গণিত

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান ১. 13+20+27+34+….+111 ধারাটির পদ সংখ্যা কত? ক) 10 খ) 13 গ) 15 ঘ) 20 উত্তরঃ গ ২. 5+8+11+14+…+62 ধারাটি (i) একটি সসীম ধারা (ii) একটি গুণোত্তর ধারা (iii) এর 19 তম পদ 59 নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii উত্তরঃ খ নিচের তথ্যের আলোকে ৩-৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও। 7+13+19+25+…….. একটি ধারা। ৩. ধারাটির 15 তম পদ কোনটি? ক) 85 খ) 91 গ) 97 ঘ) 104 উত্তরঃ খ ৪. ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত? ক) 141 খ) 1210 গ) 1280 ঘ) 2560 উত্তরঃ গ প্রশ্ন \ 5 \ 2 – 5 – 12 – 19 – ………. ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12তম পদ নির্ণয় কর| সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 2 – 5 – 12 – 19 -….. এটি একটি সমান্তর ধারা, hযার প্রথম পদ, a = 2 ∴সাধারণ অন্তর, d = – 5 – 2 = – 7 ∴ 12 তম পদ = a + (12 – 1) d = 2 + 11 × ( -7) = 2 – 77 = – 75 নির্ণেয় ধারাটির সাধারণ অন্তর – 7 এর 12 তম পদ -75. প্রশ্ন \ 6 \ 8 + 11 + 14 + 17 + …….. ধারাটির কোন পদ 392 ? সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 8 + 11 + 14 + 17 +…….. এটি একটি সমান্তর ধারা, hযার প্রথম পদ, a = 8 সাধারণ অন্তর, d = 11 – 8 = 3 মনে করি, n তম পদ  = 392 n তম পদ = a + (n – 1)d ∴ a + (n  -1) d = 392 বা, 8 + (n – 1) × 3 = 392 বা, (n – 1) × 3 = 392 – 8 বা, n – 1 = 384/3 বা, n = 128 + 1 ∴  n = 129 ∴  ধারাটির 129তম পদ 392. প্রশ্ন \ 7 \ 4 + 7 + 10 + 13 + ……….. ধারাটির কোন পদ 301 ? সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 4 + 7 + 10 + 13 + ……….. এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 4 সাধারণ অন্তর, d = 7 – 4 = 3 মনে করি, nতম পদ = 301 n তম পদ = a + (n -1)d ∴  a + (n – 1)d = 301 বা, 4 + (n -1) × 3 = 301 বা, (n -1) × 3 = 301 – 4 বা, n -1 =297/3 বা, n = 99 + 1 ∴  n = 100 ∴ ধারাটির 100তম পদ 301.   প্রশ্ন \ 8 \ কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, (m + n) তম পদ কত? সমাধান : মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d ∴ ধারাটির mতম পদ = a + (m – 1) d ”      n তম পদ = a + (n – 1) d শর্তানুসারে a + (m -1) d = n ………………… (i) এবং a + (n -1) d = m ……………….. (ii) সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই, (m – 1 – n + 1) d = n – m বা, (m – n) d = – (m – n) বা, d = ∴ d = – 1 ∴ ধারাটির (m + n)তম পদ = a + (m + n -1) d = a + {(m – 1) + n} d = a + (m – 1)d + nd = n + n(- 1)        [∵ a + (m – 1) d = n এবং d = – 1] = n – n = 0 নির্ণেয় (m + n) তম পদ 0. প্রশ্ন \ 9 \ 1 + 3 + 5 + 7 + … … … ধারাটির n পদের সমষ্টি কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 1 + 3 + 5 + 7 + … … … এটি একটি সমান্তর ধারা, hযার প্রথম পদ, a = 1 সাধারণ অন্তর, d = 3 – 1= 2 এবং পদ সংখ্যা  = n ∴ প্রদত্ত ধারার সমষ্টি, Sn = n/2{2a + (n – 1) d} = n/2{2 × 1 + (n – 1).2}   [মান বসিয়ে] = n/2 (2+2n-2) = n/2× 2n = n2 নির্ণেয় ধারাটির n পদের যোগফল n2. প্রশ্ন \ 10 \ 8 + 16 + 24 + …………. ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 8 + 16 + 24 + …………. এটি একটি সমান্তর ধারা hযার প্রথম পদ a = 8 এবং সাধারণ অন্তর d = 16 – 8 = 8 ∴ধারাটির 9টি পদের সমষ্টি, S9 = 9/2{2a + (9 – 1) d} = 9/2(2a + 8d) = 9/2(2 × 8 + 8 × 8) = 9/2(16 + 64) = 9/2× 80 = 9 × 40 = 360 ∴ ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি 360. প্রশ্ন \ 11 \ 5 + 11 + 17 + 23 + …………… + 59 = কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 5 + 11+ 17 + 23 + …… + 59 এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 5 সাধারণ অন্তর, d = 11– 5 = 17 – 11 = 6 শেষ পদ, p = 59 ধরি, ধারাটির পদ সংখ্যা = n ∴ n তম পদ = a + (n – 1)d কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = 59 অর্থাৎ, 5 + (n – 1) 6 = 59 বা, 5 + 6n – 6 = 59 বা, 6n – 1 = 59 বা, 6n = 59 + 1 বা, n = 60/6= 10 ∴ সমষ্টি, S = n/2{2a + (n – 1)d} = 10/2{2 × 5 + (10 – 1).6}       [এর মান বসিয়ে] = 5 (10 + 9 × 6) = 5 (10 + 54) = 5 × 64 = 320 নির্ণেয় সমষ্টি 320. প্রশ্ন \ 12\  29 + 25 + 21 + … … … – 23 = কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 29 + 25 + 21 + … … … – 23 এটি একটি সমান্তর ধারা, যার ১ম পদ, a = 29 সাধারণ অন্তর,

নবম-দশম বা এসএসসি গণিত বইয়ের ৩য় অধ্যায়ের অনুশীলনী ৩.২ এর সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এসএসসি গণিত সমাধান অনুশীলনী ৩.২ প্রশ্ন : ১ ∴ সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর : (খ) 2×2 + 3y2 সমাধান: 2×2 + 3y2 এর ঘন = (2×2 + 3y2)3 = (2×2)3 + 3.(2×2)2 .3y2 + 3.2×2 .(3y2)2 + (3y2)3 = 8×6 + 3.4×4. 3y2 + 3.2×2.9y4 + 27y6 = 8×6 + 36x4y2 + 54x2y4 + 27y6 (Ans.)   (খ) 7m2 – 2n সমাধান: 7m2 – 2n এর ঘন = (7m2 – 2n)3 = (7m2)3 – 3.(7m2)2.2n + 3.7m2.(2n)2 – (2n)3 = 343m6 – 3.49m4.2n + 3.7m2 .4n2 – 8n3 = 343m6 – 294m4n + 84m2n2 – 8n3 (Ans.) (গ) 2a – b – 3c সমাধান: 2a – b – 3c এর ঘন = (2a – b – 3c)3 = {(2a – b) – 3c}3 = (2a – b)3 – 3. (2a – b)2. 3c + 3.(2a – b).(3c)2 – (3c)3 =(2a)3-3.(2a)2.b+3.2a.(b)2-(b)3-3{(2a)2 t – 2.2a.b + (b)2.3c + 3.(2a – b). 9c2 – 27c3 =8a3-12a2b+6ab2-b3-3(4a2-4ab+b2).3c + 54ac2 – 27bc2 – 27c3 =8a3-12a2b+6ab2-b3-36a2c+36abc-9b2c + 54ac2 – 27bc2 – 27c3 =8a3-b3-27c3-12a2b-36a2c+6ab2+54ac2 – 9b2c – 27bc2 + 36abc (Ans.) প্রশ্ন : 2 ∴ সরল কর : (ক)  (7x + 3b)3 – (5x + 3b)3 – 6x(7x + 3b)(5x + 3b) সমাধান: (7x + 3b)3 – (5x + 3b)3 – 6x(7x + 3b)(5x + 3b) = (7x + 3b)3 – (5x + 3b)3 – 3.2x.(7x + 3b) (5x + 3b)             ধরি, 7x + 3b = p এবং 5x + 3b = q এখানে, p – q = 7x + 3b – 5x – 3b = 2x ∴ প্রদত্ত রাশি = p3 – q3 – 3.p – q)pq = p3 – q3 – 3pq(p – q) = (p – q)3 = {(7x + 3b) – (5x + 3b)}3      [মান বসিয়ে] = (7x + 3b – 5x – 3b)3 = (2x)3 = 8×3 (Ans.)   (খ)  (a + b + c)3 – (a – b – c)3 – 6(b + c) {a2 – (b + c)2} সমাধান: ধরি, a + b + c = x এবং a – b – c = y ∴ x – y= (a + b + c) – (a – b – c) = a + b + c – a + b + c = 2b + 2c = 2(b + c) ∴ প্রদত্ত রাশি = x3 – y3 – 3(x – y)xy = x3 – y3 – 3xy (x – y) = (x – y)3 = {2(b + c)}3 [মান বসিয়ে] = 8(b + c)3  (Ans.) (গ)   (m + n)6 – (m – n)6 – 12mn(m2 – n2)2 সমাধান: প্রদত্ত রাশি,       (m + n)6 – (m – n)6 – 12mn(m2 – n2)2 = (m + n)6 – (m – n)6 – 3.4mn(m2 – n2)2       ধরি, m + n = a এবং m – n = b এখানে, a + b = m + n + m – n = 2m এবং a – b = m + n – m + n = 2n ∴ (a + b)(a – b) = 4mn বা, (a2 – b2) = 4mn এবং ab = (m + n) (m – n) = (m2 – n2) ∴ a2b2 = (ab)2 = (m2 – n2)2 ∴ প্রদত্ত রাশি = a6 – b6 – 3a2b2(a2 – b2) = (a2)3 – (b2)3 – 3a2b2(a2 – b2) = (a2 – b2)3 = (4mn)3       [(a2 – b2) এর মান বসিয়ে] = 64m3n3 (Ans.) (ঘ))  (x + y) (x2 – xy + y2) + (y + z) (y2 – yz + z2) + (z + x) (z2 – zx + x2) সমাধান: প্রদত্ত রাশি  = (x + y) (x2 – xy + y2) + (y + z) (y2 – yz + z2) + (z + x) (z2 – zx + x2) = (x3 + y3) + (y3 + z3) + (z3 + x3) = x3 + y3 + y3 + z3 + z3 + x3 = 2×3 + 2y3 + 2z3 = 2(x3 + y3 + z3)  (Ans.) (ঙ)  (2x + 3y – 4z)3 + (2x – 3y + 4z)3 + 12x {4×2 – (3y – 4z)2} সমাধান: (2x + 3y – 4z)3 + (2x – 3y + 4z)3 + 12x {4×2 – (3y – 4z)2} = (2x + 3y – 4z)3 + (2x – 3y + 4z)3 + 3×4x×{4×2 – (3y – 4z)2}             ধরি, 2x + 3y – 4z = a এবং 2x – 3y + 4z = b এখানে, a + b = 2x + 3y – 4z + 2x – 3y + 4z = 4x ab= (2x + 3y – 4z)(2x – 3y + 4z) = {2x + (3y – 4z)}{2x – (3 – 4z)} = {(2x)2 – (3y – 4z)2} ∴ প্রদত্ত রাশি= a3 + b3 + 3(a + b)ab = a3 + b3 + 3ab(a + b) = (a + b)3 = {(2x + 3y – 4z) + (2x – 3y + 4z)}3 [মান বসিয়ে] = {2x + 3y – 4z + 2x – 3y + 4z)3 = (4x)3 = 64×3 (Ans.) প্রশ্ন : 3 ∴ a – b = 5 এবং ab = 36 হলে, a3 – b3 এর মান কত? সমাধান: দেওযা আছে, a – b = 5 এবং ab = 36             ∴ প্রদত্ত রাশি  = a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = (5)3 + 3.36.5     [মান বসিয়ে] = 125 + 540 = 665 (Ans.) প্রশ্ন : 4 ∴ যদি a3 – b3 = 513 এবং a – b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত? সমাধান: দেওযা আছে, a3 – b3 = 513 এবং a – b = 3             আমরা জানি, (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b) বা, 3ab(a – b) = (a3 – b3) – (a – b)3 বা, 3ab× 3 = 513 – (3)3      [মান বসিয়ে] বা, 9ab = 513 – 27 বা, 9ab = 486 বা, ab = ∴ ab = 54 (Ans.) প্রশ্ন : 5 ∴ x = 19 এবং y = – 12 হলে, 8×3 + 36x2y + 54xy2 +