এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.১ এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ প্রশ্ন সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.১ এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.১ প্রশ্ন সমাধান

চলক : যখন কোনো অক্ষর প্রতীক কোনো সেটের উপাদান বোঝায় তখন তাকে চলক বলে। একটি সেট A = {x : x Î R , 1 £ x £ 10} হয়, তবে x-এর মান ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। এখানে, x হলো চলক।
🔶 সমীকরণের ঘাত : কোনো সমীকরণের চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে সমীকরণটির ঘাত বলে। x + 1 = 5, 2x – 1 = x + 5, y + 7 = 2y – 3 সমীকরণগুলোর প্রত্যেকটির ঘাত ১; এগুলো এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ।
🔶 সমীকরণ ও অভেদ :
সমীকরণ : অন্ততপক্ষে একটি চলকযুক্ত সমান চিহ্ন সংবলিত খোলা বাক্যকে সমীকরণ বা সরল সমীকরণ বলে। যেমন, (3x + 5) – 6 = 5x + 9 একটি সমীকরণ যেখানে, x একটি চলক। সমীকরণে সমান চিহ্নের দুইপক্ষে দুইটি বহুপদী থাকে, অথবা একপক্ষে (প্রধানত ডানপক্ষে) শূন্য থাকতে পারে। দুই পক্ষের বহুপদীর চলকের সর্বোচ্চ ঘাত সমান না-ও হতে পারে।
🔶 সমীকরণের মূল : চলকের সর্বোচ্চ ঘাতের যে মান বা মানগুলো দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, তাকে ঐ সমীকরণের মূল বলে।
🔶 অভেদ : কোনো চলকের সকল মানের জন্য যদি সমীকরণটি সিদ্ধ হয় তবে তা একটি অভেদ। যেমন, (x + 1)² – (x – 1)² = 4x একটি অভেদ। এটি x এর সকল মানের জন্য সিদ্ধ হয়। প্রত্যেক বীজগণিতীয় সূত্র একটি অভেদ।

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

👉 সমাধান কর (১-১০) :

প্রশ্ন \ ১ \ $\frac{{{\bf{ay}}}}{{\bf{b}}} - \frac{{by}}{a} = {a^2} - {b^2}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{{\bf{ay}}}}{{\bf{b}}} - \frac{{by}}{a} = {a^2} - {b^2}$
বা, $\frac{{{a^2}y - {b^2}y}}{{ab}} = {a^2} - {b^2}$
বা, y(a² – b²) = ab(a² – b²) [আড়গুণন করে]
বা, y = ab [উভয়পক্ষকে (a² – b²) দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় সমাধান : y = ab

প্রশ্ন \ ২ \ (z + 1) (z – 2) = (z – 4) (z + 2)
সমাধান : দেওয়া আছে, (z + 1) (z – 2) = (z – 4) (z + 2)
বা,z² – 2z + z – 2 = z² + 2z – 4z – 8
বা,z² – z – 2 = z² – 2z – 8
বা,z² – z – z² + 2z = – 8 + 2 [পক্ষান্তর করে]
∴ z = – 6 (Ans.)

প্রশ্ন \ ৩ \ $\frac{{\bf{4}}}{{{\bf{2x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{9}}}{{{\bf{3x}} + {\bf{2}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{25}}}}{{{\bf{5x}} + {\bf{4}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{\bf{4}}}{{{\bf{2x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{9}}}{{{\bf{3x}} + {\bf{2}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{25}}}}{{{\bf{5x}} + {\bf{4}}}}$
বা, $\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{ + }}\frac{9}{{3x + 2}}{\rm{ = }}\frac{{15}}{{5x + 4}}{\rm{ + }}\frac{{10}}{{5x + 4}}$

বা, $\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{ }}\frac{{10}}{{5x + 4}}{\rm{ = }}\frac{{15}}{{5x + 4}}{\rm{ }} - \frac{9}{{3x + 2}}$ [পক্ষান্তর করে ]
বা, $\frac{{20x + 16 - 20x - 10}}{{(2x + 1)(5x + 4)}}{\rm{ = }}\frac{{45x + 30 - 45x - 36}}{{(5x + 4)(3x + 2)}}$

বা, $\frac{6}{{2x + 1}}{\rm{ = }}\frac{{ - 6}}{{3x + 2}}$ [ উভয়পক্ষকে (৫ী + ৪) দ্বারা গুণ করে।]
বা, $\frac{1}{{2x + 1}}{\rm{ = }}\frac{{ - 1}}{{3x + 2}}$

বা, 3x + 2 = – 2x – 1
বা, 3x + 2x = – 1 – 2
বা, 5x = – 3 ∴ ${\rm{x = }}\frac{3}{5}$

প্রশ্ন \ ৪ \ $\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{4}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{3}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{4}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{2}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{3}}}}$
বা, $\frac{1}{{x + 1}}{\rm{ - }}\frac{1}{{x + 3}}{\rm{ = }}\frac{1}{{x + 2}}{\rm{ - }}\frac{1}{{x + 4}}$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $\frac{{x + 3 - x - 1}}{{(x + 1)(x + 3)}}{\rm{ = }}\frac{{x + 4 - x - 2}}{{(x + 2)(x + 4)}}$

বা, $\frac{2}{{x2 + 4x + 3}}{\rm{ = }}\frac{2}{{x2 + 6x + 8}}$

বা, $\frac{1}{{x2 + 4x + 3}}{\rm{ = }}\frac{1}{{x2 + 6x + 8}}$ [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা ভাগ করে]
বা, x² + 6x + 8 = x² + 4x + 3 [আড়গুণন করে]
বা, x² + 6x – x² – 4x = 3 – 8
বা, 2x = – 5
∴x = – $\frac{5}{2}$ (Ans.)

প্রশ্ন \ ৫ \ $\frac{{\bf{a}}}{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{b}}}{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}{{{\bf{x}} - {\bf{a}} - {\bf{b}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{\bf{a}}}{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{b}}}{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}{{{\bf{x}} - {\bf{a}} - {\bf{b}}}}$

বা, $\frac{a}{{x - a}}{\rm{ + }}\frac{b}{{x - b}}{\rm{ = }}\frac{a}{{x - a - b}}{\rm{ + }}\frac{b}{{x - a - b}}$

বা, $\frac{a}{{x - a}}{\rm{ - }}\frac{a}{{x - a - b}}{\rm{ = }}\frac{b}{{x - a - b}}{\rm{ }} - \frac{b}{{x - b}}$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $\frac{{ax - {a^2} - ab - ax + {a^2}}}{{(x - a)(x - a - b)}}{\rm{ = }}\frac{{bx - {b^2} - bx + ab + {b^2}}}{{(x - a - b)(x - b)}}$

বা, $\frac{{ - ab}}{{(x - a)(x - a - b)}}{\rm{ = }}\frac{{ab}}{{(x - a - b)(x - b)}}$

বা, $\frac{{ - 1}}{{x - a}}{\rm{ = }}\frac{1}{{x - b}}$

[উভয়পক্ষকে $\frac{{ab}}{{x - a - b}}$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, x – a = – x + b [আড়গুণন করে]
বা, x + x = a + b
বা, 2x = a + b
∴ x = $\frac{{a + b}}{2}{\rm{ }}$

প্রশ্ন \ ৬ \ $\frac{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{{\bf{b}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{{\bf{a}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{x}} - {\bf{3a}} - {\bf{3b}}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}{\rm{ = 0}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{{\bf{b}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{{\bf{a}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{x}} - {\bf{3a}} - {\bf{3b}}}}{{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}{\rm{ = 0}}$
বা, $\frac{{x - a}}{b}{\rm{ + }}\frac{{x - b}}{a}{\rm{ + }}\frac{{x - 3(a + b)}}{{a + b}}{\rm{ = 0}}$

বা, $\frac{{x - a}}{b}{\rm{ + }}\frac{{x - b}}{a}{\rm{ + }}\frac{x}{{a + b}}{\rm{ - 3 = 0}}$

বা, $\left( {\frac{{x - a}}{b} - 1} \right){\rm{ + }}\left( {\frac{{x - b}}{a} - 1} \right){\rm{ + }}\left( {\frac{x}{{a + b}} - 1} \right){\rm{ = 0}}$

বা, $\frac{{x - a - b}}{b}{\rm{ + }}\frac{{x - b - a}}{a}{\rm{ + }}\frac{{x - a - b}}{{a + b}}{\rm{ = 0}}$

বা, $\left( {x - a - b} \right)\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{a} + \frac{1}{{a + b}}} \right) = 0$ এখানে, $\frac{1}{a}{\rm{ + }}\frac{1}{b}{\rm{ + }}\frac{1}{{a + b}} \ne {\rm{0 }}$ [∴ চলক বর্জিত রাশি]

∴ x – a – b = 0 = a + b (Ans.)

প্রশ্ন \ ৭ \ $\frac{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} - {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{2}}} - {{\bf{a}}^{\bf{2}}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} - {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{{{{\bf{b}}^{\bf{2}}} - {{\bf{a}}^{\bf{2}}}}}$
বা, $\frac{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} - {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ = }}\frac{{xb}}{{ - ({a^2} - {b^2})}}$

বা, $\frac{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} - {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{xb}}{{({a^2} - {b^2})}}{\rm{ = 0}}$

বা, $\frac{1}{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}} - {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}}\left( {x - a + x - b} \right){\rm{ = 0}}$

বা, x – a + x – b = 0 [উভয় পক্ষকে ${{{\bf{a}}^{\bf{2}}} - {{\bf{b}}^{\bf{2}}}}$ দ্বারা গুণ করে]
বা, 2x = a + b
∴ x = $\frac{{a + b}}{2}$

নির্ণেয় সমাধান : x = $\frac{{a + b}}{2}$

প্রশ্ন \ ৮ \ $({\bf{3}} + \sqrt {\bf{3}} ){\bf{z}} + {\bf{2}} = {\bf{5}} + {\bf{3}}\sqrt {\bf{3}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $({\bf{3}} + \sqrt {\bf{3}} ){\bf{z}} + {\bf{2}} = {\bf{5}} + {\bf{3}}\sqrt {\bf{3}}$
বা, $(3 + \sqrt 3 )z = 5 - 2 + 3\sqrt 3$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $(3 + \sqrt 3 )z = 3 + 3\sqrt 3$

বা, $z = \frac{{3 + 3\sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }}$ [উভয়পক্ষকে ৩ + ৩ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $z = \frac{{\sqrt 3 (\sqrt 3 + 3)}}{{(\sqrt 3 + 3)}}$

∴ $z = \sqrt 3$ (Ans.)

👉 সমাধান সেট নির্ণয় কর (১১ – ১৯) :

প্রশ্ন \ ৯ \ ${\bf{2x}} + \sqrt {\bf{2}} = {\bf{3x}} - 4 - 3\sqrt 2$

সমাধান : দেওয়া আছে,
${\bf{2x}} + \sqrt {\bf{2}} = {\bf{3x}} - 4 - 3\sqrt 2$
বা, ${\rm{2x }} - {\rm{ 3x = }} - {\rm{4 }} - {\rm{ }}3\sqrt 2 - \sqrt 2 {\rm{ }}$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $- {\rm{x = }} - {\rm{ 4 }} - {\rm{ }}4\sqrt 2$

বা, $- {\rm{x = }} - {\rm{ 4 (1 + }}\sqrt 2 {\rm{)}}$

বা, ${\rm{x = }}4(1 + \sqrt 2 ){\rm{ }}$ [উভয়পক্ষকে -১ দ্বারা গুণ করে]

∴ ${\rm{x = 4(1 + }}\sqrt 2 {\rm{)}}$

নির্ণেয় সমাধান সেট, ${\rm{S = }}\{ 4(1 + \sqrt 2 )\}$

প্রশ্ন \ ১০ \ $\frac{{{\bf{z}} - {\bf{2}}}}{{{\bf{z}} - {\bf{1}}}}{\rm{ = 2 - }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{z}} - {\bf{1}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{{\bf{z}} - {\bf{2}}}}{{{\bf{z}} - {\bf{1}}}}{\rm{ = 2 - }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{z}} - {\bf{1}}}}$
বা, $\frac{{z - 1 - 1}}{{z - 1}}{\rm{ = 2 }} - {\rm{ }}\frac{1}{{z - 1}}$

বা, $\frac{{z - 1}}{{z - 1}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{1}{{z - 1}}{\rm{ = 2 }} - {\rm{ }}\frac{1}{{z - 1}}$

বা, ${\rm{1 }} - {\rm{ }}\frac{1}{{z - 1}}{\rm{ = 2 }} - {\rm{ }}\frac{1}{{z - 1}}$

বা, 1 = 2 যা অসম্ভব
∴ এ সমীকরণে কোনো সমাধান নেই।
নির্ণেয় সমাধান সেট,S = { } বা ∅

প্রশ্ন \ ১১ \ $\frac{{\bf{1}}}{{\bf{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{2}}}{{{\bf{x}} - {\bf{1}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{\bf{1}}}{{\bf{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{2}}}{{{\bf{x}} - {\bf{1}}}}$
বা, $\frac{1}{x}{\rm{ + }}\frac{1}{{x + 1}}{\rm{ = }}\frac{1}{{x - 1}}{\rm{ + }}\frac{1}{{x - 1}}$

বা, $\frac{1}{x}{\rm{ - }}\frac{1}{{x - 1}}{\rm{ = }}\frac{1}{{x1}}{\rm{ - }}\frac{1}{{x + 1}}$

বা, $\frac{{x - 1 - x}}{{x(x - 1)}}{\rm{ = }}\frac{{x + 1 - x + 1}}{{(x - 1)(x + 1)}}$

বা, $\frac{{ - 1}}{x}{\rm{ = }}\frac{2}{{x + 1}}$ [উভয়পক্ষকে x –1) দ্বারা গুণ করে]
বা, 2x = – x – 1 [আড়গুণন করে]
বা, 2x + x = – 1
বা, 3x = – 1
∴ x = – $\frac{1}{3}$

নির্ণেয় সমাধান সেট, S = – $\frac{1}{3}$

প্রশ্ন \ ১২ \ $\frac{{\bf{m}}}{{{\bf{m}} - {\bf{x}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{n}}}{{{\bf{n}} - {\bf{x}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{m}} + {\bf{n}}}}{{{\bf{m}} + {\bf{n}} - {\bf{x}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{\bf{m}}}{{{\bf{m}} - {\bf{x}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{n}}}{{{\bf{n}} - {\bf{x}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{m}} + {\bf{n}}}}{{{\bf{m}} + {\bf{n}} - {\bf{x}}}}$
বা, $\frac{m}{{m - x}}{\rm{ + }}\frac{n}{{n - x}}{\rm{ = }}\frac{m}{{m + n - x}}{\rm{ + }}\frac{n}{{m + n - x}}$

বা, $\frac{m}{{m - x}}{\rm{ - }}\frac{m}{{m + n - x}}{\rm{ = }}\frac{n}{{m + n - x}}{\rm{ - }}\frac{n}{{n - x}}$ [পক্ষান্তর করে]
বা, ${\rm{m}}\left( {\frac{1}{{m - x}} - \frac{1}{{m + n - x}}} \right){\rm{ = n}}\left( {\frac{1}{{m + n - x}} - \frac{1}{{n - x}}} \right)$

বা, ${\rm{m }}\left\{ {\frac{{m + n - x - m + x}}{{(m - x)(m + n - x)}}} \right\}{\rm{ = n}}\left\{ {\frac{{n - x - m - n + x}}{{(m + n - x)(n - x)}}} \right\}$

বা, $\frac{{mn}}{{(m - x)(m + n - x)}}{\rm{ = }}\frac{{ - mn}}{{(m + n - x)(n - x)}}$

বা, $\frac{1}{{m - x}}{\rm{ = }}\frac{{ - 1}}{{n - x}}$ [উভয়পক্ষকে $\frac{{mn}}{{m + n - x}}$ দিয়ে ভাগ করে]

বা,– m + x = n – x
বা, x + x = m + n
বা, 2x = m + n
∴ x = $\frac{{m + n}}{2}$

নির্ণেয় সমাধান সেট, S = { $\frac{{m + n}}{2}$ }

প্রশ্ন \ ১৩ \ $\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{2}}}} + \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{5}}}} = \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{4}}}} + \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{3}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{2}}}} + \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{5}}}} = \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{4}}}} + \frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{3}}}}$
বা, $\frac{1}{{x + 2}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{1}{{x + 3}}{\rm{ = }}\frac{1}{{x + 4}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{1}{{x + 5}}{\rm{ }}$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $\frac{{x + 3 - x - 2}}{{(x + 2)(x + 3)}}{\rm{ = }}\frac{{x + 5 - x - 4}}{{(x + 4)(x + 5)}}$

বা, $\frac{1}{{(x + 2)(x + 3)}}{\rm{ = }}\frac{1}{{(x + 4)(x + 5)}}$

বা, (x + 4) (x + 5) = (x + 2) (x + 3) [আড়গুণন করে]
বা, x² + 9x + 20 = x² + 5x + 6
বা, x² + 9x – x² -5x = 6 – 20 [পক্ষান্তর করে]
বা, 4x = – 14
বা, x = – $\frac{{14}}{4}$

∴ x = – $\frac{7}{2}$

নির্ণেয় সমাধান সেট, S = $\left\{ { - \frac{7}{2}} \right\}$

প্রশ্ন \ ১৪ \ $\frac{{{\bf{2t}} - {\bf{6}}}}{{\bf{9}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{15}} - {\bf{2t}}}}{{{\bf{12}} - {\bf{5t}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{4t}} - {\bf{15}}}}{{{\bf{18}}}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $\frac{{{\bf{2t}} - {\bf{6}}}}{{\bf{9}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{15}} - {\bf{2t}}}}{{{\bf{12}} - {\bf{5t}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\bf{4t}} - {\bf{15}}}}{{{\bf{18}}}}$
বা, $\frac{{15 - 2t}}{{12 - 5t}}{\rm{ = }}\frac{{4t - 15}}{{18}}{\rm{ - }}\frac{{2t - 6}}{9}{\rm{ }}$ [পক্ষান্তর করে ]
বা, $\frac{{15 - 2t}}{{12 - 5t}}{\rm{ = }}\frac{{4t - 15 - 4t + 12}}{{18}}$

বা, $\frac{{15 - 2t}}{{12 - 5t}}{\rm{ = }}\frac{3}{{18}}$

বা, $\frac{{15 - 2t}}{{12 - 5t}}{\rm{ = }}\frac{1}{6}$

বা, – 12 + 5t = 90 – 12t [আড়গুণন করে]
বা, 5t + 12t = 90 + 12 [পক্ষান্তর করে ]
বা, 17t = 102
বা, t = $\frac{{102}}{{17}}$

∴ t = 6
নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {6}

👉 সমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (২০ – ২৭) :
প্রশ্ন \ ১৫ \ একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার $\frac{{\bf{2}}}{{\bf{5}}}$ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৯৮ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, একটি সংখ্যা x তাহলে অপর সংখ্যা $\frac{{\bf{2}}}{{\bf{5}}}$ x

প্রশ্নানুসারে, ${\rm{x + }}\frac{{2x}}{5} = 98$

বা, $\frac{{5x + 2x}}{5} = 98$

বা, 7x = 490

বা, x = $\frac{{490}}{7}$ ∴x = 70
∴ একটি সংখ্যা x = 70এবং অপর সংখ্যা = $\frac{2}{5}x = \frac{2}{5} \times 70 = 28$

নির্ণেয় সংখ্যা দুটি ৭০ এবং ২৮.

প্রশ্ন \ ১৬ \ একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ১; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ করলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যাবে, তা $\frac{{\bf{1}}}{{\bf{6}}}$ এর সমান। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশের লব =x
∴প্রকৃত ভগ্নাংশের হর =x + ১
[∵ প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা বড়]
∴ভগ্নাংশটি = $\frac{x}{{x + 1}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{{x - 2}}{{x + 1 + 2}} = \frac{1}{6}$

বা 6x – 12 = x + 1 + 2 [আড়গুণন করে]
বা, 6x – x = 3 + 12 [পক্ষান্তর করে]
বা,5x = 15
বা, x = ১৫/৫ ∴x = ৩
∴ভগ্নাংশটি = $\frac{3}{{3 + 1}} = \frac{3}{4}$ (Ans.)

প্রশ্ন \ ১৭ \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৯; অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে ৪৫ কম হবে। সংখ্যাটি কত?
সমাধান : ধরি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক =x
তাহলে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = (৯ – x)
∴ সংখ্যাটি = ১০ × দশক স্থানীয় অঙ্ক + একক স্থানীয় অঙ্ক
= ১০ (৯ – x) +x
= ৯০ – 10x +x
= ৯০ – 9x
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10x + (৯ – x)
= 9x + ৯
প্রশ্নমতে, 9x + ৯ = ৯০ – 9x – ৪৫
বা, 9x + ৯x = ৯০ – ৪৫ – ৯ [পক্ষান্তর করে]
বা, ১৮x = ৩৬
বা, x = ৩৬/১৮ ∴ x = ২
∴ সংখ্যাটি = ৯০ – 9x
= ৯০ – (৯ × ২)
= ৯০ – ১৮ = ৭২ (Ans.)

প্রশ্ন \ ১৮ \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। দেখাও যে, সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাত গুণ।
সমাধান : ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক =x
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 2x
∴ সংখ্যাটি = ১০ × 2x +x
= ২0x + x = ২1x
আবার, অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি =x + ২x = 3x
অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ = 3x × ৭ = ২1x
∴ সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির ৭ গুণের সমান। (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ ১৯ \ একজন ক্ষুদ্র ব্যবসায়ী ৫৬০০ টাকা বিনিয়োগ করে এক বছর পর কিছু টাকার উপর ৫% এবং অবশিষ্ট টাকার উপর ৪% লাভ করলেন। মোট ২৫৬ টাকা লাভ করলে তিনি কত টাকার উপর ৫% লাভ করলেন?
সমাধান : মনে করি, ঐ ব্যক্তি ৫% হারে x টাকা বিনিয়োগ করেছেন।
তাহলে, ৪% হারে (৫৬০০ – x) টাকা বিনিয়োগ করেছেন।
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, ও = চহৎ
এক্ষেত্রে, মুনাফা = I
মূলধন = p
সময় = n = ১ বছর
৫% হারে, r = ৫/১০০ এবং ৪% হারে, r = ৪/১০০
প্রশ্নমতে, x. ১. ৫/১০০ + (৫৬০০ – x).১. ৪১০০ = ২৫৬
বা, ৫ী + ২২৪০০ – ৪x = ২৫৬০০ [১০০ দ্বারা উভয়পক্ষে গুণ করে ]
বা, x = ২৫৬০০ – ২২৪০০ ∴x = ৩২০০
ঐ ব্যক্তি ৩২০০ টাকার উপর ৫% লাভ করলেন। (Ans.)

২০. একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে 6 জন করে ছাত্রী বসালে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্রী বসলে 6 জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধানঃ মনে করি, শ্রেণিটিতে বেঞ্চের সংখ্যা=xটি
6 জন করে প্রতি বেঞ্চে বসলে 2টি বেঞ্চ খালি থাকে, তাহলে পরিপূর্ণ বেঞ্চের সংখ্যা=(x-2)টি
∴ছাত্রী সংখ্যা=(x-2)✕6=6x-12 জন।
আবার,
প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্রী বসলে 6 জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
এই শর্তে ছাত্রী সংখ্যা=5✕x+6=5x+6
তাহলে, 6x-12=5x+6
বা, 6x-5x=6+12
বা, x=18
∴শ্রেণিটিতে বেঞ্চের সংখ্যা=18 টি

প্রশ্ন \ ২১ \ একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৪৭; মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ১৬৮০ টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?
সমাধান : কেবিনের যাত্রী সংখ্যা =x
তাহলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা = (৪৭ – x)
প্রশ্নমতে, ডেকের মাথাপিছু ভাড়া = ৩০ টাকা
∴ কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া = (৩০ × ২) টাকা = ৬০ টাকা
প্রশ্নমতে, ৬০.x + ৩০(৪৭ – x) = ১৬৮০
বা, ৬0x + ১৪১০ – ৩০x = ১৬৮০
বা, ৩০x = ১৬৮০ – ১৪১০
বা, x = ২৭০৩০ ∴x = ৯
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৯। (Ans.)

প্রশ্ন \ ২২ \ ১২০ টি পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ও পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রায় মোট ৩৫ টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?
সমাধান : পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা ীটি
∴ পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা (১২০ – x)টি
পঁচিশ পয়সার মুদ্রার টাকার মান $\frac{{x \times 25}}{{100}}$ টাকা
এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার টাকার মান $\frac{{(120 - x) \times 50}}{{100}}$

প্রশ্নানুসারে, $\frac{{x \times 25}}{{100}} + \frac{{(120 - x) \times 50}}{{100}} = 35$

বা, 25x + (120 – x) 50 = 3500
বা, 25x + 6000 – 50x = 3500
বা, – 25x = 3500 – 6000
বা, 25x = 2500 [উভয় পক্ষকে -১ দ্বারা গুণ করে]
বা, x = $\frac{{2500}}{{25}}$ ∴ x = ১০০
∴ পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা ১০০টি
এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা (১২০ -১০০)টি বা, ২০টি। (Ans.)

প্রশ্ন \ ২৩ \ একটি গাড়ি ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে কিছু পথ এবং ঘণ্টায় ৪০ কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। গাড়িটি মোট ৫ ঘণ্টায় ২৪০ কি.মি. পথ অতিক্রম করলে, ঘণ্টায় ৬০ কি. মি. বেগে কতদূর গিয়েছে?
সমাধান : ধরি, ৬০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে x কি.মি. দূরত্ব গিয়েছিল।
তাহলে, ঘণ্টায় ৪০ কি.মি. বেগে গিয়েছিল (২৪০ – x) কি.মি.।
প্রশ্নমতে, $\frac{x}{{60}}{\rm{ + }}\frac{{240x}}{{40}}{\rm{ = 5 }}$

বা,2x + 3 (240 – x) = 600 [উভয়পক্ষে ১২০ দ্বারা গুণ করে]
বা,2x + 720 – 3x = 600
বা, – x = 600 – 720
বা, – x = – 120 \ x = 120
∴ গাড়িটি ৬০ কি.মি. বেগে ১২০ কি.মি. গিয়েছিল। (Ans.)

২৪. ঢাকার নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দূরত্ব 12 কিমি। সজল নিউমার্কেট থেকে রিক্সায় ঘণ্টায় 6 কিমি বেগে কাজল একই স্থান থেকে পায়ে হেঁটে ঘণ্টায় 4 কিমি বেগে গাবতলির দিকে রওনা হলো। সজন গাবতলি পৌঁছে সেখানে 30 মিনিট বিশ্রাম নিয়ে আবার নিউমার্কেটর দিকে একই বেগে রওনা হলো। তারা নিউমার্কেট থেকে কতদূরে মিলিত হবে?
সমাধানঃ মনে করি, তারা নিউমার্কেট থেকে x কিমি দূরে মিলিত হবে।
তাহলে, কাজন নিউমার্কেট থেকে গাবতলী বরাবর x কিমি অতিক্রম করে x/4 ঘণ্টায়।
কিন্তু, সজন নিউওমার্কেট থেকে গাবতলী (12 কিমি) গিয়ে 30 মিনিট বা 0.5 ঘণ্টা বিশ্রাম নিয়ে আবার গাবতলী থেকে নিউওমার্কেটের দিকে (12-x) কিমি যেয়ে কাজলের সাথে মিলিত হয়।
সজলের সময় লাগে
=12/6+0.5+(12-x)/6
=2+0.5+12/6-x/6
=2+0.5+2-x/6
=4.5-x/6 ঘণ্টা
এখন, কাজলের অতিক্রান্ত সময়=সজলের অতিক্রান্ত সময়
বা, x/4=4.5-x/6
বা, x/4+x/6=4.5
বা, (3x+2x)/12=4.5
বা, 5x=4.5✕12
বা, 5x= 54
বা, x=54/5
বা, x=10.8 কিমি
∴তারা নিউমার্কেট থেকে 10.8 কিমি দূরে মিলিত হবে।

২৫. একটি স্টিমারে যাত্রী সংখ্যা 376 জন। ডেকের যাত্রীর সংখ্যা কেবিনের যাত্রীর সংখ্যার তিনগুন। ডেকের যাত্রীর মাথাপিছু ভাড়া 60 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 33840 টাকা।

ক) ডেকের যাত্রী সংখ্যাকে ধরে সমীকরণ তৈরি কর।

খ) ডেকের যাত্রী ও কেবিনের যাত্রীর সংখ্যা কত?

গ) কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া কত?

ক) ডেকের যাত্রী সংখ্যাকে ধরে সমীকরণ তৈরি কর।

সমাধানঃ মনে করি, ডেকের যাত্রী সংখ্যা x জন
∴কেবিনের যাত্রী সংখ্যা=376-x জন।
∴নির্ণেয় সমীকরণ=3(376-x)=x

খ) ডেকের যাত্রী ও কেবিনের যাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধানঃ ক হতে পাই,
3(376-x)=x
বা, 1123-3x=x
বা, -3x-x=-1123
বা, -4x=-1123
বা, 4x=1123
বা, x=1123/4
বা, x=282
∴ডেকের যাত্রী সংখ্যা 282 জন
এবং, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা=376-282 বা 94 জন।

গ) কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া কত?

সমাধানঃ ডেকের যাত্রীর মাথাপিছু ভাড়া=60 টাকা
∴ডেকের যাত্রীর মোট ভাড়া=282✕60=16920 টাকা।
কেবিনের যাত্রীর মোট ভাড়া=33840-16920=16920 টাকা।
∴কেবিনের যাত্রীর মাথাপিছু ভাড়া=16920/94=180 টাকা।

🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত সকল অধ্যায়

Share to help others: