $\frac{{{\bf{mn}}}}{{{{\bf{l}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{nl}}}}{{{{\bf{m}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{lm}}}}{{{{\bf{n}}^{\bf{2}}}}}$ = ডানপক্ষ
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, $\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{yz}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\bf{y}}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{zx}}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\bf{z}}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{xy}}}}$ = $\frac{{{\bf{mn}}}}{{{{\bf{l}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{nl}}}}{{{{\bf{m}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{lm}}}}{{{{\bf{n}}^{\bf{2}}}}}$ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ 21 \ যদি $\frac{{\bf{p}}}{{\bf{q}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}$ এবং $\frac{{\bf{a}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt {{\bf{a}} + {\bf{q}}} }}{{\sqrt {a - q} }}$ হয়, তবে দেখাও যে, $\frac{{{\bf{p}} + {\bf{q}}}}{{\bf{a}}} = \frac{{{\bf{p}} - q}}{q}$ .
সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{\bf{p}}}{{\bf{q}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}$ এবং $\frac{{\bf{a}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt {{\bf{a}} + {\bf{q}}} }}{{\sqrt {a - q} }}$
এখানে, $\frac{{\bf{a}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt {{\bf{a}} + {\bf{q}}} }}{{\sqrt {a - q} }}$
বা, ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}{\rm{ = }}{\left( {\frac{{\sqrt {a + q} }}{{\sqrt {a - q} }}} \right)^{\rm{2}}}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\left( {\sqrt {a + q} } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {a - q} } \right)}^2}}}$

বা, $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{\rm{ = }}\frac{{a + q}}{{a - q}}$

বা, $\frac{p}{q}{\rm{ = }}\frac{{a + q}}{{a - q}}$ [ $\frac{p}{q}{\rm{ = }}\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}$ দেওয়া আছে]
বা, $\frac{{p + q}}{{p - q}}{\rm{ = }}\frac{{a + q + a - q}}{{a + q - a + q}}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, $\frac{{p + q}}{{p - q}}{\rm{ = }}\frac{{2a}}{{2q}}{\rm{ = }}\frac{a}{q}{\rm{ }}$