এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১২.২ প্রশ্ন সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি গণিত ১২ অধ্যায়ের অনুশীলনীর ১২.২ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

নবম দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনীর ১২.২ প্রশ্ন সমাধান

বি.দ্র: কিছু ফন্ট ঠিক দেখতে Google Chrome Browser ব্যবহার করুন।

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর (১ – ৩) :
প্রশ্ন \ ১ \ 7x – 3y = 31

9x – 5y = 41

সমাধান : দেওয়া আছে,

7x – 3y = 31 … … … … … … (i)

9x – 5y = 41 … … … … … … (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই,

– 3y = 31 – 7x

∴y = $\frac{{31 - 7x}}{3}$

… … … … … … … (iii)

সমীকরণ (ii)-এ y এর মান বসিয়ে পাই,
9x – 5 $\frac{{31 - 7x}}{3}$ = 41
বা, ${\rm{9x + }}\frac{{155 - 35x}}{3}{\rm{ = 41 }}$

বা, 27x + 155 – 35x = 123 [উভয়পক্ষকে ৩ দ্বারা গুণ করে]
বা, – 8x = 123 – 155 [পক্ষান্তর করে]
বা, – 8x = – 32
বা, ${\rm{x = }}\frac{{ - 32}}{{ - 8}}$

∴x = 4
x এর মান সমীকরণ (iii)-এ বসিয়ে পাই,

${\rm{y = }}\frac{{31 - 7 \times 4}}{{ - 3}}{\rm{ = }}\frac{{31 - 28}}{{ - 3}}{\rm{ = }}\frac{3}{{ - 3}}{\rm{ = 1 }}$

নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = (4, – 1)

প্রশ্ন \ ২ \ $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{3}}}{\rm{ = 1}}$

$\frac{{\bf{x}}}{{\bf{3}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{2}}}{\rm{ = 1}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{3}}}{\rm{ = 1}}$ … … … … … (i)
$\frac{{\bf{x}}}{{\bf{3}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{2}}}{\rm{ = 1}}$ … … … … … (ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) এর উভয়পক্ষকে ৬ দ্বারা গুণ করে ভগ্নাংশমুক্ত করি,

3x + 2y = 6 … … … … … (iii)

∴ 2x + 3y = 6 … … … … … (iv)

সমীকরণ (iii) থেকে পাই,
2y = 6 – 3x
∴ y = $\frac{{6 - 3x}}{2}$ … … … … … (v)
সমীকরণ (রা)-এ y এর মান বসিয়ে পাই,
2x + 3 $\frac{{6 - 3x}}{2}$ = 6
বা, 4x + 18 – 9x = 12 [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা গুণ করে]
বা, – 5x = 12 – 18
বা, – 5x = – 6
∴ x = $\frac{{ - 6}}{{ - 5}}{\rm{ = }}\frac{6}{5}$

x এর মান সমীকরণ (v)-এ বসিয়ে পাই,
y = $\frac{{6 - 3 \times \frac{6}{5}}}{2}{\rm{ = }}\frac{{\frac{{30 - 18}}{5}}}{2}{\rm{ = }}\frac{{\frac{{12}}{5}}}{2}$

${\rm{ = }}\frac{{12}}{5} \times {\rm{ }}\frac{1}{2}{\rm{ = }}\frac{6}{5}$

নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = $\left( {\frac{6}{5}\frac{6}{5}} \right)$

প্রশ্ন \ ৩ \ $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{a}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}$ 2
ax + by = a² + b²
সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{a}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}$ 2 … … … … … (i)
ax + by = a² + b² … … … (ii)
সমীকরণ (ii) থেকে পাই,
by = a² + b² – ax
বা, y = $\frac{{{a^2} + {b^2} - ax}}{b}$ … … … … (iii)
সমীকরণ (i)-এ y এর স্থলে $\frac{{{a^2} + {b^2} - ax}}{b}$ ধীন বসিয়ে পাই,

$\frac{x}{a}{\rm{ + }}\frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} - ax}}{b}}}{b}{\rm{ = 2}}$

বা, $\frac{x}{a}{\rm{ + }}\frac{{{a^2} + {b^2} - ax}}{b} \times {\rm{ }}\frac{1}{b}{\rm{ = 2}}$

বা, b²x + a³ + ab²– a²x = 2ab² [ধন২ দ্বারা উভয়পক্ষকে গুণ করে]
বা, b²x – a²x = 2ab² – a³ – ab²
বা,x(b² – a²) = ab² – a³
বা, x = $\frac{{a({b^2} - {a^2})}}{{({b^2} - {a^2})}}$

∴ x = a
সমীকরণ (iii)-এ x এর মান বসিয়ে পাই,
∴ y = $\frac{{{a^2} + {b^2} - a.a}}{b}{\rm{ = }}\frac{{{a^2} + {b^2} - {a^2}}}{b}$

${\rm{ = }}\frac{{{b^2}}}{b}{\rm{ = b}}$

∴সমাধান : (x, y) = (a, b)

অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর (৪ – ৬) :
প্রশ্ন \ ৪ \ 7x – 3y = 31

9x – 5y = 41

সমাধান : দেওয়া আছে,

7x – 3y = 31 … … … … … (i)

9x – 5y = 41 … … … … … (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) কে যথাক্রমে ৫ এবং ৩ দ্বারা গুণ করে বিয়োগ করে পাই,

35x – 15y = 155

27x – 15y = 123

(–) (+) (–)

8x = 32

বা, x = $\frac{{32}}{8}$

∴ x = 4
x এর মান সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই,
7 × 4 – 3y = 31
বা, 28 – 3y = 31
বা, – 3y = 31 – 28
বা, – 3y = 3
∴ y = $\frac{3}{{ - 3}}$ = –1
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) =(4, – 1)

প্রশ্ন \ ৫ \ 7x – 8y = – 9

5x – 4y = – 3

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

7x – 8y = – 9 …………. (i)

5x – 4y = – 3 ………… (ii)

সমীকরণ (i) কে ৫ দ্বারা এবং (ii) কে ৭ দ্বারা গুণ করে বিয়োগ করে পাই,

35x – 40y = – 45

35x – 28y = – 21

(– ) ( + ) ( + )

– 12y = – 24

বা,12y = 24
বা, y = $\frac{{24}}{{12}}$

∴ y = 2
y এর মান সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই,

7x – 8 × 2 = -9

বা, 7x = -9 + 16

বা, 7x = 7

বা, x = $\frac{7}{7}$

∴ x = 1
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) =(1, 2)

প্রশ্ন \ ৬ \ ax + by = c

a²x + b²y = c²

সমাধান : দেওয়া আছে,

ax + by = c … … … … … (i)

a²x + b²y = c² … … … … … (ii)

সমীকরণ (i) কে ধ দ্বারা গুণ করি,
a²x + aby = ac … … … … … (iii)
সমীকরণ (iii) থেকে (ii) বিয়োগ করি,

a²x + aby = ac

a²x + -b²y = c²

⁽^–^{) (}^–^{) (}^–⁾

aby – b²y = ac – c²

বা, y(ab – b²) = ac – c²

বা, y = $\frac{{ac - {c^2}}}{{ab - {b^2}}}$

∴ y = $\frac{{c(a - c)}}{{b(a - b)}}{\rm{ = }}\frac{{c(c - a)}}{{b(b - a)}}$

সমীকরণ (i)-এ y এর মান বসিয়ে পাই,

${\rm{ax + b }} \times {\rm{ }}\frac{{c(a - c)}}{{b(a - b)}}{\rm{ = c }}$

বা, $ax{\rm{ }} + \frac{{ac - {c^2}}}{{a - b}} = {\rm{ }}c$

বা, ${\rm{ax = c - }}\frac{{ac - {c^2}}}{{a - b}}$

বা, ${\rm{ax = }}\frac{{ac - bc - ac + {c^2}}}{{a - b}}$

বা, ${\rm{ax = }}\frac{{{c^2} - bc}}{{a - b}}$

∴ x = $\frac{{c(c - b)}}{{a(a - b)}}{\rm{ = }}\frac{{c(b - c)}}{{a(b - a)}}$

নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = $\left\{ {\frac{{c(c - b)}}{{a(a - b)}}{\rm{ = }}\frac{{c(b - c)}}{{a(b - a)}}} \right\}$

আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর (৭-১৫) :
প্রশ্ন \ ৭ \ 2x + 3y + 5 = 0

4x + 7y + 6 = 0

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

2x + 3y + 5 = 0 … … … … … … (i)

4x + 7y + 6 = 0 … … … … … … (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii)-এ বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{{3 \times 6 - 7 \times 5}}{\rm{ = }}\frac{y}{{5 \times 4 - 2 \times 6}}{\rm{ = }}\frac{1}{{2 \times 7 - 4 \times 3}}$

বা, $\frac{x}{{18 - 35}}{\rm{ = }}\frac{y}{{20 - 12}}{\rm{ = }}\frac{1}{{14 - 12}}$

বা, $\frac{x}{{ - 17}}{\rm{ = }}\frac{y}{8}{\rm{ = }}\frac{1}{2}$

এখন, $\frac{x}{{ - 17}}{\rm{ = }}\frac{1}{2}$ এবং $\frac{y}{8}{\rm{ = }}\frac{1}{2}$

বা, ${\rm{x = }} - \frac{{17}}{2}$ বা, ${\rm{y = }}\frac{8}{2}$

∴ y = 4
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = $\left( { - \frac{{17}}{2},4} \right)$

প্রশ্ন \ ৮ \ 3x – 5y + 9 = 0

5x – 3y – 1 = 0

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

3x – 5y + 9 = 0 … … … … … (i)

5x – 3y – 1 = 0 … … … … … (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii)-এ বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{{( - 5) \times ( - 1) - ( - 3) \times 9}}{\rm{ = }}\frac{y}{{5 \times 9 - 3 \times ( - 1)}}{\rm{ = }}\frac{1}{{3 \times ( - 3) - 5 \times ( - 5)}}$

বা, $\frac{x}{{5 + 27}}{\rm{ = }}\frac{y}{{45 + 3}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - 9 + 25}}$

বা, $\frac{x}{{32}}{\rm{ = }}\frac{y}{{48}}{\rm{ = }}\frac{1}{{16}}$

বা, $\frac{x}{2}{\rm{ = }}\frac{y}{3}{\rm{ = 1}}$ [১৬ দ্বারা প্রত্যেকটি ভগ্নাংশকে গুণ করে]
এখন, $\frac{x}{2}{\rm{ = 1}}$ এবং $\frac{y}{3}{\rm{ = 1}}$

∴ x = 2 ∴ y = 3
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন \ ৯ \ x + 2y = 7

2x – 3y = 0

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

x + 2y = 7

বা, x + 2y – 7 = 0 … … … …. … .. (i)

2x – 3y = 0 … … … … … … (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) এ বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{{2 \times 0 - ( - 3) \times ( - 7)}}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - 7 \times 2 - 1 \times 0}}{\rm{ = }}\frac{1}{{1 \times ( - 3) - 2 \times 2}}$

বা, $\frac{x}{{ - 21}}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - 14}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - 3 - 4}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - 7}}$

বা, $\frac{x}{3}{\rm{ = }}\frac{y}{2}{\rm{ = 1 }}$ [প্রতিটি ভগ্নাংশকে – ৭ দ্বারা গুণ করে]
এখন, $\frac{x}{3}{\rm{ = 1}}$ এবং $\frac{y}{2}{\rm{ = 1}}$

∴ x = 3 ∴ y = 2
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = (3, 2).

প্রশ্ন \ ১০ \ 4x + 3y = -12

2x = 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

4x + 3y = -12

2x = 5

বা, 4x + 3y + 12 = 0 ………………………….. (i)

2x + 0.y – 5 = 0 ………………………….. (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) এ বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{{3 \times ( - 5) - 0 \times 12}} = \frac{y}{{12 \times 2 - 4 \times ( - 5)}} = \frac{1}{{4 \times 0 - 2 \times 3}}$

বা, $\frac{x}{{ - 15 - 0}} = \frac{y}{{24 + 20}} = \frac{1}{{0 - 6}}$

বা, $\frac{x}{{ - 15}} = \frac{y}{{44}} = \frac{1}{{ - 6}}$

∴ x = $\frac{{ - 15}}{{ - 6}} = \frac{5}{2}{\rm{ }}$

এবং y $= \frac{{44}}{{ - 6}} = - \frac{{22}}{3}$

নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = $\left( {\frac{5}{2},\frac{{22}}{3}} \right)$

প্রশ্ন \ ১১ \ – 7x + 8y = 9

5x – 4y = – 3

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

– 7x + 8y – 9 = 0 … … … … (i)

5x – 4y + 3 = 0 … … … … … (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) এ বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{{8 \times 3 - ( - 4)( - 9)}}{\rm{ = }}\frac{y}{{5( - 9) - ( - 7) \times 3}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - 7( - 4) - 5 \times 8}}$

বা, $\frac{x}{{24 - 36}}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - 45 + 21}}{\rm{ = }}\frac{1}{{28 - 40}}$

বা, $\frac{x}{{ - 12}}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - 24}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - 12}}$

বা, $\frac{x}{1}{\rm{ = }}\frac{y}{2}{\rm{ = 1 }}$ [প্রতিটি ভগ্নাংশকে – ১২ দিয়ে গুণ করে]
এখন, $\frac{x}{1}{\rm{ = 1}}$ এবং $\frac{y}{2}{\rm{ = 1}}$

∴x = ১ ∴ y = ২
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = (1, 2).

প্রশ্ন \ ১২ \ 3x – y – 7 = 0 = 2x + y – 3
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

3x – y – 7 = 0 ………………………….. (i)

2x + y – 3 = 0 ………………………… (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) এ বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

বা, $\frac{x}{{3 + 7}} = \frac{y}{{ - 14 + 9}} = \frac{1}{{3 + 2}}$

বা, $\frac{x}{{10}} = \frac{y}{{ - 5}} = \frac{1}{5}$

∴ $\frac{x}{{10}} = \frac{1}{5}$ এবং $\frac{y}{{ - 5}} = \frac{1}{5}$

বা, $x = \frac{{10}}{5}{\rm{ }}$ বা, $y = \frac{{ - 5}}{5}$

∴ x = 2 ∴ y = -1
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = (2, -1)

প্রশ্ন \ ১৩ \ ax + by = a² + b²

2bx – ay = ab

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

ax + by – (a² + b²) = 0 … … … … … … (i)

2bx – ay – ab = 0 … ….. … … … … … (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) এ বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{{b \times ( - ab) - ( - a) \times \{ - ({a^2} + {b^2})\} }}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - ({a^2} + {b^2}) \times 2b - a \times ( - ab)}}$ =

$\frac{1}{{a \times ( - a) - 2b \times b}}$

বা, $\frac{x}{{ - a{b^2} - {a^3} - a{b^2}}}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - 2{a^2}b - 2{b^3} + {a^2}b}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - {a^2} - 2{b^2}}}$

বা, $\frac{x}{{ - {a^3} - 2a{b^2}}}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - {a^2}b - 2{b^3}}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - {a^2} - 2{b^2}}}$

বা, $\frac{x}{{ - a({a^2} + 2{b^2})}}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - b({a^2} + 2{b^2})}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - ({a^2} + 2{b^2})}}$

এখন, $\frac{x}{{ - a({a^2} + 2{b^2})}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - ({a^2} + 2{b^2})}}$

∴ x = $\frac{{ - a({a^2} + 2{b^2})}}{{({a^2} + 2{b^2})}}$

= a

এবং $\frac{y}{{ - b({a^2} + 2{b^2})}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - ({a^2} + 2{b^2})}}$

∴ y = $\frac{{ - b({a^2} + 2{b^2})}}{{({a^2} + 2{b^2})}}$

= b
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = (a, b).

প্রশ্ন \ ১৪ \ y(3 + x) = x(6 + y)

3(3 + x) = 5(y – 1)

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

y(3 + x) = x(6 + y) ……………(i)

3(3 + x) = 5(y – 1) ……………(ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই,

y (3 + x) = x (6 + y)

বা, 3y + xy = 6x + xy

বা, 3y + xy – 6x – xy = 0

বা, – 6x + 3y = 0 … … … … … … (iii)

সমীকরণ (ii) থেকে পাই,

3(3 + x) = 5(y – 1)

বা, 9 + 3x = 5y – 5

বা, 3x – 5y + 9 + 5 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, 3x – 5y + 14 = 0 … … … … … (iv)
সমীকরণ (iii) ও (রা) এ বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{{3 \times 14 - ( - 5) \times 0}}{\rm{ = }}\frac{y}{{3 \times 0 - ( - 6) \times 14}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - 6 \times ( - 5) - 3 \times 3}}$

বা, $\frac{x}{{42 + 0}}{\rm{ = }}\frac{y}{{0 + 84}}{\rm{ = }}\frac{1}{{30 - 9}}$

বা, $\frac{x}{{42}}{\rm{ = }}\frac{y}{{84}}{\rm{ = }}\frac{1}{{21}}$

বা, $\frac{x}{2}{\rm{ = }}\frac{y}{4}{\rm{ = 1 }}$ [প্রতিটি ভগ্নাংশকে ২১ দ্বারা গুণ করে]
এখন, $\frac{x}{2}{\rm{ = 1}}$ এবং $\frac{y}{4}{\rm{ = 1}}$

∴ x = 2 ∴ y = 4
নির্ণেয় সমাধান : (x, y) = (2, 4).

প্রশ্ন \ ১৫ \ (x+2)(y-3)=y(x-1)

5x-11y-8=0

সমাধানঃ

(x+2)(y-3)=y(x-1)…..(i)

5x-11y-8=0……….(ii)

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,

(x+2)(y-3)=y(x-1)

বা, xy+2y-3x-6=xy-y

বা, xy+2y-3x-6-xy+y=0

বা, 3x-3y+6=0

বা, x-y+2=0……….(iii)

(ii), (iii) সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{x}{{ - 22 - 8}}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - 8 - 10}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ - 5 + 11}}$

বা, $\frac{x}{{ - 30}}{\rm{ = }}\frac{y}{{ - 18}}{\rm{ = }}\frac{1}{6}$

এখন, $\frac{x}{{ - 30}}{\rm{ = }}\frac{1}{6}$

বা, 6x=-30

বা, x=-30/6

বা, x=-5

এবং, $\frac{y}{{ - 18}}{\rm{ = }}\frac{1}{6}$

বা, 6y=-18

বা, 6y=-18/6

বা, y=-3

∴ (x,y)=(-5,-3)

🔶🔶 এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১১.১

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত সকল অধ্যায়

নবম দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনীর ১২.২ প্রশ্ন সমাধান

You Might Also Like

নবম-দশম শ্রেণির মানবিক নাগরিক নাগরিকত্ব অধ্যায় ৪ রাষ্ট্র ও সরকারব্যবস্থা

নবম-দশম শ্রেণির ব্যবসায় উদ্যোগ পঞ্চম অধ্যায় ব্যবসায়ের আইনগত দিক বহুনির্বাচনী প্রশ্নোত্তর

৬ষ্ঠ শ্রেণির গণিত ৩য় অধ্যায় অনুশীলনী ৩.১ (পূর্ণসংখ্যা)

Leave a Reply Cancel reply