এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১২.৩ প্রশ্ন সমাধান

নবম দশম শ্রেণির বা এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১২.৩ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

নবম-দশম গণিত অনুশীলনী ১২.৩ প্রশ্ন সমাধান

বি.দ্র: কিছু ফন্ট ঠিক দেখতে Google Chrome Browser ব্যবহার করুন।

লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর :
প্রশ্ন \ 1 \ 3x + 4y = 14

4x – 3y = 2

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

3x + 4y = 14…………………. (i)

4x – 3y = 2 …………………. (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই,
4y = 14 – 3x
বা, y = $\frac{{14 - 3x}}{4}$

সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	– 2	0	2
y	5		2

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (-2, 5), $\left( {0,\frac{7}{2}} \right)$ , (2, 2)
আবার সমীকরণ (ii) থেকে পাই,
– 3y = 2 – 4x
বা, 3y = 4x – 2
∴ y = $\frac{{4x - 2}}{3}$

x	-1	0	5
y	-2		6

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (-1, – 2), $\left( {0,\frac{{ - 2}}{3}} \right){\rm{ }}$ , (5, 6)|
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
এখন (i)নং সমীকরণের (-2, 5), $\left( {0,\frac{7}{2}} \right)$ , (2, 2) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। আবার, (ii) নং সমীকরণের (-1, – 2), $\left( {0,\frac{{ - 2}}{3}} \right){\rm{ }}$ , (5, 6) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। সরলরেখাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

লেখ থেকে দেখা যায় A বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(2, 2) যা উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
∴ সমাধান : (x, y) = (2, 2)

প্রশ্ন \ 2 \ 2x – y = 1

5x + y = 13

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

2x – y = 1 …………….. (i)

5x + y = 13 …………… (ii)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, – y = 1 – 2x
বা, y = 2x – 1
সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	0	2	4
y	-1	3	7

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, -1), (2, 3), (4, 7)
আবার, (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই, y = 13 – 5x
সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	0	2	3
y	13	3	-2

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, 13), (2, 3), (3, -2)|
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন, (i) নং সমীকরণের (0, -1), (2, 3), (4, 7) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। ফলে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এটি 2x – y = 3 সমীকরণের লেখ।
আবার, (ii) নং সমীকরণের (0, 13), (2, 3), (3, -2)| বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি। ফলে একটি সরলরেখা পাওয়া গেছে এটি 5x + y = 13 সমীকরণের লেখ। সরলরেখাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

লেখ থেকে দেখা যায় A বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(2, 3) যা উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
∴ সমাধান: (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন \ 3 \ 2x + 5y = 1

x + 3y = 2

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

2x + 5y = 1 ………………. (i)

x + 3y = 2 ………………… (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই,
5y = 1 – 2x
∴ y = $\frac{{1 - 2x}}{5}$

x	– 2	0	3
y	1		-1

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (- 2, 1), $\left( {0,\frac{1}{5}} \right)$ , (3, -1)|
আবার, সমীকরণ (ii) থেকে পাই,
3y = 2 – x
∴ y = $\frac{{2 - x}}{3}$

x	-1	2	5
y	1	0	-1

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (-1, 1), (2, 0), (5, -1)|
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
এখন (i) নং সমীকরণের (- 2, 1), $\left( {0,\frac{1}{5}} \right)$ , (3, -1)| বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। ফলে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এটিই 2x + 5y = 1 সমীকরণের লেখ।
আবার, (ii) নং সমীকরণের (-1, 1), (2, 0), (5, -1)| বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি প্রাপ্ত সরলরেখা দুটি পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

লেখ থেকে দেখা যায়, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(-7, 3) যা উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
∴ সমাধান : (x, y) = (-7, 3)

প্রশ্ন \ 4 \ 3x – 2y = 2

5x – 3y = 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

3x – 2y = 2……………… (i)

5x – 3y = 5……………… (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই,
– 2y = 2 – 3x
বা, 2y = 3x – 2
∴ y = $\frac{{3x - 2}}{2}$

x	– 2	0	4
y	– 4	-1	5

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (-2,-4), (0, -1), (4, 5)
আবার, সমীকরণ (ii) থেকে পাই,
– 3y = 5 – 5x
বা, 3y = 5x – 5
∴ y = $\frac{{5x - 5}}{3}$

x	– 2	1	4
y	– 5	0	5

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (- 2, – 5),(1, 0), (4, 5)
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
এখন সমীকরণ (i) এর (- 2, – 4), (0, -1) ও (4, 5) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। ফলে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এই সরলরেখা 3x – 2y = 2 সমীকরণের লেখ। আবার সমীকরণ (ii) এর (-2, – 5), (1, 0) ও (4, 5) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয়দিকে বর্ধিত করি। ফলে আর একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এই সরলরেখা 5x – 3y = 5 সমীকরণের লেখ। প্রাপ্ত সরলরেখা দুটি A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দুর স্থানাঙ্ক উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

লেখ থেকে দেখা যায় A বিন্দুর ভুজ ও কোটি যথাক্রমে 4 ও 5.
∴ সমাধান (x, y) = (4, 5)

প্রশ্ন \ 5 \ $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{2}}} + \frac{{\bf{y}}}{{\bf{3}}}{\rm{ = 2}}$

2x + 3y = 13
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,
$\frac{{\bf{x}}}{{\bf{2}}} + \frac{{\bf{y}}}{{\bf{3}}}{\rm{ = 2}}$ …………….. (i)
2x + 3y = 13 …………..(ii)
সমীকরণ (i) থেকে পাই,

$\frac{y}{3}{\rm{ = 2 }} - {\rm{ }}\frac{x}{2}$

বা, $\frac{y}{3}{\rm{ = }}\frac{{4 - x}}{2}$

বা, 2y = 12 – 3x
বা, y = $\frac{{12 - 3x}}{2}$

x	0	2	4
y	6	3	0

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, 6) (2, 3), (4, 0)|
আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,
বা, 3y = 13 – 2x
বা, y = $\frac{{13 - 2x}}{3}$

x	– 1	2	5
y	5	3	1

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু ( -1, 5) (2, 3) (5, 1)
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
এখন সমীকরণ (1) এর (0, 6), (2, 3) ও (4, 0) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। ফলে একটি সরলখো পাওয়া গেল। এ টি $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{2}}} + \frac{{\bf{y}}}{{\bf{3}}}{\rm{ = 2}}$ সমীকরণের লেখ। আবার, সমীকরণ (2) এর (-1, 5), (2, 3) ও (5, 1) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয়দিকে বর্ধিত করি। ফলে আরও একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এটি 2x + 3y = 13 সমীকরণের লেখ। সমীকরণ দুইটি পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

লেখ থেকে দেখা যায় A বিন্দুর ভুজ 2 কোটি 3।
∴ সমাধান (x, y) = (2, 3)

প্রশ্ন \ 6 \ 3x + y = 6

5x + 3y = 12

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়
3x + y = 6 …………….. (i)
5x + 3y = 12 ………….(ii)
সমীকরণ (1) থেকে পাই,
y = 6 – 3x
সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	0	1	4
y	6	3	– 6

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, 6), (1, 3), (4, – 6)।
আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

3y =12 – 5x

y= $\frac{{12 - 5x}}{3}$

x	0	3	6
y	4	– 1	– 6

সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, 4), (3, -1), (6, – 6)।
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
এখন ছক কাগজে সমীকরণ (1) এর (0, 6), (1, 3) ও (4, – 6) বিন্দুগুলো স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। ফলে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এটি 3x + y = 6 সমীকরণের লেখ। আবার, সমীকরণ (2) এর (0, 4), (3, -1) ও (6, – 6) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয় দিকে বর্ধিত করি। ফলে আরও একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এটি 5x + 3y = 12 সমীকরণের লেখ। সরলরেখা দুইটি পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

লেখ থেকে দেখা যায় A বিন্দুর ভুজ 32 বা, 1.5 ও কোটি 32 বা, 1.5
∴ সমাধান (x, y) = $\left( {\frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)$ বা, (1·5, 1·5)

প্রশ্ন \ 7 \ 3x + 2y = 4
3x – 4y = 1
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,
3x + 2y = 4 …………… (i)
3x – 4y = 1 …………… (ii)
সমীকরণ (i) থেকে পাই,
2y = 4 – 3x
∴ y = $\frac{{4 - 3x}}{2}$

x	– 2	0	2
y	5	2	– 1

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (- 2, 5), (0, 2), (2, -1)।
আবার, সমীকরণ (ii) থেকে পাই,
– 4y = 1 – 3x
বা, 4y = 3x -1
∴ y = $\frac{{3x - 1}}{4}$

x	-1	1	3
y	-1		2

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (-1, -1), $\left( {1,\frac{1}{2}} \right)$ , (3, 2)।
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
এখন, সমীকরণ (1) এর (-2, 5), (0, 2) ও (2, – 1) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয়দিকে বর্ধিত করি। ফলে, একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এটি 3x + 2y = 4 সমীকরণের লেখ।
আবার, সমীকরণ (2) এর (-1, -1), $\left( {1,\frac{1}{2}} \right)$ ও (3, 2) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয়দিকে বর্ধিত করি। ফলে আর একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এটি 3x – 4y = 1 সমীকরণের লেখ। সরলরেখা দুইটি পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

লেখ থেকে দেখা যায় A বিন্দুর ভুজ 1 ও কোটি 1/2।
∴ সমাধান (x, y) = $\left( {1,\frac{1}{2}} \right)$

প্রশ্ন \ 8 \ $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{3}}}{\rm{ = 3}}$

${\rm{x + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{6}}}{\rm{ = 3}}$

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,
$\frac{{\bf{x}}}{{\bf{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{3}}}{\rm{ = 3}}$ …………….. (i)
${\rm{x + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{6}}}{\rm{ = 3}}$ …………….. (ii)
সমীকরণ (i) থেকে পাই,

$\frac{y}{3} = 3 - \frac{x}{2}$

বা, $\frac{y}{3}{\rm{ = }}\frac{{6 - x}}{2}$

বা, 2y = 18 – 3x
∴ y = $\frac{{18 - 3x}}{2}$

x	0	2	6
y	9	6	0

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, 9) (2, 6), (6, 0)
আবার, সমীকরণ (ii) থেকে পাই, $\frac{y}{6}{\rm{ = 3 }} - {\rm{ x }}$

∴ y = 18 – 6x
সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	2	3	4
y	6	0	-6

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (2, 6) (3, 0), (4, – 6)।
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন সমীকরণ (1) এর (0, 9), (2, 6) ও (6, 0) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয়দিকে বর্ধিত করি। ফলে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এটি $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{2}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{3}}}{\rm{ = 3}}$ সমীকরণের লেখ। আবার সমীকরণ (2) এর (2, 6), (3, 0) ও (4, – 6) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে যোগ করি এবং উভয়দিকে বর্ধিত করি। ফলে আরও একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। এটি ${\rm{x + }}\frac{{\bf{y}}}{{\bf{6}}}{\rm{ = 3}}$ সমীকরণের লেখ। সমীকরণ দুইটি পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

লেখ থেকে দেখা যায় A বিন্দুর ভুজ 2 কোটি 6।
∴ সমাধান (x, y) = (2, 6)

প্রশ্ন \ 9 \ 3x + 2 = x – 2
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ 3x + 2 = x – 2
ধরি, y = 3x + 2 …………. (i)
এবং y =y = x – 2 …………… (ii)
(1)নং সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	– 2	0	1
y	– 4	2	5

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু ( – 2, – 4), (0, 2), (1, 5)।
আবার (2) নং সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	– 2	1	3
y	– 4	-1	1

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (- 2, – 4), (1, -1), (3, 1)।
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও ু- অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
এখন, সমীকরণ (1) এর লেখের (-2, – 4), (0, 2) ও (1, 5) এর প্রতিরূপী বিন্দুগুলো লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। সরলরেখাটিকে উভয় দিকে বর্ধিত করি। অতএব, এটিই y = 3x + 2 সমীকরণটির লেখ।
আবার, সমীকরণ (2) এর লেখের (- 2, – 4), (1, -1) ও (3, 1) এর প্রতিরূপী বিন্দুগুলো লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। সরলরেখাটি উভয় দিকে বর্ধিত করি। অতএব, এটিই y = x – 2 সমীকরণটি লেখ।
ধরি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ, অ বিন্দু উভয় রেখার সাধারণ বিন্দু। অ এর স্থানাঙ্ক উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ = -2.
∴ সমাধান : x = -2

প্রশ্ন \ 10 \ 3x – 7 = 3 – 2x
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ, 3x – 7 = 3 – 2x
ধরি, y = 3x – 7 ……………….. (i)
এবং y = 3 – 2x ………………… (ii)
সমীকরণ(i)-এ x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	0	3	5
y	– 7	2	8

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, -7), (3, 2), (5, 8)
আবার, (2)নং সমীকরণটিতে x এর সুবিধামতো কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিচের ছকটি তৈরি করি :

x	0	2	4
y	3	-1	-5

∴ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, 3), (2, -1), (4, – 5)।
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y অক্ষ এবং o মূলবিন্দু। উভয় অক্ষে ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
সমীকরণ (1) লেখের (0, -7), (3, 2) ও (5, 8) এর প্রতিরূপী বিন্দুগুলো লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। সরলরেখাটিকে উত্তর দিকে বর্ধিত করি। অতএব, এটিই y = 3x – 7 সমীকরণটির লেখ।
সমীকরণ (2) লেখের (0, 3), (2, – 1) ও (4, -5) এর প্রতিরূপী বিন্দুগুলো লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল। সরলরেখাটিকে উভয় দিকে বর্ধিত করি। এটিই y = 3 – 2x সমীকরণটির লেখ।
ধরি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ অ বিন্দু উভয় রেখার সাধারণ বিন্দু। অ এর স্থানাঙ্ক উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।