নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান

১. 13+20+27+34+….+111 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

ক) 10 খ) 13 গ) 15 ঘ) 20

উত্তরঃ গ

২. 5+8+11+14+…+62 ধারাটি

(i) একটি সসীম ধারা

(ii) একটি গুণোত্তর ধারা

(iii) এর 19 তম পদ 59

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ খ

নিচের তথ্যের আলোকে ৩-৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

7+13+19+25+…….. একটি ধারা।

৩. ধারাটির 15 তম পদ কোনটি?

ক) 85 খ) 91 গ) 97 ঘ) 104

উত্তরঃ খ

৪. ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত?

ক) 141 খ) 1210 গ) 1280 ঘ) 2560

উত্তরঃ গ

প্রশ্ন \ 5 \ 2 – 5 – 12 – 19 – ………. ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12তম পদ নির্ণয় কর|

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 2 – 5 – 12 – 19 -…..

এটি একটি সমান্তর ধারা, hযার প্রথম পদ, a = 2

∴সাধারণ অন্তর, d = – 5 – 2 = – 7

∴ 12 তম পদ = a + (12 – 1) d = 2 + 11 × ( -7)

= 2 – 77 = – 75

নির্ণেয় ধারাটির সাধারণ অন্তর – 7 এর 12 তম পদ -75.

প্রশ্ন \ 6 \ 8 + 11 + 14 + 17 + …….. ধারাটির কোন পদ 392 ?

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 8 + 11 + 14 + 17 +……..

এটি একটি সমান্তর ধারা, hযার প্রথম পদ, a = 8

সাধারণ অন্তর, d = 11 – 8 = 3

মনে করি, n তম পদ = 392

n তম পদ = a + (n – 1)d

∴ a + (n -1) d = 392

বা, 8 + (n – 1) × 3 = 392

বা, (n – 1) × 3 = 392 – 8

বা, n – 1 = 384/3

বা, n = 128 + 1

∴ n = 129

∴ ধারাটির 129তম পদ 392.

প্রশ্ন \ 7 \ 4 + 7 + 10 + 13 + ……….. ধারাটির কোন পদ 301 ?

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 4 + 7 + 10 + 13 + ………..

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 4

সাধারণ অন্তর, d = 7 – 4 = 3

মনে করি, nতম পদ = 301

n তম পদ = a + (n -1)d

∴ a + (n – 1)d = 301

বা, 4 + (n -1) × 3 = 301

বা, (n -1) × 3 = 301 – 4

বা, n -1 =297/3

বা, n = 99 + 1

∴ n = 100

∴ ধারাটির 100তম পদ 301.

প্রশ্ন \ 8 \ কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, (m + n) তম পদ কত?

সমাধান : মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর = d

∴ ধারাটির mতম পদ = a + (m – 1) d

” n তম পদ = a + (n – 1) d

শর্তানুসারে a + (m -1) d = n ………………… (i)

এবং a + (n -1) d = m ……………….. (ii)

সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

(m – 1 – n + 1) d = n – m

বা, (m – n) d = – (m – n)

বা, d = $\frac{{ - (m - n)}}{{(m - n)}}$

∴ d = – 1

∴ ধারাটির (m + n)তম পদ = a + (m + n -1) d

= a + {(m – 1) + n} d

= a + (m – 1)d + nd

= n + n(- 1) [∵ a + (m – 1) d = n এবং d = – 1]

= n – n = 0

নির্ণেয় (m + n) তম পদ 0.

প্রশ্ন \ 9 \ 1 + 3 + 5 + 7 + … … … ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 1 + 3 + 5 + 7 + … … …

এটি একটি সমান্তর ধারা, hযার প্রথম পদ, a = 1

সাধারণ অন্তর, d = 3 – 1= 2

এবং পদ সংখ্যা = n

∴ প্রদত্ত ধারার সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n – 1) d}

= n/2{2 × 1 + (n – 1).2} [মান বসিয়ে]

= n/2 (2+2n-2)

= n/2× 2n

= n²

নির্ণেয় ধারাটির n পদের যোগফল n².

প্রশ্ন \ 10 \ 8 + 16 + 24 + …………. ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 8 + 16 + 24 + ………….

এটি একটি সমান্তর ধারা hযার প্রথম পদ a = 8

এবং সাধারণ অন্তর d = 16 – 8 = 8

∴ধারাটির 9টি পদের সমষ্টি, S₉ = 9/2{2a + (9 – 1) d}

= 9/2(2a + 8d)

= 9/2(2 × 8 + 8 × 8)

= 9/2(16 + 64)

= 9/2× 80

= 9 × 40

= 360

∴ ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি 360.

প্রশ্ন \ 11 \ 5 + 11 + 17 + 23 + …………… + 59 = কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 5 + 11+ 17 + 23 + …… + 59

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 5

সাধারণ অন্তর, d = 11– 5 = 17 – 11 = 6

শেষ পদ, p = 59

ধরি, ধারাটির পদ সংখ্যা = n

∴ n তম পদ = a + (n – 1)d

কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = 59

অর্থাৎ, 5 + (n – 1) 6 = 59

বা, 5 + 6n – 6 = 59

বা, 6n – 1 = 59

বা, 6n = 59 + 1

বা, n = 60/6= 10

∴ সমষ্টি, S = n/2{2a + (n – 1)d}

= 10/2{2 × 5 + (10 – 1).6} [এর মান বসিয়ে]

= 5 (10 + 9 × 6)

= 5 (10 + 54)

= 5 × 64

= 320

নির্ণেয় সমষ্টি 320.

প্রশ্ন \ 12\ 29 + 25 + 21 + … … … – 23 = কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 29 + 25 + 21 + … … … – 23

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার ১ম পদ, a = 29

সাধারণ অন্তর, d = 25 – 29 = – 4

শেষ পদ, p = – 23

ধরি, ধারাটির পদ সংখ্যা = n

\ n তম পদ = a + (n – 1)d

কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = – 23

অর্থাৎ, a + (n – 1)d = – 23

বা, 29 + (n – 1) (– 4) = – 23

বা, 29 – 4n + 4 = – 23

বা, 4n = 33 + 23

বা, n = 56/4

∴n = 14

∴ সমষ্টি, S = n/2{2a + (n – 1)d}

=14/2{2 × 29 + (14 – 1) (– 4)} [মান বসিয়ে]

= 7{58 + 13 ( – 4)}

= 7 (58 – 52) = 7 × 6 = 42

নির্ণেয় সমষ্টি 42.

প্রশ্ন \ 13 \ কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর = d

∴ 12 তম পদ = a + (12 – 1) d

= a + 11d

প্রশ্নমতে, a + 11d = 77 … … … … … (i)

মনে করি, প্রথম 23 পদের সমষ্টি = S

∴ S =23/2{2a + (23 – 1) d} [∵ n = 23]

${\rm{ = }}\frac{{{\bf{23}}}}{{\bf{2}}}({\bf{2a}} + {\bf{22d}}){\rm{ = }}\frac{{23}}{2} \times {\rm{ 2 (a + 11d)}}$

= 23 (a + 11d) = 23 × 77 = 1771

নির্ণেয় সমষ্টি 1771.

প্রশ্ন \ 14 \ একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ – 20 হলে, এর প্রথম 31টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর = d

∴ ধারাটির 16 তম পদ, a + (16 -1)d = – 20

বা, a + 15d = – 20

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n-সংখ্যাক পদের সমষ্টি,

S_n= $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (n -1)d}

হলে, ধারাটির প্রথম 31টি পদের সমষ্টি

S₃₁= $\frac{{{\bf{31}}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (31 -1)d}

= $\frac{{{\bf{31}}}}{{\bf{2}}}$ (2a + 30d) = $\frac{{{\bf{31}}}}{{\bf{2}}}$ × 2(a + 15d)

= $\frac{{{\bf{31}}}}{{\bf{2}}}$ × 2 × (-20) [∵ a + 15d = -20]

= 31 × (-20) = – 620

নির্ণেয় সমষ্টি – 620.

প্রশ্ন \ 15 \ 9 + 7 + 5 + … … ধারাটির প্রথম n সংখ্যাক পদের যোগফল – 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর|

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি হলো, 9 + 7 + 5 + ………….

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n পদের সমষ্টি, S = $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (n – 1) d}

এখানে, প্রথম পদ, a = 9

সাধারণ অন্তর d = 7 – 9 = – 2

∴ S = $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (n – 1) d} = – 144

বা, $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {(2 × 9) + (n – 1) (-2)} = – 144

বা, $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}({\bf{18}} - {\bf{2n}} + {\bf{2}})$ =– 144

বা, $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ (20 – 2n) = -144

বা, $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ × 2(10 – n) = – 144

বা, n (10 – n) = – 144

বা, 10n – n² + 144 = 0

বা, n² – 10n – 144= 0

বা, n² – 18n + 8n – 144 = 0

বা, n(n – 18) + 8(n – 18) = 0

বা, (n – 18) (n + 8) = 0

n∵ n – 18 = 0 A_বা, n + 8 = 0

\ n =18 \ n = – 8

কিন্তু n = – 8 গ্রহনযোগ্য নয়

কেননা পদ সংখ্যা ঋণাত্বক হতে পারেনা

∴ n =18

নির্ণেয় পদ সংখ্যা, n = 18.

প্রশ্ন \ 16 \ 2 + 4 + 6 + 8 + ….. ধারাটির প্রথম n সংখ্যাক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান নির্ণয় কর|

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি 2 + 4 + 6 + 8 + ……

এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ, a = 2

এবং সাধারণ অন্তর, d = 4 – 2 = 2

শর্তানুসারে n সংখ্যাক পদের সমষ্টি = 2550

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যাক পদের সমষ্টি,

S_n = $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (n – 1)d}

∴ $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (n – 1)d} = 2550

বা, $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2 × 2 + (n – 1)2} = 2550

বা, $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {4 + (n – 1)2} = 2550

বা, $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2n + 2} = 2550

বা, $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ × 2(n + 1) = 2550

বা, n(n + 1) = 2550

বা, n² + n – 2550 = 0

বা, n² + 51n – 50n – 2550 = 0

বা, n(n + 51) – 50 (n + 51) = 0

বা, (n + 51)(n -50) = 0

n∵ n + 51 = 0 A_বা, n – 50 = 0

∴ n = – 51 ∴ n = 50

পদ সংখ্যা ঋণাত্বক হতে পারেনা

∴ n = 50

নির্ণেয় n এর মান 50.

প্রশ্ন \ 17 \ কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যাক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটি নির্ণয় কর|

সমাধান : দেওয়া আছে, কোনো ধারার n সংখ্যাক পদের সমষ্টি, Sn = n (n + 1)

n = 1, 2, 3, 4 … … … ..েইত্যাদি বসিয়ে পাই

S₁ = প্রথম পদের সমষ্টি = 1 (1 + 1) = 1 × 2 = 2

S₂ = প্রথম দু্ইটি পদের সমষ্টি = 2(2 + 1)

= 2 × 3 = 6

S₃ = প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি

= 3(3 + 1) = 3 × 4 = 12

∴ প্রথম পদ = 2

দ্বিতীয় পদ = S₂ – S₁ = 6 – 2 = 4

এবং তৃতীয় পদ = S₃ – S₂ = 12 – 6 = 6

নির্ণেয় ধারাটি, 2 + 4 + 6 + 8 + … … …

প্রশ্ন \ 18 \ কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যাক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : দেওয়া আছে, ধারার n সংখ্যাক পদের সমষ্টি = n(n +1).

n = 1, 2, 3 ……. ইত্যাদি বসিয়ে পাই

প্রথম পদের সমষ্টি = 1(1 + 1) = 1 × 2 = 2

দু্ইটি পদের সমষ্টি = 2(2 + 1) = 3 × 2 = 6

তিনটি পদের সমষ্টি = 3(3 + 1) = 3 × 4 = 12

∴ প্রথম পদ = 2

দ্বিতীয় পদ = 6 – 2 = 4

এবং তৃতীয় পদ = 12 – 6 = 6

∴ ধারাটি = 2 + 4 + 6 +………….

এখানে, প্রথম পদ, a = 2

সাধারণ অন্তর d = 4 – 2 = 2

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যাক পদের সমষ্টি,

S_n= $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (n -1)d}

হলে, 10 টি পদের সমষ্টি S₁₀= $\frac{{{\bf{10}}}}{{\bf{2}}}\left\{ {2a + (10 - 1)d} \right\}$

= $\frac{{{\bf{10}}}}{{\bf{2}}}$ {2 × 2 + (10 -1) 2}

= 5(4 + 18)

= 5 × 22 = 110

নির্ণেয় সমষ্টি 110.

প্রশ্ন \ 19 \ একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে, এর প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর|

সমাধান : মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d

∴ ধারাটির 12 তম পদ = a + (12 – 1)d

= a + 11d

∴ ধারাটির 12 পদের সমষ্টি S₁₂= 12/2{2a + (12 – 1) d}

বা, 144 = 6(2a + 11d)

বা, 2a + 11d =

∴2a + 11d = 24 ………….(i)

Avevi, 20 পদের সমষ্টি S₂₀= 20/2{2a + (20 – 1) d}

বা, 560 = 10(2a + 19d)

বা, 2a + 19d =

∴2a + 19d = 56 ……… (ii)

সমীকরণ (ii) হতে (i) bs বিয়োগ করে পাই,

2a + 19d – 2a – 11d = 56 – 24

বা, 8d = 32

বা, d = 32/8

∴ d = 4

d এর মান সমীকরণ (ii) G ewm‡∵ পাই,

2a + 19 × 4 = 56

বা, 2a + 76 = 56

বা, 2a = 56 – 76

বা, a = -20/2

∴ a = – 10

∴ প্রথম 6 পদের সমষ্টি S₆ = 6/2{2a + (6 – 1) d}

= 6/2{2 × (- 10) + (6 -1) × 4}

= 3(- 20 + 20)

= 3 × 0 = 0

নির্ণেয় সমষ্টি 0.

প্রশ্ন \ 20 \ কোনো সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি n এবং n পদের সমষ্টি m হলে, এর প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি নির্ণয় কর|

সমাধান : মনে করি, কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a

এবং সমান্তর অন্তর = d

∴ ধারাটির প্রথম m পদের সমষ্টি = $\frac{{\bf{m}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (m – 1) d}

এবং ধারাটির প্রথম n পদের সমষ্টি = $\frac{n}{{\bf{2}}}$ {2a + (n – 1) d}

শর্তানুসারে $\frac{{\bf{m}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (m – 1)d} = n ……………. (i)

এবং $\frac{n}{{\bf{2}}}$ {2a + (n – 1)d} = m ……………. (ii)

সমীকরণ (i) হতে পাই,

2a + (m -1) d = $\frac{{{\bf{2n}}}}{{\bf{m}}}$ ………………(iii)

সমীকরণ (ii) হতে পাই,

2a + (n -1) d = $\frac{{{\bf{2}}m}}{n}$ ………………(iv)

সমীকরণ (iii) হতে (iv) বিয়োগ করে পাই,

${\rm{(m }} - {\rm{ n)d = }}\frac{{2n}}{m} - \frac{{2m}}{n}$

বা, ${\rm{(m }} - {\rm{ n)d = }}\frac{{2{n^2} - 2{m^2}}}{{mn}}$

বা, d = $\frac{{{\bf{2}}{{\bf{n}}^{\bf{2}}} - 2{m^2}}}{{mn(m - n)}}$

${\rm{ = }}\frac{{{\bf{2}}({{\bf{n}}^{\bf{2}}} - {m^2})}}{{mn(m - n)}}$

${\rm{ = }}\frac{{{\bf{2}}({\bf{n}} + {\bf{m}})({\bf{n}} - m)}}{{mn(m - n)}}$

${\rm{ = }}\frac{{ - 2(m + n)(m - n)}}{{mn(m - n)}}$

${\rm{ = }}\frac{{ - 2(m + n)}}{{mn}}$

এখন, ধারাটির প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি

= $\frac{{{\bf{m}} + {\bf{n}}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (m + n -1)d}

= $\frac{{{\bf{m}} + {\bf{n}}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (m – 1)d + nd}

= $\frac{{{\bf{m}} + {\bf{n}}}}{{\bf{2}}}{\rm{ }}\left\{ {\frac{{2n}}{m} - 2n\left( {\frac{{m + n}}{{mn}}} \right)} \right\}$ [iii bs I d এর মান বসিয়ে]

${\rm{ = }}\frac{{{\bf{m}} + {\bf{n}}}}{{\bf{2}}}{\rm{ }}\left\{ {\frac{{2n}}{m} - \left( {\frac{{2(m + n)}}{m}} \right)} \right\}$

${\rm{ = }}\frac{{{\bf{m}} + {\bf{n}}}}{{\bf{2}}}{\rm{ }}\left( {\frac{{2n - 2m - 2n}}{m}} \right)$

${\rm{ = }}\frac{{{\bf{m}} + {\bf{n}}}}{{\bf{2}}}{\rm{ }} \times {\rm{ }}\frac{{ - 2m}}{m}{\rm{ }}$

= – (m + n)

নির্ণেয় সমষ্টি – (m + n).

প্রশ্ন \ 21 \ কোনো সমান্তর ধারা∵ p তম, q তম ও r তম পদ যথাক্রমে a, b, c হলে, দেখাও যে, a(q – r) + b(r – p) + c(p – q) = 0.

সমাধান : মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = x

এবং সাধারণ অন্তর = d

∴ ধারাটির p তম পদ = x + (p – 1)d

” q তম পদ = x + (q -1)d

” r তম পদ = r + (q -1)d

শর্তানুসারে x + (p -1) d = a ………….. (i)

x + (q -1) d = b ………….. (ii)

x + (r -1) d = c ………….. (iii)

সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

(p – 1 – q + 1) d = a – b

বা, (p – q) d = a – b

∴ d = $\frac{{{\bf{a}} - b}}{{p - q}}$

d এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

x + (p – 1) $\frac{{{\bf{a}} - b}}{{p - q}}$ = a

বা, ${\rm{x = a }} - {\rm{ }}\frac{{(p - 1)(a - b)}}{{p - q}}$

${\rm{x = }}\frac{{{\bf{a}}({\bf{p}} - q) - (p - 1)(a - b)}}{{p - q}}$

সমীকরণ (iii)G x I d এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{{{\bf{a}}({\bf{p}} - q) - (p - 1)(a - b)}}{{p - q}}{\rm{ + (r }} - {\rm{1) }}\left( {\frac{{a - b}}{{pq}}} \right){\rm{ = c}}$

$\frac{{{\bf{ap}} - aq - ap + bp + a - b + ar - br - a + b}}{{p - q}}{\rm{ = c}}$

বা, – aq + ar – br + bp = c(p – q)

বা, – a(q- r) – b(r – p) – c(p – q )= 0

বা, a(q – r) + b(r – p) + c(p – q) = 0

∴a(q – r) + b(r – p) + c (p – q) = 0 (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ 22 \ দেখাও যে 1 + 3 + 5 + 7 + … … … + 125 = 169 + 171 + 173 + … … … + 209

সমাধান : মনে করি, S₁ = 1 + 3 + 5 + 7 + … … … + 125

এবং S₂ = 169 + 171 + 173 + … … + 209

দেখাতে হবে যে, S_l = S₂

এখানে, বামপক্ষের ধারাটির প্রথম পদ, a = 1

সাধারণ অন্তর, d = 3 – 1 = 2

ধরি, S_l ধারার পদ সংখ্যা = n

কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = 125

∴a + (n – 1)d = 125

বা, 1 + (n – 1)2 = 125

বা, 1 + 2n – 2 = 125

বা, 2n – 1 = 125

বা, 2n = 125 + 1

∴ n = 126/2= 63

∴ S_l= $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}\left\{ {{\bf{2a}} + ({\bf{n1}}){\bf{d}}} \right\}$

$\frac{{{\bf{63}}}}{{\bf{2}}}{\rm{\{ 2 }}{ \times ^{\rm{ }}}{\rm{1 + (63 1)}}{\rm{.2\} }}$ [n, a I d এর মান বসিয়ে]

$\frac{{{\bf{63}}}}{{\bf{2}}}\left( {{\bf{2}} + {\bf{62}} \times 2} \right)$

$\frac{{{\bf{63}}}}{{\bf{2}}} \times {\rm{ 2 (1 + 62)}}$

= 63 × 63 = 3969

আবার, ডানপক্ষের ধারার প্রথম পদ, a = 169

সাধারণ অন্তর, d = 171 – 169 = 2

ধরি, S₂ ধারার পদ সংখ্যা = m

কিন্তু m তম পদ = শেষ পদ = 209

∴ a + (m – 1) d = 209

বা, 169 + (m – 1) 2 = 209

বা, 169 + 2m – 2 = 209

বা, 2m + 167 = 209

বা, 2m = 209 – 167

∴ m = 42/2= 21

∴ S₂ = $\frac{{\bf{m}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (m – 1) d}

= $\frac{{{\bf{21}}}}{{\bf{2}}}$ {2 × 169 + (21 – 1).2} [m, a I d এর মান বসিয়ে]

= $\frac{{{\bf{21}}}}{{\bf{2}}}({\bf{338}} + {\bf{40}})$ = $\frac{{{\bf{21}}}}{{\bf{2}}}$ × 378

= 21 × 189 = 3969

∴ S_l = S₂

অর্থাৎ, 1 + 3 + 5 + 7 + … … … + 125 = 169 + 171 + 173 + … … … + 209 (†`Lv‡bv হলো)

প্রশ্ন \ 23 \ এক ব্যক্তি ২৫০০ টাকার একটি ঋণ কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজী হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে ২ টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি ১ টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন?

সমাধান : মনে করি, কিস্তির সংখ্যা= n

পরপর দুই কিস্তির পার্থক্য, ¨, d = 2; প্রথম কিস্তি, a = 1;

মোট ঋণের পরিমাণ S_n = 2500

সমান্তর ধারার সূত্রমতে, S_n = $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (n – 1) d}

বা, 2500 = $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2 ×1 + (n – 1) 2}

বা, 2500 = $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2 + 2n – 2}

বা, 2500 = $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ × 2n

বা, 2500 = n²

বা, n² = √2500

বা, n = $\pm 50$

∴ n = ± 50

কিন্তু কিস্তির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴n = ৫০
নির্ণেয় কিস্তির সংখ্যা ৫০টি।

২৪. কোন সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, l তম পদ l² এবং k তম পদ k²।

ক) ধারাটির প্রথম a পদ এবং সাধারণ অন্তর d ধরে উদ্দীপকের আলীকে দুইটি সমীকরণ তৈরি কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অন্তর = d

ধারাটির l তম পদ = a+(l-1)d

এবং k তম পদ = a+(k-1)d

প্রশ্নমতে,

a+(l-1)d=l²………….(i)

a+(k-1)d=k²…………(ii)

খ) (l+k) তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

(i)-(ii) করে পাই,

(l-1)d-(k-1)d=l²-k²

বা, d(l-1-k+1)=l²-k2

বা, d(l-k)=(l-k)(l+k)

বা, d=l+k…………(iii)

এখন,

(l+k) তম পদ

= a+(l+k-1)d

=a+(l-14)d+kd

=l²+kd [(i) থেকে]

=l²+k.(l+k) [(iii) থেকে]

=l²+lk+k²

গ) প্রমাণ কর ধারাটির প্রথম (l+k) সংখ্যক পদের সমষ্টি

l+k

——(l²+k²+l+k)
2
সমাধানঃ

খ হতে পাই,

d=l+k

d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

a+(l-1)(l+k)=l²

বা, a+l²-l+lk-k=l²

বা, a=l²-l²+l-lk+k

বা, a=l-lk+k

আমরা জানি, সামন্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

S_n = $\frac{{\bf{n}}}{{\bf{2}}}$ {2a + (n – 1) d}

∴ (l+k) সংখ্যক পদের সমষ্টি

l+k

S_l+k=——-{2(l-lk+k)+(l+k-1)(l+k)}
2
(l+k) {2(l-lk+k)+(l+k-1)(l+k)}

=———————————
2
(l+k)(2l-2lk+2k)+(l²+lk-l+lk+k²-k)

=—————————————
2
(l+k){2l-2lk+2k+l²+lk-l+lk+k²-k)

=—————————————
2
(l+k)

=——– (l²+k²+l+k) [Proved]
2

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত সকল অধ্যায়

এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান

এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান

This Post Has One Comment

Leave a Reply Cancel reply

এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান

You Might Also Like

চতুর্থ শ্রেণির গণিত অধ্যায় ৯ দশমিক ভগ্নাংশ অনুশীলনী প্রশ্নোউত্তর

নবম দশম শ্রেণির রসায়ন ১১তম অধ্যায় খনিজ সম্পদ-জীবাশ্ম বহুনির্বাচনী প্রশ্ন ও উত্তর (MCQ)

নবম দশম রসায়ন ৮ম অধ্যায় রসায়ন ও শক্তি বহুনির্বাচনী MCQ

This Post Has One Comment

Leave a Reply Cancel reply