নবম-দশম বা এসএসসি গণিত ১১ অধ্যায় বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত অনুশীলনী ১১.১ সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এবং সকল অধ্যায়ের অনুশীলনীর সমাধান দেখতে নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন। এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১১.১ বি.দ্রঃ উত্তর গুলো সঠিকভাবে দেখতে Google Chrome অথবা ভালো কোনো ব্রাউজার ব্যবহার করুন। প্রশ্ন \ 1 \ দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a মিটার এবং b মিটার হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? সমাধান : 1ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার ∴ 1ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a2 বর্গমিটার এবং 2য় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = b মিটার ∴ 2য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = b2 বর্গমিটার ∴ 1ম ও 2য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = = a2 : b2 ∴ তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = a2 : b2 (ans) প্রশ্ন \ 2 \ একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় কর। সমাধান : ধরি, বৃত্তক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = r মিটার ∴ বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = Πr2 বর্গমিটার ∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2Πr মিটার প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = Πr2 বর্গ মিটার ∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = মিটার = √Πr মিটার ∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 √Πr মিটার বৃত্তক্ষেত্রের ও বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার অনুপাত (ans) প্রশ্ন \ 3 \ দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 এবং তাদের ল. সা. গু. 180; সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর। সমাধান : ধরি, সংখ্যাদ্বয় 3x ও 4x [অনুপাত অনুযায়ী)] ∴ সংখ্যাদ্বয়ের ল. সা. গু. = 1xী প্রশ্নমতে, 12x = 180 বা, x = 180/12 ∴x = 15 ∴ সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে (3 × 15) = 45 এবং (4 × 15) = 60 নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি 45 ও 60. প্রশ্ন \ 4 \ একদিন তোমাদের ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত ও উপস্থিত ছাত্র সংখ্যার অনুপাত 1 : 4, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যাকে মোট ছাত্র সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ কর। সমাধান : মনে করি, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা =x এবং উপস্থিত ছাত্র সংখ্যা = 4x ∴ মোট ছাত্র সংখ্যা = (4x + x) জন = 5x জন ∴ অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা মোট ছাত্র সংখ্যার অংশ অর্থাৎ অনুপস্থিত ছাত্র/মোট ছাত্র × 100% = ∴ অনুপস্থিত ছাত্রসংখ্যা মোট ছাত্র সংখ্যার 20%. (ans) প্রশ্ন \ 5 \ একটি দ্রব্য ক্রয় করে 28% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় কর। সমাধান : ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে 28% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (100 – 28) বা 72 টাকা। বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য = 72 : 100 = = = 18 : 25 ∴ বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত = 18 : 25. (ans) প্রশ্ন \ 6 \ পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি 70 বছর। তাদের বয়সের অনুপাত 7 বছর পূর্বে ছিল 5 : 2। 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে? সমাধান : মনে করি, 7 বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল 5x বছর এবং 7 বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল 2x বছর এখানে, x অনুপাতের সাধারণ গুণিতক ∴ বর্তমানে পিতার বয়স (5x + 7) বছর এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স (2x + 7) বছর আবার, 5 বছর পরে পিতার বয়স (5x + 7 + 5) বছর = (5x + 12) বছর এবং 5 বছর পরে পুত্রের বয়স (2x + 7 + 5) বছর = (2x + 12) বছর প্রশ্নানুসারে, (5x + 7) + (2x + 7) = 70 বা, 5x + 7 + 2x + 7 = 70 বা, 7x + 14 = 70 বা, 7x = 70 – 14 = 56 বা, x = 56/7 = 8 ∴ x = 8 ∴ 5 বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = (5 × 8 + 12) : (2 × 8 + 12) = (40 + 12) : (16 + 12) = 52 : 28 = 13 : 7 (ans) প্রশ্ন \ 7 \ যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ কর যে, সমাধান : (i) দেওয়া আছে a : b = b : c, বা, ∴ b2 = ac বামপক্ষ = ডানপক্ষ = অর্থাৎ, (প্রমাণিত) (ii) দেওয়া আছে, a : b = b : c বা, ∴ b2 = ac বামপক্ষ = \[\begin{array}{l} {\rm{ = }}\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^3}}}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{b^3}}}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{c^3}}}\\ {\rm{ = }}\frac{{{b^2}{c^2}}}{a}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}{c^2}}}{b}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}{b^2}}}{c}\\ {\rm{ = }}\frac{{ac.{c^2}}}{a}{\rm{ + }}\frac{{{{({b^2})}^{^2}}}}{b}{\rm{ + }}\frac{{{a^2}.ac}}{c}{\rm{ }}\\ {\rm{ = }}\frac{{a{c^3}}}{a}{\rm{ + }}\frac{{{b^4}}}{b}{\rm{ + }}\frac{{{a^3}c}}{c}\\ = {\rm{ }}{c^3} + {\rm{ }}{b^3} + {\rm{ }}{a^3} \end{array}\] = a3 + b3 + c3 = ডানপক্ষ অর্থাৎ, =a3 + b3 + c3 (প্রমাণিত) (iii) দেওয়া আছে, a : b = b : c বা, ∴ b2 = ac বামপক্ষ = \[\begin{array}{l} = \frac{{abc{{(a + b + c)}^3}}}{{{{(ab + bc + ca)}^3}}}\\ = \frac{{b.{b^2}{{(a + b + c)}^3}}}{{{{(ab + bc + {b^2})}^3}}}{\rm{ [}}{\rm{ }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ = ac]}}\\ {\rm{ = }}\frac{{{b^3}{{(a + b + c)}^3}}}{{{{\{ b(a + c + b)\} }^3}}}\\ = \frac{{{b^3}{{(a + b + c)}^3}}}{{{b^3}{{(a + b + c)}^3}}} \end{array}\] = 1 = ডানপক্ষ অর্থাৎ, (প্রমাণিত) (iv) দেওয়া আছে, a : b = b : c বা, ∴ b2 = ac 1ম পক্ষ =a – 2b + c 2য় পক্ষ = \[\begin{array}{l} \frac{{{{(a – b)}^2}}}{a}{\rm{ = }}\frac{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}{a}\\ {\rm{ = }}\frac{{{a^2} – 2ab + ac}}{a}[{b^2} = {\rm{ }}ac]\\ = \frac{{a(a – 2b + c)}}{a}\\ = a{\rm{ }}–{\rm{ }}2b{\rm{ }} + {\rm{ }}c \end{array}\] 3য় পক্ষ = \[\begin{array}{l} \frac{{{{(b – c)}^2}}}{c}\\ = \frac{{{b^2} – 2bc + {c^2}}}{c}\\ = \frac{{ac – 2bc + {c^2}}}{c}[{b^2} = {\rm{ }}ac]\\ = \frac{{c(a – 2b + c)}}{c}\\ = a–2b{\rm{ }} + {\rm{ }}c \end{array}\] অর্থাৎ, (প্রমাণিত) প্রশ্ন \ 8 \ সমাধান কর : (i) (ii) (iii) , 2a > b > 0 এবং x ≠ 0. (iv) (v) (vi) সমাধান : (i) বা, [যোজন-বিয়োজন করে] বা, বা, [ – 1 দ্বারা উভয়পক্ষকে গুণ করে] বা, [আড়গুণন করে] বা, [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, 4 (1– x) = 1 বা, 4 – 4x = 1 বা, – 4x = 1 – 4 বা, – 4x = – 3 ∴ নির্ণেয় সমাধান, x = (ii) বা, [যোজন-বিয়োজন করে] বা, বা, [উভয়পক্ষকে বর্গ করে ] বা, বা, [পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে] বা, বা, বা, বা, x (b2 + 1) = 2ab ∴ x = নির্ণেয় সমাধান, x = (iii) বা, [যোজন-বিয়োজন করে] বা, বা, বা, বা, [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, বা, [যোজন-বিয়োজন করে] বা, বা, বা, বা, (x2 + b2)(x2 + ax) = 2bx(a2 + ax) [আড়গুণন করে] বা, x(x2 + b2) (x + a) = 2abx(x + a) বা, x2 +
