সপ্তম/ ৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.১ এর সমাধান পোস্টে সকলকে স্বাগতম। এখানে এই অনুশীলনীর উত্তরের সাথে ৭ম শ্রেণির গণিতের অন্যান্য অনুশীলনীর সমাধনের লিংক শেয়ার করা হয়েছে।
৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৯.৩
প্রশ্ন \ 1 \ কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং এদের একটি বিপরীত কোণ দেওয়া থাকলে, সর্বাধিক কয়টি ত্রিভুজ আঁকা যাবে?
ক. 1 গ. 2✅ গ. 3 ঘ. 4
প্রশ্ন \ 2 \ কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব যখন তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য-
ক. 1 সে.মি., 2 সে. মি. 3 সে. মি.
খ. 3 সে.মি., 4 সে. মি. 5 সে. মি.✅
গ. 2 সে.মি., 4 সে. মি. 6 সে. মি.
ঘ. 3 সে.মি., 4 সে. মি. 7 সে. মি.
ব্যাখ্যা : ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। এখানে, 3 + 4 > 5 বা, 7 > 5
প্রশ্ন \ 3 \ i. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায়।
ii. দুইটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায়।
iii. কোনো ত্রিভুজের একাধিক স্থূলকোণ থাকতে পারে।
উপরের তথ্য অনুসারে নিচের কোনটি সঠিক?
ক. i ও ii ✅ খ. ii ও iii গ. i ও iii ঘ. i, ii ও iii
নিচের চিত্র অনুসারে 4-5 নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও :
৪. ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে কি বলে?
ক. ক্ষেত্রফল খ. আয়তন
গ. দৈর্ঘ্য ঘ. পরিসীমা✅
5. ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ কয়টি?
ক. 1টি খ. 2টি গ. 3টি✅ ঘ. 4টি
6. সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি?
ক. 300 খ. 450 গ. 600 ✅ঘ. 900
7. একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রী?
ক. 300 ✅ খ. 600 গ. 900 ঘ. 1800
প্রশ্ন \ 8 \ C বিন্দুতে BA রেখার সমান্তরাল রেখা আঁকতে হলে, কোন কোণের সমান কোণ আঁকতে হবে?
ক. ∠ABC ✅ খ. ∠ACB গ. ∠BAC ঘ. ∠CAD
প্রশ্ন \ 9 \ ∠CAD এর সমান নিচের কোনটি?
ক. ∠BAC + ∠ACB খ. ∠ABC + ∠ACB ✅
গ. ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC ঘ. ∠ABC + ∠BAC
প্রশ্ন \ 10 \ একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
(ক) 3 সে.মি., 4 সে.মি., 6 সে.মি.
(খ) 3.5 সে.মি., 4.7 সে.মি., 5.6 সে.মি.
সমাধান :
(ক)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য x = 3 সে.মি., y = 4 সে.মি. এবং z = 6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BE রশ্মি হতে z -এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. এখন, B কে কেন্দ্র করে y- এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে এবং C কে কেন্দ্র করে x- এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করল।
4. এখন A,B ও A,C যোগ করি।
সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 4 সে.মি., BC = 6 সে.মি. এবং AC = 3 সে.মি.।
∴ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ।
(খ)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য x = 3.5 সে.মি. y = 4.7 সে.মি. এবং z = 5.6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BE রশ্মি হতে z -এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. এখন, B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে y ও x এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করল।
4. এখন, A, B ও A, C যোগ করি।
সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 4.7 সে.মি., BC = 5.6 সে.মি. এবং AC = 3.5 সে.মি.।
∴ ABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ।
প্রশ্ন \ 11 \ একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
(ক) 3 সে.মি., 4 সে.মি., 60°
(খ) 3.8 সে.মি., 4.7 সে.মি., 45°
সমাধান :
(ক)
বিশেষ নির্বচন : একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x = 3 সে.মি. ও y = 4 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠z = 60° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BE রেখাংশ হতে y-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. B বিন্দুতে ∠z-এর সমান করে ∠EBD আঁকি।
4. BD রেখা হতে x-এর সমান করে BA অংশ কেটে নিই।
5. এখন A, C যোগ করি।
সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 3 সে.মি., BC = 4 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = 60°।
∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ।
(খ)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x = 3.8 সে.মি. ও ু = 4.7 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠z = 45°। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BE রশ্মি হতে y-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. B বিন্দুতে ∠z-এর সমান করে ∠EBD আঁকি।
4. BD রশ্মি হতে x-এর সমান করে BA অংশ কেটে নিই।
5. এখন A, C যোগ করি।
সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 3.8 সে.মি.,
BC = 4.7 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = 45°।
∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ।
প্রশ্ন \ 12 \ একটি ত্রিভুজের একটি বাহু ও এর সংলগ্ন দুইটি কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
(ক) 5 সে.মি., 30°, 45°
(খ) 4 সে.মি., 45°, 60°
সমাধান :
(ক)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের একটি বাহু x = 5 সে.মি. এবং এর সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠y = 30° ও ∠z = 45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BE রশ্মি হতে x-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. B বিন্দুতে ∠y-এর সমান করে ∠Cইচ এবং C বিন্দুতে ∠z-এর সমান করে ∠Bঈছ আঁকি।
4. এখন, ইচ ও ঈছ রেখাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করল। সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ ∠ABC = 30°, ∠ACB = 45° এবং BC = 5 সে.মি.।
∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ।
(খ)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের একটি বাহু x = 4 সে.মি. এবং এর সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠P = 45° ও ∠Q = 60° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BD যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BD রশ্মি হতে x-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. B বিন্দুতে ∠P -এর সমান করে ∠CBE এবং C বিন্দুতে ∠Q- এর সমান করে ∠BCF আঁকি।
4. এখন, BE ও CF বাহুদ্বয় পরস্পর অবিন্দুতে ছেদ করল।
সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-ই এ
BC = 4 সে.মি., ∠ABC = 45° এবং ∠ACB = 60°।
∴ ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ।
প্রশ্ন \ 13 \ একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও প্রথম কোণের বিপরীত বাহু দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
(ক) 120°, 30°, 5 সে.মি.
(খ) 60°, 30°, 4 সে.মি.
সমাধান :
(ক)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ∠P = 120° এবং ∠Q = 30° ও ∠P এর বিপরীত বাহু x = 5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BD যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BD রশ্মি হতে x-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. BC রেখাংশের B ও C বিন্দুতে ∠Q-এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBE ও ∠DCF আঁকি।
4. আবার, CF রেখার C বিন্দুতে এর যে পাশে ∠Q অবস্থিত তার বিপরীত পাশে ∠P-এর সমান করে ∠FCG আঁকি। CG রেখা BE রেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করল।
সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ∠ABC = ∠FCD. কিন্তু কোণ দুইটি অনুরূপ হওয়ায় AB ॥CF.
এখন, AB ॥CF এবং AC তাদের ছেদক।
∴∠BAC = একান্তর ∠ACF = 120°
এখন, ΔABC-এ ∠BAC = 120°, ∠ABC = 30° এবং ∠BAC-এর বিপরীত বাহু BC = 5 সে.মি.।
∴ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ।
(খ)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ∠P = 60° ও ∠Q = 30° এবং ∠P এর বিপরীত বাহু x = 4 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BD যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BD রশ্মি হতে x-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. BC রেখাংশের B ও C বিন্দুতে প্রদত্ত ∠Q -এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBE ও ∠DCF আঁকি।
4. আবার, CF রেখার C বিন্দুতে এর যে পাশে ∠Q অবস্থিত তার বিপরীত পাশে ∠P-এর সমান করে ∠FCG আঁকি। CG রেখা BE রেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করল।
সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ∠ABC = ∠FCD কিন্তু কোণ দুইটি অনুরূপ হওয়ায় AB ॥CF.
এখন, AB ॥CF এবং AC তাদের ছেদক।
∴∠BAC = একান্তর ∠ACF = 60°
অতএব, ΔABC-এ
∠BAC = 60°, ∠ABC = 30° এবং ∠BAC-এর বিপরীত বাহু BC = 4 সে.মি.।
∴ΔABC-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ।
প্রশ্ন \ 14 \ একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু ও প্রথম বাহুর বিপরীত কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
(ক) 5.3 সে.মি., 6 সে.মি., 60°
(খ) 4 সে.মি., 5 সে.মি., 30°
সমাধান :
(ক)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x = 5.3 সে.মি. ও y = 6 সে.মি. এবং প্রথম বাহুর বিপরীত কোণ ∠P = 60° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BE রশ্মির B বিন্দুতে প্রদত্ত ∠P-এর সমান ∠EBD আঁকি।
3. BD রেখা হতে y-এর সমান করে BA অংশ কেটে নিই।
4. এখন, A বিন্দুকে কেন্দ্র করে x-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি BE কে C ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে।
5. A, C এবং A, C ‘ যোগ করি।
তাহলে ΔABC এবং ΔABC’-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 6 সে.মি., AC = 5.3 সে.মি. এবং AC বাহুর বিপরীত ∠ABC = 60°
আবার, ΔABC’-এ AB = 6 সে.মি.
AC’ = 5.3 সে.মি. এবং AC’ বাহুর
বিপরীত ∠ABC’ = 60°
∴ ΔABC এবং ΔABC’ উভয়ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
(খ)
বিশেষ নির্বচন : একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x = 4 সে.মি. ও y= 5 সে.মি. এবং প্রথম বাহুর বিপরীত কোণ ∠P = 30° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BE রশ্মির B বিন্দুতে প্রদত্ত ∠P-এর সমান করে ∠EBD আঁকি।
3. BD রেখা হতে y-এর সমান করে BA অংশ কেটে নিই।
4. এখন, A বিন্দুকে কেন্দ্র করে x-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি BE কে ঈ ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে।
5. A, C এবং A, C ‘ যোগ করি।
সুতরাং ΔABC এবং ΔABC’ নির্ণেয় ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ AB = 5 সে.মি., AC = 4 সে.মি. এবং ∠ABC = 30°।
আবার, ΔABC’-এ AB = 5 সে.মি., AC’ = 4 সে.মি. এবং ∠ABC’ = 30°
∴ΔABC এবং ΔABC’ উভয়ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রশ্ন \ 15 \ একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
(ক) 7.2 সে.মি., 4 সে.মি.
(খ) 4.7 সে.মি., 3 সে.মি.
সমাধান :
(ক)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ x = 7.2 সে.মি. এবং এর সংলগ্ন বাহু y= 4 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BE রশ্মি হতে y-এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. BC রেখার B বিন্দুতে BC এর উপর BD লম্ব আঁকি।
4. C বিন্দুকে কেন্দ্র করে x-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি, যেন এটা BD রেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
5. এখন, A, C যোগ করি।
সুতরাং ΔABC-ই সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ: অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ অতিভুজ AC = 7.2 সে.মি., BC = 4 সে.মি. এবং ∠ABC = এক সমকোণ।
∴ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
(খ)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ x = 4.7 সে.মি. এবং এর সংলগ্ন বাহু y = 3 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. BE যেকোনো একটি রশ্মি নিই।
2. BE রশ্মি হতে y- এর সমান করে BC অংশ কেটে নিই।
3. BC রেখার B বিন্দুতে BC এর উপর BD লম্ব আঁকি।
4. C বিন্দুকে কেন্দ্র করে x-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি, যেন এটা BD রেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
5. এখন A, C যোগ করি।
সুতরাং ΔABC-ই নির্ণেয় সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, ΔABC-এ অতিভুজ AC = 4.7 সে.মি., BC = 3 সে.মি. এবং ∠ABC = এক সমকোণ।
∴ ΔABC-ই নির্ণেয় সমকোণী ত্রিভুজ।
প্রশ্ন \ 16 \ একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি বাহু 5.3 সে.মি. এবং একটি সূক্ষকোণ 45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি নির্দিষ্ট বাহু x = 5.3 সে.মি. এবং একটি সূক্ষকোণ ∠P = 45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. যেকোনো রশ্মি BE নিই।
2. BE রশ্মি হতে x -এর সমান করে BC কেটে নিই।
3. B বিন্দুতে BD লম্ব আঁকি এবং C বিন্দুতে প্রদত্ত ∠P এর সমান করে ∠BCA আঁকি। AC রেখা BD কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
সুতরাং ΔABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।
প্রমাণ : AB ⊥ BC হওয়ায় ∠ABC = এক সমকোণ।
এবং অঙ্কনানুসারে, ∠ACB = 45° ও BC = 5.3 সে.মি.
∴ΔABC-ই নির্ণেয় সমকোণী ত্রিভুজ।
প্রশ্ন \ 17 \ একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি বিন্দু A, B ও C.
(ক) বিন্দু তিনটি দিয়ে একটি ত্রিভুজ আঁক।
(খ) অঙ্কিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর লম্ব আঁক।
(গ) অঙ্কিত ত্রিভুজের ভূমি যে সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ হয়, ঐ ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধান :
(ক)
একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় A, B , C এমন তিনটি বিন্দু।
A, B ; B, C এবং A, C যোগ করি। ফলে ΔABC আঁকা হলো।
(খ) মনে করি, ΔABC এর শীর্ষবিন্দু A, ভূমি BC।
A বিন্দু থেকে ভূমি BC উপর একটি লম্ব আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. A বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যেন তা BC কে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
2. P ও Q বিন্দুকে কেন্দ্র করে PQ এর সমান বা অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এরা পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
3. A, R যোগ করি।
4. AR, BC কে N বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, AN ই নির্ণেয় লম্ব।
(গ)
অঙ্কিত ΔABC এর ভূমি BC = a। একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ a দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. যেকোনো রশ্মি BE হতে BC = a কেটে নিই।
2. BC এর লম্বদ্বিখণ্ডক PQ আঁকি যেন তা BC কে O বিন্দুতে ছেদ করে।
3. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OB বা OC এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি অর্ধবৃত্ত আঁকি যেন এটি PQ কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
4. A, B এবং A, C যোগ করি।
তাহলে, ΔABC-ই নির্ণেয় সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
প্রশ্ন \ 18 \
(ক) চিত্রের ত্রিভুজটির অতিভুজ কোনটি?
(খ) অতিভুজের পরিমাণ সেন্টিমিটারে নির্ণয় কর এবং ∠ACB এর সমান করে একটি কোণ আঁক।
(গ) একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁক, যার অতিভুজ চিত্রে অঙ্কিত ত্রিভুজের অতিভুজ অপেক্ষা 2 সে.মি. বড় এবং একটি কোণ, ∠ACB এর সমান হয়।
সমাধান :
(ক) চিত্রে, ΔABC-এ AB⊥BC.
∴∠ABC = 90°
∴ ABC ত্রিভুজের অতিভুজ AC।
(খ) স্কেলের সাহায্যে পরিমাপ করে দেখা গেল অতিভুজ AC = 6 সে.মি.
∠ACB এর সমান করে একটি কোণ আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. PQ যেকোনো রশ্মি নেই।
2. C বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা AC এবং BC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।
3. P বিন্দুকে কেন্দ্র করে একই সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা PQ কে L বিন্দুতে ছেদ করে।
4. এখন, L বিন্দুকে কেন্দ্র করে EF এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যেন এটি পূর্বের বৃত্তচাপকে M বিন্দুতে ছেদ করে।
5. M, P যোগ করে বর্ধিত করি।
তাহলে, ∠MPL নির্ণেয় কোণ অঙ্কিত হলো।
(গ) একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকতে হবে যার অতিভুজ b = 6 + 2 = 8 সে.মি. এবং একটি কোণ ∠ACB এর সমান হয়।
অঙ্কন :
1. যেকোনো রশ্মি BE হতে BC = b কেটে নিই।
2. এখন B ও C বিন্দুতে ∠ACB এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBF ও ∠ECD আঁকি।
3. এখন C বিন্দুতে ∠DCA = 90° আঁকি।CA রেখা BF রেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
4. ফলে ∠BAC = 90° এবং ΔABC সমকোণী ত্রিভুজ।
তাহলে, ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণ : ΔABC এ ∠BAC = এক সমকোণ। (অঙ্কনানুসারে)
এর অতিভুজ BC = 8 সে.মি.
এবং ∠ABC = ∠ACB .
∴ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রশ্ন \ 19 \ একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু ধ = 3 সে.মি., b = 4 সে.মি. এবং একটি কোণ ∠B = 30°
(ক) ∠B এর সমান একটি কোণ আঁক।
(খ) একটি ত্রিভুজ আঁক, যার দুই বাহু a ও b এর সমান এবং অন্তর্ভুক্ত ∠B এর সমান হয়।
(গ) এমন একটি ত্রিভুজ আঁক, যার একটি বাহু b এবং ∠B এর বিপরীত বাহু 2a হয়।
সমাধান :
(ক)
চাঁদা ব্যবহার করে ∠B = 30° এর সমান একটি ∠Y আঁকা হলো।
(খ) একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু a= 3 সে. মি. এবং b = 4 সে. মি. ও তাদের অন্তর্ভুক্ত ∠B = 30° দেওয়া আছে। এমন একটি ত্রিভুজ আঁকতে হবে যার দুটি বাহু a ও b এর সমান এবং অন্তর্ভুক্ত ∠B এর সমান।
অঙ্কন :
1. যেকোনো রশ্মি BE হতে BC = b কেটে নিই।
2. B বিন্দুতে ∠CBD = ∠B আঁকি।
3. BD হতে BA = a কেটে নিই।
4. A,C যোগ করি।
সুতরাং ΔABC-ই হলো নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণ : ΔABC এ BC = b, AB = a এবং
অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = ∠B.
∴ ΔABCই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
গ) একটি ত্রিভুজের একটি বাহু b এবং ∠B কোণের বিপরীত বাহু a দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
1. যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = b কেটে নিই।
2. এখন B বিন্দুতে ∠CBF = ∠B আঁকি।
3. C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 2a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি BF কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
4. A,C যোগ করি।
তাহলে ΔABCই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণ : ΔABC এ BC = b, AC = 2a এবং ∠ABC = ∠B
∴ ΔABCই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
২০. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a=4 সেমি, b=5 সেমি, c=6 সেমি।
(ক) একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন কর।
সমাধানঃ
মনে করি, ত্রিভুজের একটি বাহু a. একটি ত্রিভুজ আঁকতে হবে যার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a
অঙ্কনের বিবরনঃ
(১) যেকোনাে রেখাংশ BD থেকে a এর সম করে BC কেটে নিই।
(২) BC এর B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে BD এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি যারা A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A, B এবং A, C যােগ করি। তাহলে, △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
(খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)
সমাধানঃ
মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a=4 সেমি, b=5 সেমি, c=6 সেমি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনাে রেখাংশ BD থেকে BC=c=6 সেমি কেটে নিই।
(২) BC এর B বিন্দুকে কেন্দ্র করে b=5 সেমি ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর এক পাশে একটি বৃত্তচা প আঁকি এবং BC এর C বিন্দুকে কেন্দ্র করে a=4 সেমি ব্যাসার্ধ নিয়ে BC একই পাশে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A, B এবং A, C যােগ করি। তাহলে, △ABC-ইনির্ণেয় ত্রিভুজ।
(গ) এমন একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন কর যেন সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় ও b এর সমান হয়। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)
সমাধানঃ
মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন দুইটি বাহু a=4 সেমি ও b=5 সে মি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনাে রেখাংশ BD থেকে b=5=BC কেটে নিই।
(২) BC এর B বিন্দুতে BE লম্ব আঁকি।
(৩) BE থেকে BA=a=4 সেমি কেটে নিই।
(8) A, C যােগ করি। তাহলে, △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
২১.. AB ও CD দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা। PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(ক) বর্ণনা অনুযায়ী চিত্র অঙ্কন কর।
সমাধানঃ
একটি চিত্র অঙ্কন করা হলাে যেখানে, AB ও CD দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা। PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(খ) দেখাও যে, ∠AEP=∠CFE
সমাধানঃ
AB ও CD দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা। PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে যে, ∠AEP=∠CFE
প্রমাণঃ
চিত্রে, AB ও PQ রেখা পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, ∠AEP=∠QEB [এরা বিপ্রতীপ কোণ]———-(১)
আবার, ABTICD এবং PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে
তাহলে, ∠QEB=∠CFE [এরা একান্তর কোণ]————(২)
(১) ও (২) হতে পাই,∠AEP=∠QEB=∠CFE
বা, ∠AEP=∠CFE (দেখানাে হলাে)
(গ) দেখাও যে, ∠AEF+∠CFE=২ সমকোণ
সমাধানঃ
AB ও CD দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা। PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে যে, ∠ZAEF+∠CFF=২ সমকোণ।
প্রমাণঃ
AB ও PQ রেখা পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
তাহলে, ∠AEQ+∠BEQ=2 সমকোণ (এরা পরস্পর সম্পূরক কোণ]————(১)
আবার, ABTICD এবং PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে
তাহলে, ∠BEQ=∠CFE [এরা একান্তর কোণ]————(২)
(২) নং থেকে (১) নং এ∠BEQ=∠CFE বসিয়ে পাই,
∠AEQ+∠CFE =2 (দেখানাে হলাে )
আরো পড়ুনঃ