You are currently viewing এসএসসি গণিত অনুশীলনী ৩.২ সমাধান

এসএসসি গণিত অনুশীলনী ৩.২ সমাধান

নবম-দশম বা এসএসসি গণিত বইয়ের ৩য় অধ্যায়ের অনুশীলনী ৩.২ এর সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

এসএসসি গণিত সমাধান অনুশীলনী ৩.২

প্রশ্ন : ১ ∴ সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর :

(খ) 2x2 + 3y2

সমাধান: 2x2 + 3y2 এর ঘন

= (2x2 + 3y2)3

= (2x2)3 + 3.(2x2)2 .3y2 + 3.2x2 .(3y2)2 + (3y2)3

= 8x6 + 3.4x4. 3y2 + 3.2x2.9y4 + 27y6

= 8x6 + 36x4y2 + 54x2y4 + 27y6 (Ans.)

 

(খ) 7m2 – 2n

সমাধান: 7m2 – 2n এর ঘন

= (7m2 – 2n)3

= (7m2)3 – 3.(7m2)2.2n + 3.7m2.(2n)2 – (2n)3

= 343m6 – 3.49m4.2n + 3.7m2 .4n2 – 8n3

= 343m6 – 294m4n + 84m2n2 – 8n3 (Ans.)

(গ) 2a – b – 3c

সমাধান: 2a – b – 3c এর ঘন

= (2a – b – 3c)3

= {(2a – b) – 3c}3

= (2a – b)3 – 3. (2a – b)2. 3c + 3.(2a – b).(3c)2 – (3c)3

=(2a)3-3.(2a)2.b+3.2a.(b)2-(b)3-3{(2a)2 t
– 2.2a.b + (b)2.3c + 3.(2a – b). 9c2 – 27c3

=8a3-12a2b+6ab2-b3-3(4a2-4ab+b2).3c + 54ac2 – 27bc2 – 27c3

=8a3-12a2b+6ab2-b3-36a2c+36abc-9b2c + 54ac2 – 27bc2 – 27c3

=8a3-b3-27c3-12a2b-36a2c+6ab2+54ac2 – 9b2c – 27bc2 + 36abc (Ans.)

প্রশ্ন : 2 ∴ সরল কর :

(ক)  (7x + 3b)3 – (5x + 3b)3 – 6x(7x + 3b)(5x + 3b)

সমাধান: (7x + 3b)3 – (5x + 3b)3 – 6x(7x + 3b)(5x + 3b)

= (7x + 3b)3 – (5x + 3b)3 – 3.2x.(7x + 3b) (5x + 3b)

            ধরি, 7x + 3b = p এবং 5x + 3b = q

এখানে, p – q = 7x + 3b – 5x – 3b = 2x

∴ প্রদত্ত রাশি = p3 – q3 – 3.p – q)pq

= p3 – q3 – 3pq(p – q)

= (p – q)3

= {(7x + 3b) – (5x + 3b)}3      [মান বসিয়ে]

= (7x + 3b – 5x – 3b)3

= (2x)3 = 8x3 (Ans.)

 

(খ)  (a + b + c)3 – (a – b – c)3 – 6(b + c) {a2 – (b + c)2}

সমাধান: ধরি, a + b + c = x এবং a – b – c = y

∴ x – y= (a + b + c) – (a – b – c)

= a + b + c – a + b + c

= 2b + 2c = 2(b + c)

∴ প্রদত্ত রাশি = x3 – y3 – 3(x – y)xy

= x3 – y3 – 3xy (x – y)

= (x – y)3

= {2(b + c)}3 [মান বসিয়ে]

= 8(b + c)3  (Ans.)

(গ)   (m + n)6 – (m – n)6 – 12mn(m2 – n2)2

সমাধান: প্রদত্ত রাশি,

      (m + n)6 – (m – n)6 – 12mn(m2 – n2)2

= (m + n)6 – (m – n)6 – 3.4mn(m2 – n2)2

      ধরি, m + n = a এবং m – n = b

এখানে, a + b = m + n + m – n = 2m

এবং a – b = m + n – m + n = 2n

∴ (a + b)(a – b) = 4mn

বা, (a2 – b2) = 4mn

এবং ab = (m + n) (m – n)

= (m2 – n2)

∴ a2b2 = (ab)2 = (m2 – n2)2

∴ প্রদত্ত রাশি = a6 – b6 – 3a2b2(a2 – b2)

= (a2)3 – (b2)3 – 3a2b2(a2 – b2)

= (a2 – b2)3

= (4mn)3       [(a2 – b2) এর মান বসিয়ে]

= 64m3n3 (Ans.)

(ঘ))  (x + y) (x2 – xy + y2) + (y + z) (y2 – yz + z2) + (z + x) (z2 – zx + x2)

সমাধান: প্রদত্ত রাশি  = (x + y) (x2 – xy + y2) + (y + z) (y2 – yz
+ z2) + (z + x) (z2 – zx + x2)

= (x3 + y3) + (y3 + z3) + (z3 + x3)

= x3 + y3 + y3 + z3 + z3 + x3

= 2x3 + 2y3 + 2z3

= 2(x3 + y3 + z3)  (Ans.)

(ঙ)  (2x + 3y – 4z)3 + (2x – 3y + 4z)3 + 12x {4x2 – (3y – 4z)2}

সমাধান: (2x + 3y – 4z)3 + (2x – 3y + 4z)3 + 12x {4x2 – (3y – 4z)2}

= (2x + 3y – 4z)3 + (2x – 3y + 4z)3 + 3×4x×{4x2 – (3y – 4z)2}

            ধরি, 2x + 3y – 4z = a এবং 2x – 3y + 4z = b

এখানে, a + b = 2x + 3y – 4z + 2x – 3y + 4z = 4x

ab= (2x + 3y – 4z)(2x – 3y + 4z)

= {2x + (3y – 4z)}{2x – (3 – 4z)}

= {(2x)2 – (3y – 4z)2}

∴ প্রদত্ত রাশি= a3 + b3 + 3(a + b)ab

= a3 + b3 + 3ab(a + b)

= (a + b)3

= {(2x + 3y – 4z) + (2x – 3y + 4z)}3

[মান বসিয়ে]

= {2x + 3y – 4z + 2x – 3y + 4z)3

= (4x)3 = 64x3 (Ans.)

প্রশ্ন : 3 ∴ a – b = 5 এবং ab = 36 হলে, a3 – b3 এর মান কত?

সমাধান: দেওযা আছে, a – b = 5 এবং ab = 36

            ∴ প্রদত্ত রাশি  = a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

= (5)3 + 3.36.5     [মান বসিয়ে]

= 125 + 540 = 665 (Ans.)

প্রশ্ন : 4 ∴ যদি a3 – b3 = 513 এবং a – b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান: দেওযা আছে, a3 – b3 = 513 এবং a – b = 3

            আমরা জানি, (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b)

বা, 3ab(a – b) = (a3 – b3) – (a – b)3

বা, 3ab× 3 = 513 – (3)3      [মান বসিয়ে]

বা, 9ab = 513 – 27

বা, 9ab = 486

বা, ab = ∴ ab = 54 (Ans.)

প্রশ্ন : 5 ∴ x = 19 এবং y = – 12 হলে, 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 এর মান নির্ণয় কর|

সমাধান: দেওযা আছে, x = 19 এবং y = – 12

∴ প্রদত্ত রাশি = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

= (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3

= (2x + 3y)3

= {2 × 19 + 3 × (-12)}3 [x ও y-এর মান বসিয়ে]

= (38 – 36)3 = (2)3 = 8 (Ans.)

প্রশ্ন : 6 ∴ যদি a = 15 হয়, তবে 8a3 + 60a2 + 150a + 130 এর মান কত?

সমাধান:  দেওযা আছে, a = 15

∴ প্রদত্ত রাশি= 8a3 + 60a2 + 150a + 130

= (2a)3 + 3.(2a)2.5 + 3.2a.(5)2 + (5)3 + 5

= (2a + 5)3 + 5

= (2 × 15 + 5)3 + 5

= (30 + 5)3 + 5 = 42875 + 5 = 42880 (Ans.)

প্রশ্ন : 7 ∴ যদি a + b = m, a2 + b2 = n এবং a3 + b3 = p3 হয়, তবে দেখাও যে, m3 + 2p3 = 3mn

সমাধান: দেওযা আছে, a + b = m, a2 + b2 = n এবং a3 + b3 = p3

বামপক্ষ = m3 + 2p3

= (a + b)3 + 2(a3 + b3)      [মান বসিয়ে]

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 2a3 + 2b3

= 3a3 + 3a2b + 3ab2 + 3b3

= 3(a3 + a2b + ab2 + b3)

= 3{a2(a + b) + b2(a + b)}

= 3(a + b)(a2 + b2)

= 3mn [মান বসিয়ে] = ডানপক্ষ

∴ m3 + 2p3 = 3mn (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 8 ∴ a + b = 3 এবং ab = 2 হলে, (ক) a2 – ab + b2 এবং (খ) a3 + b3 এর মান নির্ণয় কর|

সমাধান:  (ক) দেওযা আছে, a + b = 3 এবং ab = 2

∴ প্রদত্ত রাশি = a2 – ab + b2

= a2 + b2 – ab

= (a + b)2 – 2ab – ab

= (a + b)2 – 3ab

= (a – b)2 + 3ab

= (3)2 – 3 × 2 [মান বসিয়ে]

= 9 – 6 = 3 (Ans.)

            (খ) দেওযা আছে, a + b = 3 এবং ab = 2

∴ প্রদত্ত রাশি = a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

= (3)3 – 3.2.3     [মান বসিয়ে]

= 27 – 18 = 9 (Ans.)

প্রশ্ন : 9 ∴  a – b = 5 এবং ab = 36 হলে, (ক) a2 + ab + b2 এবং (খ) a3 – b3 এর মান নির্ণয় কর|

 সমাধান: (ক) দেওযা আছে, a – b = 5 এবং ab = 36

∴ প্রদত্ত রাশি = a2 + ab + b2 = a2 + b2 + ab

= (a – b)2 + 2ab + ab

= (a – b)2 + 3ab

= (5)2 + 3.36     [মান বসিয়ে]

= 25 + 108 = 133 (Ans.)

            (খ) দেওযা আছে, a – b = 5 এবং ab = 36

∴ প্রদত্ত রাশি= a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

= (5)3 + 3.36.5     [মান বসিয়ে]

= 125 + 540 = 665 (Ans.)

প্রশ্ন : 10 ∴ m + 1/m = a হলে, m3 +1/m3  এর মান নির্ণয় কর|

সমাধান:  দেওযা আছে,  m + 1/m= a

∴ প্রদত্ত রাশি= m3 +1/m3

= {\left( {m + \frac{1}{m}} \right)^3} - {\rm{ 3}}.{\rm{m}}{\rm{.}}\frac{1}{m}{\rm{ }}\left( {m + \frac{1}{m}} \right)

= (a)3 – 3.1.a     [মান বসিয়ে]

= a3 – 3a (Ans.)

প্রশ্ন : 11  x – 1/x= p হলে, x3 – 1/x3 এর মান নির্ণয় কর|

সমাধান: দেওযা আছে, x – 1/x= p

∴ প্রদত্ত রাশি= {{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{1}{{{x^3}}}{\rm{ = (x}}{{\rm{)}}^{\rm{3}}}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}

{\rm{ = }}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}{\rm{ + 3}}.{\rm{x}}.\frac{1}{x}\left( {x - \frac{1}{x}} \right)

= (p)3 + 3.1.p     [মান বসিয়ে]

= p3 + 3p (Ans.)

প্রশ্ন : 12 ∴ যদি {\rm{a }} - {\rm{ }}\frac{1}{a}{\rm{ = 1}}  হয়, তবে দেখাও যে, {{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{1}{{{a^3}}}{\rm{ = 4}}

সমাধান: দেওযা আছে, {\rm{a }} - {\rm{ }}\frac{1}{a}{\rm{ = 1}}

বামপক্ষ   {\rm{ = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{1}{{{a^3}}}{\rm{ = (a}}{{\rm{)}}^{\rm{3}}}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^3}

{\rm{ = }}{\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^3}{\rm{ + 3}}.{\rm{a}}.\frac{1}{a}{\rm{ }}\left( {a - \frac{1}{a}} \right)

= (1)3 + 3.1.1     [মান বসিয়ে]

= 1 + 3 = 4 = ডানপক্ষ

∴ a3 – = 4 (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 13 ∴ যদি a + b + c = 0 হয়, তবে দেখাও যে,

(ক) a3 + b3 + c3 = 3abc

সমাধান: দেওযা আছে, a + b + c = 0

বা, a + b = – c

বা, (a + b)3 = (- c)3     [উভয় পক্ষকে ঘন করে]

বা, a3 + b3 + 3ab(a + b) = – c3

বা, a3 + b3 + 3ab(-c) = – c3

[†h‡nZz a + b + c = 0 ∴ a + b = – c]

বা, a3 + b3 – 3abc = – c3

∴ a3 + b3 + c3 = 3abc (দেখানো হলো)

(খ) \frac{{{{({\bf{b}} + {\bf{c}})}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{3bc}}}} + \frac{{{{({\bf{c}} + {\bf{a}})}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{3ca}}}} + \frac{{{{({\bf{a}} + {\bf{b}})}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{3ab}}}} = {\bf{1}}

সমাধান: দেওযা আছে, a + b + c = 0

বা, b + c = – a

∴ (b + c)2 = ( – a)2 = a2

Avevi, c + a = – b

∴ (c + a)2 = (-b)2 = b2

এবং a + b = – c

∴ (a + b)2 = (- c)2 = c2

বামপক্ষ {\rm{ = }}\frac{{{a^2}}}{{3bc}} + \frac{{{b^2}}}{{3ca}} + \frac{{{c^2}}}{{3ab}}

{\rm{ = }}\frac{{{a^2}.a + {b^2}.b + {c^2}.c}}{{3abc}}

{\rm{ = }}\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{3abc}}

{\rm{ = }}\frac{{{{(a + b)}^3} - 3ab(a + b) + {c^3}}}{{3abc}}

{\rm{ = }}\frac{{{{( - c)}^3} - 3ab( - c) + {c^3}}}{{3abc}}

{\rm{ = }}\frac{{ - {c^3} + 3abc + {c^3}}}{{3abc}}{\rm{ = }}\frac{{3abc}}{{3abc}}

= 1 = ডানপক্ষ

∴ \frac{{{{({\bf{b}} + {\bf{c}})}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{3bc}}}} + \frac{{{{({\bf{c}} + {\bf{a}})}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{3ca}}}} + \frac{{{{({\bf{a}} + {\bf{b}})}^{\bf{2}}}}}{{{\bf{3ab}}}} = {\bf{1}} (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 14 ∴ p – q = r হলে, দেখাও যে, p3 – q3 – r3 = 3pqr

সমাধান: দেওযা আছে, p – q = r

বামপক্ষ   = p3 – q3 – r3

= (p – q)3 + 3pq(p – q) – r3

= (r)3 + 3pq.(r) – r3

= r3 + 3pqr – r3     [মান বসিয়ে]

= 3pqr = ডানপক্ষ

∴ p3 – q3 – r3 = 3pqr (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 15:   {\rm{2x }} - {\rm{ }}\frac{2}{x}{\rm{ = 3 }} হলে, দেখাও যে, {\rm{8}}\left( {{{\bf{x}}^{\bf{3}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right){\rm{ = 63}}

সমাধান: দেওযা আছে, {\rm{2x }} - {\rm{ }}\frac{2}{x}{\rm{ = 3 }}

            বামপক্ষ ={\rm{8}}\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right){\rm{ = 8}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{8}{{{x^3}}}

{\rm{ = (2x}}{{\rm{)}}^{\rm{3}}}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\left( {\frac{2}{x}} \right)^3}

{\rm{ = }}{\left( {2x - \frac{2}{x}} \right)^3}{\rm{ + 3}}.{\rm{2x}}.\frac{2}{x}{\rm{ }}\left( {2x - \frac{2}{x}} \right)

= (3)3 + 12.3     [মান বসিয়ে]

= 27 + 36 = 63 = ডানপক্ষ

∴ 8= 63 (দেখানো হলো)

প্রশ্ন : 16:  a = \sqrt {\bf{6}} + \sqrt {\bf{5}} হলে, \frac{{{{\bf{a}}^{\bf{6}}} - 1}}{{{a^3}}}   এর মান নির্ণয় কর|

সমাধান: দেওযা আছে, a =\sqrt {\bf{6}} + \sqrt {\bf{5}}

∴ \frac{1}{a}{\rm{ = }}\frac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 5 }}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{{(\sqrt 6 + \sqrt 5 )(\sqrt 6 - \sqrt 5 )}} [লব ও হরকে \sqrt {\bf{6}} - \sqrt {\bf{5}}   দ্বারা গুণ করে ]

{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{{{{(\sqrt 6 )}^2} - {{(\sqrt 5 )}^2}}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{{6 - 5}}

{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 5 }}{1}{\rm{ = }}\sqrt 6 {\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5

{\rm{a }} - {\rm{ }}\frac{1}{a}{\rm{ = }}\sqrt 6 + \sqrt 5 - \sqrt 6 + \sqrt 5 {\rm{ = 2}}\sqrt 5

প্রদত্ত রাশি  = \frac{{{a^6} - 1}}{{{a^3}}}{\rm{ = }}\frac{{{a^6}}}{{{a^3}}} - {\rm{ }}\frac{1}{{{a^3}}}{\rm{ = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{1}{{{a^3}}}

{\rm{ = }}{\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^3} + 3.a.\frac{1}{a}\left( {a - \frac{1}{a}} \right)

{\rm{ = (2}}\sqrt 5 )3 + 3.1.2\sqrt 5 {\rm{ }}   [মান বসিয়ে]

{\rm{ = 8}}.{\rm{5}}\sqrt 5 {\rm{ + 6}}\sqrt 5

= {\rm{ }}40\sqrt 5 \; + {\rm{ }}6\sqrt 5 = {\rm{ }}46\sqrt 5 \left( {{\bf{Ans}}.} \right)

 

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত সকল অধ্যায়

 

Leave a Reply