এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.২ প্রশ্ন সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী 5.2 প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

এসএসসি গণিত অনুশীলনী 5.2

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন \ 1 \ x কে চলক ধরে a²x + b = 0 সমীকরণটির ঘাত নিচের কোনটি?
ক. 3 খ. 2 ✅ 1 ঘ. 0

প্রশ্ন \ 2 \ নিচের কোনটি অভেদ?

(x + 1)² + (x – 1)² = 4x

✅ (x + 1)² + (x – 1)² = 2(x² + 1)

(a + b)² – (a – b)² = 2ab
(a – b)² = a² + 2ab + b²

ব্যাখ্যা: বামপক্ষ = (x + 1)² + (x – 1)²

= x² + 2x + 1 + x² – 2x + 1

= 2x² + 2

= 2(x² + 1)

প্রশ্ন \ 3 \ (x – 4)² = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?
ক. 1টি ✅ 2টি গ. 3টি ঘ. 4টি
ব্যাখ্যা :

(x – 4)² = 0

বা, (x – 4)(x – 4) = 0

x = 4, 4

সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের মূল 2টি

প্রশ্ন \ 4 \ x² – x – 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?

ক. 3, 4 খ. 3, – 4

✅ – 3, 4 ঘ. – 3, – 4

ব্যাখ্যা:

: x² – x – 12 = 0

বা, x² – 4x + 3x – 12 = 0

বা, x(x – 4) + 3(x – 4) = 0

বা, (x – 4)(x + 3) = 0

∴x = 4, -3

প্রশ্ন \ 5 \ 3x² – x + 5 = 0 সমীকরণে x এর সহগ কত?
ক. 3 খ. 2 গ. 1 ✅ -1
ব্যাখ্যা : 3x² – x + 5 = 0
∴ 3x² + (-1) x + 5 = 0 এখানে, x এর সহগ – 1

6. দুইটি বীজগণিতিক রাশি x ও y এর গুণফল xy=0 হলে

(i) x=0 অথবা y=0
(ii) x=0 এবং y≠0
(ii) x≠0 এবং y=0

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii খ) ii ও iii গ) i ও iii ✅ i, ii ও iii

প্রশ্ন \ 7 \x² – (a + b) x + ab = 0 সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?
✅ {a, b} খ.{a, -b} গ. { – a, b} ঘ. { – a, – b}
ব্যাখ্যা :

x² – (a + b) x + ab = 0

বা, x²– ax – bx + ab = 0

বা, x(x – a) – b(x – a) = 0

বা, (x – a)(x – b) = 0 \ x = a, b

\ mgvavb †mU S = {a, b}

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। এই তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
8) একক স্থানীয় অঙ্ক X হলে, সংখ্যাটি কত?
ক. 2x খ. 3x গ. 12x ✅ 21x
ব্যাখ্যা : দেওয়া আছে, একক স্থানীয় অঙ্ক x
∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক 2x
∴ সংখ্যাটি =x + 10 . 2x = 21x

9) অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে?
ক. 3x খ. 4x ✅ 12x ঘ. 21x
ব্যাখ্যা : অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10.x + 2x = 12x

10) x = 2 হলে, মূল সংখ্যার সাথে স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যার পার্থক্য কত?
✅ 18 খ. 20 গ. 34 ঘ. 36
ব্যাখ্যা : (1) হতে পাই,
সংখ্যাটি 21x = 21.2 = 42
(2) নং হতে পাই, সংখ্যাটি = 12x = 12.2 = 24
সংখ্যা দুইটির পার্থক্য, 42 – 24 = 18

🔶 সমাধান কর (11 – 17) :

প্রশ্ন \ 12 \ $(\sqrt {\bf{2}} {\bf{x}} + {\bf{3}})(\sqrt {\bf{3}} {\bf{x}} - 2) = 0$

সমাধান : $(\sqrt {\bf{2}} {\bf{x}} + {\bf{3}})(\sqrt {\bf{3}} {\bf{x}} - 2) = 0$
হয়, $\sqrt 2 x + 3 = 0$ অথবা, $\sqrt 3 x - 2 = 0$

বা, $\sqrt 2 x = - 3$ বা, $\sqrt 3 x = 2$

বা, $x = \frac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}$ বা, $x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$

বা, ${\rm{x = }}\frac{{ - 3\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 \sqrt 2 }}$ বা, $x = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}$

∴ x = $\frac{{ - 3\sqrt 2 }}{2}$ ∴ x = $\frac{{2\sqrt 3 }}{3}$

নির্ণেয় সমাধান : x = $\frac{{ - 3\sqrt 2 }}{2}$ অথবা $\frac{{2\sqrt 3 }}{3}$

প্রশ্ন \ 11 \ (y + 5)(y – 5) = 24

সমাধান: (y + 5)(y – 5) = 24

বা, y² – 5² = 24

বা, y² – 25 = 24

বা, y² = 24 + 25 [পক্ষান্তর করে]

বা, y = ± \ y = ± 7

নির্ণেয় সমাধান y = ± 7

প্রশ্ন \ 13 \ 2(z² – 9) + 9z = 0

সমাধান: 2(z² – 9) + 9z = 0

বা, 2z² – 18 + 9z = 0

বা, 2z² + 9z – 18 = 0

বা, 2z² + 12z – 3z – 18 = 0

বা, 2z (z + 6) – 3(z + 6) = 0

বা, (z + 6) (2z – 3) = 0

হয় z + 6 = 0 অথবা,, 2z – 3 = 0

\ z = – 6 বা, 2z = 3 \ z =

নির্নেয় সমাধান: z = – 6 অথবা,,

প্রশ্ন \ 14 \ $\frac{{\bf{3}}}{{{\bf{2z}} + {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{4}}}{{{\bf{5z}} - {\bf{1}}}}{\rm{ = 2}}$

সমাধান : $\frac{{\bf{3}}}{{{\bf{2z}} + {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{4}}}{{{\bf{5z}} - {\bf{1}}}}{\rm{ = 2}}$
বা, $\frac{{15z - 3 + 8z + 4}}{{(2z + 1)(5z - 1)}}{\rm{ = 2 }}$

বা, $\frac{{23z + 1}}{{10{z^2} + 5z - 2z - 1}}{\rm{ = 2 }}$

20z2 + 10z – 4z – 2 = 23z + 1

বা, 20z2 + 6z – 23z – 2 – 1 = 0

বা, 20z2 – 17z – 3 = 0

বা, 20z2 – 20z + 3z – 3 = 0

বা, 20z(z – 1) + 3(z – 1) = 0

বা, (z – 1) (20z + 3) = 0

হয় z – 1 = 0 অথবা,, 20z + 3 = 0

∴z = 1 বা, 20z =- $\frac{3}{{20}}$

নির্নেয় সমাধান: z = 1 অথবা – $\frac{3}{{20}}$

প্রশ্ন \ 15 \ $\frac{{{\bf{x}} - 2}}{{x + 2}} + \frac{{6(x - 2)}}{{x - 6}} = 1$

সমাধান : $\frac{{{\bf{x}} - 2}}{{x + 2}} + \frac{{6(x - 2)}}{{x - 6}} = 1$
বা, $\frac{{6(x - 2)}}{{x - 6}}{\rm{ = 1 }} - {\rm{ }}\frac{{x - 2}}{{x + 2}}$

বা, $\frac{{6(x - 2)}}{{x - 6}}{\rm{ = }}\frac{{x + 2 - x + 2}}{{x + 2}}$

বা, $\frac{{6(x - 2)}}{{x - 6}} = \frac{4}{{x + 2}}$

বা, 6(x + 2)(x – 2) = 4(x – 6) [আড় গুগণ করে]

বা, 6(x² – 4) = 4(x – 6)

বা, 6x² – 24 = 4x – 24

বা, 6x² – 24 – 4x + 24 = 0 [পক্ষান্তর করে]

বা, 6x² – 4x = 0

বা, 3x² – 2x = 0 [ 2 দ্বারা ভাগ করে ]

বা, x(3x – 2) = 0

হয় x = 0 অথবা,, 3x – 2 = 0

বা, 3x = 2

∴x = $\frac{2}{3}$

নির্নেয় সমাধান: x = 0 অথবা,, $\frac{2}{3}$

প্রশ্ন \ 16 \ $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{a}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{a}}}{{\bf{x}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{x}}}{{\bf{b}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{b}}}{{\bf{x}}}$

সমাধান : $\frac{{\bf{x}}}{{\bf{a}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{a}}}{{\bf{x}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{x}}}{{\bf{b}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{b}}}{{\bf{x}}}$
বা, $\frac{x}{a}{\rm{ - }}\frac{x}{b}{\rm{ = }}\frac{b}{x}{\rm{ - }}\frac{a}{x}$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $\frac{{x(b - a)}}{{ab}}{\rm{ = }}\frac{{b - a}}{x}$

বা, ${x^2}(b - a){\rm{ }} = {\rm{ }}ab{\rm{ }}(b - a)\;\;$ [আড়গুণন করে]
বা, ${{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{ab(b - a)}}{{(b - a)}}$

বা, ${x^2} = {\rm{ }}ab$

∴ $x{\rm{ }} = \pm \sqrt {ab} {\rm{ }}$

[বর্গমূল করে]
নির্ণেয় সমাধান : $x{\rm{ }} = \pm \sqrt {ab} {\rm{ }}$

প্রশ্ন \ 17 \ $\frac{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{a}}}{{\bf{b}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{b}}}{{\bf{a}}}$

সমাধান : $\frac{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{x}} - {\bf{b}}}}{{{\bf{x}} - {\bf{a}}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{a}}}{{\bf{b}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{b}}}{{\bf{a}}}$
বা, $\frac{{x - a}}{{x - b}}{\rm{ - }}\frac{a}{b}{\rm{ + }}\frac{{x - b}}{{x - a}}{\rm{ - }}\frac{b}{a}{\rm{ = 0 }}$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $\frac{{bx - ab - ax + ab}}{{b(x - b)}}{\rm{ + }}\frac{{ax - ab - bx + ab}}{{a(x - a)}}{\rm{ = 0 }}$

বা, $\frac{{bx - ax}}{{b(x - b)}}{\rm{ + }}\frac{{ax - bx}}{{a(x - a)}}{\rm{ = 0 }}$

বা, $\frac{{x(b - a)}}{{b(x - b)}}{\rm{ + }}\frac{{x(a - b)}}{{a(x - a)}}{\rm{ = 0 }}$

বা, ${\rm{x }}\left\{ {\frac{{b - a}}{{b(x - b)}} + \frac{{a - b}}{{a(x - a)}}} \right\}{\rm{ = 0}}$

হয়, x = 0 অথবা, $\frac{{b - a}}{{b(x - b)}}{\rm{ + }}\frac{{a - b}}{{a(x - a)}}{\rm{ = 0 }}$

বা, $- \frac{{a - b}}{{b(x - b)}} + \frac{{a - b}}{{a(x - a)}} = 0$

বা, $\frac{{a - b}}{{a(x - a)}}{\rm{ = }}\frac{{a - b}}{{b(x - b)}}$

বা, , a(x – a) = b(x – ba) [আড়গুণন করে]
বা, ax – a² = bx – b²

ax – bx = a² – b²
বা,x (a – b) = (a + b) (a – b)
বা, x = $\frac{{(a + b)(a - b)}}{{(a - b)}}$
∴ x = a + b
নির্ণেয় সমাধান : x = 0 অথবা, a + b

🔶 সমাধান সেট নির্ণয় কর (19 – 25) :

প্রশ্ন \ 18 \ $\frac{{\bf{3}}}{{\bf{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{4}}}{{{\bf{x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = 2}}$

সমাধান : $\frac{{\bf{3}}}{{\bf{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{4}}}{{{\bf{x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = 2}}$
বা, $\frac{{3(x + 1) + 4x}}{{x(x + 1)}}{\rm{ = 2}}$

বা, $\frac{{3x + 3 + 4x}}{{x(x + 1)}}{\rm{ = 2}}$

বা, $\frac{{7x + 3}}{{x2 + x}}{\rm{ = 2 }}$

বা, 2x² + 2x = 7x + 3 [আড়গুণন করে]
বা, 2x² + 2x – 7x – 3 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, 2x² – 5x – 3 = 0
বা, 2x² – 6x + x – 3 = 0
বা, 2x (x – 3) + 1 (x – 3) = 0
বা, (x – 3) (2x + 1) = 0
হয়, x – 3 = 0 অথবা, 2x + 1 = 0
∴x = 3 বা, 2x = – 1
∴ x = ${\rm{ - }}\frac{1}{2}$

নির্ণেয় সমাধান সেট, S= 3‚ ${\rm{ - }}\frac{1}{2}$

প্রশ্ন \ 19 \ $\frac{{{\bf{x}} + {\bf{7}}}}{{{\bf{x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{2x}} + {\bf{6}}}}{{{\bf{2x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = 5 }}$

সমাধান : $\frac{{{\bf{x}} + {\bf{7}}}}{{{\bf{x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\bf{2x}} + {\bf{6}}}}{{{\bf{2x}} + {\bf{1}}}}{\rm{ = 5 }}$
বা, $\frac{{x + 1 + 6}}{{x + 1}}{\rm{ + }}\frac{{2x + 1 + 5}}{{2x + 1}}{\rm{ = 5}}$

বা, ${\rm{1 + }}\frac{6}{{x + 1}}{\rm{ + 1 + }}\frac{5}{{2x + 1}}{\rm{ = 5}}$ [লবকে স্ব-স্ব হর দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{6}{{x + 1}}{\rm{ + }}\frac{5}{{2x + 1}}{\rm{ = 5 - 1 - 1}}$

বা, $\frac{{12x + 6 + 5x + 5}}{{(x + 1)(2x + 1)}}{\rm{ = 3 }}$

বা, $\frac{{17x + 11}}{{2{x^2} + 3x + 1}}{\rm{ = 3}}$

বা, 6×2 + 9x + 3 = 17x + 11
বা, 6×2 + 9x – 17x + 3 – 11 = 0
বা, 6×2 – 8x – 8 = 0
বা, 6×2 – 12x + 4x – 8 = 0
বা, 6x (x – 2) + 4 (x – 2) = 0
বা,(x – 2) (6x + 4) = 0
হয়, x – 2 = 0 অথবা, 6x + 4 = 0
∴ x = 2 বা, 6x = – 4
∴ x ${\rm{ = }}\frac{{ - 4}}{6}{\rm{ = }}\frac{{ - 2}}{3}$

নির্ণেয় সমাধান সেট S= $\left\{ {\frac{{ - 2}}{3}2} \right\}$

প্রশ্ন \ 20 \ $\frac{{\bf{1}}}{{\bf{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{a}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{a}} + {\bf{b}}}}$

সমাধান : $\frac{{\bf{1}}}{{\bf{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{a}}}{\rm{ + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{b}}}{\rm{ = }}\frac{{\bf{1}}}{{{\bf{x}} + {\bf{a}} + {\bf{b}}}}$
বা, $\frac{1}{{x + a + b}}{\rm{ = }}\frac{1}{x}{\rm{ + }}\frac{1}{a}{\rm{ + }}\frac{1}{b}$

বা, $\frac{1}{{x + a + b}}{\rm{ }} - {\rm{ }}\frac{1}{x}{\rm{ = }}\frac{1}{a}{\rm{ + }}\frac{1}{b}{\rm{ }}$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $\frac{{x - x - a - b}}{{x(x + a + b)}}{\rm{ = }}\frac{1}{a}{\rm{ + }}\frac{1}{b}$

বা, $\frac{{ - (a + b)}}{{x(x + a + b)}}{\rm{ = }}\frac{{a + b}}{{ab}}$

বা, $\frac{{ - 1}}{{x(x + a + b)}}{\rm{ = }}\frac{1}{{ab}}$ [উভয়পক্ষকে ‍(a+b) দিয়ে ভাগ করে]
বা, x(x + a + b) = -ab [আড় গুণন করে]
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a) (x + b) = 0
হয়,x + a = 0 অথবা,x + b = 0
x = – a বা, x = – b
নির্ণেয় সমাধান সেট, S={ – a, – b }

প্রশ্ন \ 21 \ ${\rm{x + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{x}}}{\rm{ = 2 }}$

সমাধান : ${\rm{x + }}\frac{{\bf{1}}}{{\bf{x}}}{\rm{ = 2 }}$
বা, $\frac{{x2 + 1}}{x}{\rm{ = 2 }}$

বা, x² + 1 = 2x [আড়গুণন করে]
বা x² – 2x + 1 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, (x – 1)² = 0
বা, x – 1 = 0 ∴x = 1
নির্ণেয় সমাধান সেট, S= { 1 }

প্রশ্ন \ 22 \ $\frac{{{{({\bf{x}} + {\bf{1}})}^3} - {{({\bf{x}} - {\bf{1}})}^3}}}{{{{({\bf{x}} + {\bf{1}})}^2} - {{({\bf{x}} - {\bf{1}})}^2}}}{\rm{ = 2 }}$

সমাধান : $\frac{{{{({\bf{x}} + {\bf{1}})}^3} - {{({\bf{x}} - {\bf{1}})}^3}}}{{{{({\bf{x}} + {\bf{1}})}^2} - {{({\bf{x}} - {\bf{1}})}^2}}}{\rm{ = 2 }}$
বা, $\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^2} - {b^2}}}{\rm{ = 2}}$ [x + 1 = a এবং x – 1 = b ধরে]

বা, $\frac{{(a - b)({a^2} + ab + {b^2})}}{{(a + b)(a - b)}}{\rm{ = 2 }}$

বা, $\frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{a + b}}{\rm{ = 2 }}$

বা, a² + ab + b² = 2a + 2b [আড়গুণন করে]
বা, (x + 1)² + (x + 1) (x – 1) + (x – 1)²= 2 (x + 1) + 2 (x – 1) [a ও b এর মান বসিয়ে]
বা, x² + 2x + 1 + x² – 1 + x² – 2x + 1 = 2x + 2 + 2x – 2
বা, x² + 2x + 1 + x² – 1 + x² – 2x + 1 – 2x – 2 – 2x + 2 = 0
বা, 3x² – 4x + 1 = 0
বা, 3x² – 3x – x + 1 = 0
বা, 3x (x – 1) – 1(x – 1) = 0
বা, (x – 1) (3x – 1) = 0
হয়, 3x – 1 = 0 অথবা, x – 1 = 0
∴ 3x = 1 ∴x = 1
x = $\frac{1}{3}$

নির্ণেয় সমাধান সেট, S= $\left\{ {\frac{1}{3}1} \right\}$

🔶 সমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (23 – 34) :
প্রশ্ন \ 23 \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 15 এবং এদের গুণফল 56; সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধান :
মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্কটি x
এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি = 15 -x
∴ সংখ্যাটি = 10 × (15 -x) +x
= 150 – 10x + x = 150 – 9x
প্রশ্নানুসারে, x(15 -x) = 56
বা, 15x -x2 = 56
বা, 15x -x2 – 56 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, – (x2 – 15x + 56) = 0
বা, x2 – 15x + 56 = 0 [উভয় পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে]
বা, x2 – 7x – 8x + 56 = 0
বা, x(x – 7) – 8(x – 7) = 0
বা, (x – 7)(x – 8) = 0
হয়, x- 7 = 0 অথবা, x- 8 = 0
∴ x = 7 ∴ x = 8
এখন, x = 7 হলে, সংখ্যাটি (150 – 9x) = (150 – 9 × 7)
= 150 – 63 = 87
∴ x = 8 হলে, সংখ্যাটি (150 – 9x) = (150 – 9 × 8)
= 150 – 72 = 78
নির্ণেয় সংখ্যাটি 78 অথবা 87

প্রশ্ন \ 24 \ একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে ও প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, কক্ষটির দৈর্ঘ্য = x মিটার
∴ কক্ষটির প্রস্থ = $\frac{{192}}{x}$ মিটার [∵ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল]
প্রশ্নমতে, (x – 4) ( $\frac{{192}}{x}$ + 4) = 192
বা, 192 + 4x – $\frac{{768}}{x}$ – 16 = 192
বা, 192 + 4x – $\frac{{768}}{x}$ – 16 – 192 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, 4x – $\frac{{768}}{x}$ – 16 = 0
বা, 4×2 – 768 – 16x = 0 [উভয়পক্ষকে ী দিয়ে গুণ করে]
বা, x2 – 192 – 4x = 0 [উভয়পক্ষকে 4 দিয়ে ভাগ করে]
বা, x2 – 4x – 192 = 0
বা, x2 – 16x + 12x – 192 = 0
বা, x(x – 16) + 12(x – 16) = 0
বা, (x – 16) (x + 12) = 0
হয়, x- 16 = 0 অথবা, x+ 12 = 0
∴x = 16 ∴x = – 12
যেহেতু, দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, সুতরাং দৈর্ঘ্য = 16 মিটার।
∴ প্রস্থ $\frac{{192}}{x}$ মিটার = 192/16 মিটার = 12 মিটার
∴ কক্ষটির মেঝের দৈর্ঘ্য 16 মিটার ও প্রস্থ 12 মিটার। (ans)

প্রশ্ন \ 25 \ একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. ও অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যরে অন্তর 3 সে.মি.। ঐ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এবং অপর বাহুর দৈর্ঘ্য (x + 3) সে.মি.
ত্রিভুজটি সমকোণী হওয়ায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
x2 + (x + 3)2 = 152
বা, x2 +x2 + 6x + 9 = 225
বা, 2×2 + 6x + 9 – 225 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, 2×2 + 6x- 216 = 0
বা, x2 + 3x – 108 = 0 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, x2 + 12x – 9x – 108 = 0
বা, x(x + 12) – 9(x + 12) =0
বা, (x + 12) (x – 9) = 0
হয়, x+ 12 = 0 অথবা, x-9 = 0
∴ x = -12 ∴ x = 9
যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সে.মি.
∴ অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = (9 + 3) সে.মি. = 12 সে.মি.
নির্ণেয় ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 9 সে.মি. এবং 12 সে.মি.

প্রশ্ন \ 26 \ একটি ত্রিভুজের ভ‚মি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
সমাধান : ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা = x মিটার
তাহলে ত্রিভুজ ভ‚মি = (2x + 6) মিটার

প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2}$ . (2x + 6) . x = 810 [∵ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × ভ‚মি × উচ্চতা]
বা, (x + 3)x = 810
বা, x2 + 3x – 810 = 0
বা, x2 + 30x- 27x – 810 = 0
বা, x(x + 30) – 27(x + 30) = 0
বা, (x + 30) (x – 27) = 0
হয়, x+ 30 = 0 অথবা, x- 27 = 0
∴ x = – 30 ∴ x = 27
যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের উচ্চতা 27 সে.মি.।
নির্ণেয় ত্রিভুজটির উচ্চতা 27 সে. মি.। (ans)

প্রশ্ন \ 27 \ একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 420 টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত এবং প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিল?
সমাধান :
মনে করি, ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা x জন
∴ প্রত্যেক শিক্ষার্থীর সহপাঠীর সংখ্যা (x-1) জন
সুতরাং প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ (x – 1) টাকা
প্রশ্নানুসারে, x(x – 1) = 420
বা, x2 – x = 420
বা, x2 -x – 420 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, x2 – 21x + 20x- 420 = 0
বা, x(x – 21) + 20(x – 21) = 0
বা, (x – 21)(x + 20) = 0
হয়, x- 21 = 0 আবার, x+ 20 = 0
∴ x = 21 ∴ x = -20
যেহেতু, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না তাই, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা 21 জন।
এবং প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ (21-1) টাকা বা 20 টাকা করে। (ans)

প্রশ্ন \ 28 \ একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট 70 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?
সমাধান : মনে করি, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = x জন
∴ প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ = (x + 30) পয়সা
এবং মোট চাঁদা = x (x + 30) পয়সা
আবার, মোট চাঁদা = 70 টাকা
= 70 × 100 পয়সা = 7000 পয়সা
প্রশ্নমতে, x (x + 30) = 7000
বা, x2 + 30x- 7000 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, x2 + 100x- 70x- 7000 = 0
বা, x(x + 100) – 70(x + 100) = 0
বা, (x + 100) (x – 70) = 0
হয়, x+ 100 = 0 অথবা, x- 70 = 0
∴x = – 100 ∴ x = 70
যেহেতু, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না তাই, ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা হবে 70 জন।
ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীদের সংখ্যা 70 জন। (ans)

প্রশ্ন \ 29 \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 7; অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 9 বেশি।
ক. চলক x এর মাধ্যমে প্রদত্ত সংখ্যাটি ও স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি লেখ।
খ. সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
গ. প্রদত্ত সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় যদি সেন্টিমিটারে কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্দেশ করে তবে ঐ আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। কর্ণটিকে কোনো বর্গের বাহু ধরে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :
ক. মনে করি, একক স্থানীয় অঙ্ক = x
∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক = 7 -x
∴ সংখ্যাটি = 10(7 -x) +x
= 70 – 10x + x = 70 – 9x (ans)
অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয়।
= 10x + (7 -x) = 10x + 7 – x = 9x + 7 (ans)

খ. প্রশ্নানুসারে, 9x + 7 = 70 – 9x + 9
বা, 9x + 9x = 70 + 9 – 7 [পক্ষান্তর করে]
বা, 18x = 72
বা, x = 7218 ∴ x = 4
∴ সংখ্যাটি = 70 – 9 . 4 = 70 – 36 = 34 (ans)

গ. প্রশ্নানুসারে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 4 সে.মি.
এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (7 – 4) সে.মি. বা 3 সে.মি.

এসএসসি গণিত অনুশীলনী ৫.২

চিত্রানুসারে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$

$= \sqrt {{3^2} + {4^2}}$

${\rm{ = }}\sqrt {9 + 16} {\rm{ = }}\sqrt {25} {\rm{ = 5}}$

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য AC = 5 সে.মি.
আবার, কর্ণের দৈর্ঘ্য বর্গের বাহু হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = বর্গের বাহু = 5 সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের কর্ণকে বর্গক্ষেত্রের বাহু ধরে গঠিত বর্গক্ষেত্রটি হলো :

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.২ প্রশ্ন সমাধান

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য

$EG = \sqrt {E{F^2} + F{G^2}}$

$= \sqrt {{5^2} + {5^2}}$

$= \sqrt {25 + 25}$

$= \sqrt {50} {\rm{ = }}\sqrt {25 \times 2} = 5\sqrt 2$

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এবং বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt 2$ সে.মি. (ans)

প্রশ্ন \ 30 \ একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভ‚মি ও উচ্চতা যথাক্রমে (x – 1) সে.মি. ও x সে.মি. এবং একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ত্রিভুজটির উচ্চতার সমান। আবার, একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য (x + 3) সে.মি. ও প্রস্থ x সে.মি.।
ক. একটিমাত্র চিত্রের মাধ্যমে তথ্যগুলো দেখাও।
খ. ত্রিভুজক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 10 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
গ. ত্রিভুজক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধারাবাহিক অনুপাত বের কর।

সমাধান :
ক. উপরের তথ্যগুলো একটিমাত্র চিত্রের মাধ্যমে দেখানো হলো :

খ. আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × ভ‚মি × উচ্চতা
বা, 10 = $\frac{1}{2}$ . (x – 1) . x
বা, 20 = x2 -x
বা, x2 -x – 20 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, x2 – 5x + 4x – 20 = 0
বা, x(x – 5) + 4(x – 5) = 0
বা, (x – 5)(x + 4) = 0
হয়, x- 5 = 0 অথবা, x+ 4 = 0
∴ x = 5 ∴ x = – 4
যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না কাজেই ত্রিভুজটির উচ্চতা 5 সে.মি.
ত্রিভুজটির উচ্চতা 5 সে.মি. (ans)

গ. ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × ভ‚মি × উচ্চতা
= $\frac{1}{2}$ . (x – 1) . x
= 12 × (5 – 1) × 5 [∵ x = 5]
= 10

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)2 = (5)2 বর্গ সে.মি.
= 25 বর্গ সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (x + 3) . x বর্গ সে.মি.
= (5 + 3) . 5 বর্গ সে.মি.
= 8 . 5 বর্গ সে.মি. = 40 বর্গ সে.মি.
∴ ত্রিভুজক্ষেত্র : বর্গক্ষেত্র : আয়তক্ষেত্র = 10 : 25 : 40
= 2 : 5 : 8
[অনুপাতের প্রতিটি রাশিকে 5 দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় অনুপাত = 2 : 5 : 8।

31. একটি জমির ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আবার জমিটির মাঝখানে 20 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকা হলো। বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে একটি জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা এর অর্ধেকের চেয়ে 2 সেমি কম।

ক) জমিটির দৈর্ঘ্যকে x এবং প্রস্থকে y ধরে তথ্যগুলোকে সমীকরণে প্রকাশ কর।

খ) জমিটির পরিসীমা নির্ণয় কর।

গ) বৃত্তটির জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধানঃ

ক. জমিটির দৈর্ঘ্য x মি ও প্রস্থ y মি হলে,

জমিটির ক্ষেত্রফল=xy বর্গ মি।

∴xy=192……………(i)

আবার দৈর্ঘ্য 4 মি কমালে ও প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে নতুন ক্ষেত্রফল (x-4)(y+4) বর্গমি।

∴(x-4)(y+4)=192…………(ii)

খ. খ এর (ii) নং হতে পাই,

(x-4)(y+4)=192

বা, xy+4x-4y-16=192

বা, 192+4x-4y-16=192 [xy=192 (i) হতে]

বা, 4x-4y=192-192+16

বা, 4(x-y)=16

বা, x-y=4

বা, x=4+y………..(iii)

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

(4+y).y=192

বা, 4y+y2=192

বা, 4y+y‑2-192=0

বা, y2+16y-12y-192=0

বা, y(y+16)-12(y+16)=0

বা, (y+16)(y-12)=0

বা, y+16=0 অথবা, y-12=0

বা, y=-16 বা, y=12

এখন, y=-16 গ্রহণযোগ্য নয়, কারন প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴প্রস্থ=12 মিটার।

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x=4+12=16

∴দৈর্ঘ্য=16 মিটার।

∴জমিটির পরিসীমা=2(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) একক

=2(16+12) মিটার

=56 মিটার।

গ. মনে করি, জ্যাটির দৈর্ঘ্য AB=p সেমি

অর্ধ জ্যা, AC=p/2 সেমি

OC=(p/2-2) সেমি

ব্যাসার্ধ, AO=10 সেমি [ব্যাস= 20 সেমি]

সমকোণী ত্রিভুজ AOC হতে পাই,

AC2+OC2=AO2 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য]

বা, (p/2)2+(p/2-2)2=102

বা, (p2/4)+(p2/4)-2.(p/2).2+4=100

বা, (2p2/4)-2p+4=100

বা, (2p2/4)-2p+4-100=0

বা, p2/2-2p-96=0

বা, p2-4p-192=0

বা, p2-16p+12p-192=0

বা, p(p-16)+12(p-16)=0

বা, (p-16)(p+12)=0

বা, p-16=0 অথবা, p+12=0

বা, p=16 বা, p=-12 [গ্রহণযোগ্য নয়]

∴জ্যা এর দৈর্ঘ্য=16 সেমি।

32. নাবিলের বয়স যখন শুভর বর্তমান বয়সের সমান ছিল তখন শুভর যে বয়স ছিল নাবিলের বর্তমান বয়স তাঁর দ্বিগুণ। শুভর বয়স যখন নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের দুইজনের বয়সের যোগফল 63 হলে প্রত্যেকের বর্তমান কত?

সমাধানঃ

মনে করি, শুভর বর্তমান বয়স=a বছর

এবং নাবিল ও শুভর বয়সের ব্যবধান = x বছর

অর্থাৎ নাবিল শুভর চেয়ে x বছরের বড়।

∴নাবিলের বর্তমান বয়স=a+x বছর।

এখন, নাবিলের বয়স শুভর বর্তমান বয়সের সমান বা a হলে, তখন শুভর বয়স হতো a-x বছর।

প্রশ্নানুসারে,

a+x=2(a-x)

বা, a+x=2a-2x

বা, a-2a=-2x-x

বা, -a=-3x

বা, a=3x

বা, x=a/3…………(i)

আবার,

শুভর বয়স নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান a+x হলে, তখন নাবিলের বয়স হতো a+x+x বছর।

প্রশ্নানুসারে,

a+x+a+x+x=63

বা, 2a+3x=63

বা, 2a+3.(a/3)=63 [x=a/3]

বা, 2a+a=63

বা, 3a=63

বা, a=63/3

বা, a=21

∴শুভর বর্তমান বয়স=21 বছর

a এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

x=21/3=7

∴নাবিলের বর্তমান বয়স=21+7 বছর=28 বছর।

33. বাসে ওঠার লাইনে সোহাগের পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সামনে তাঁর থেকে দুইজন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তাঁর পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তাঁর তিনগুণ যাত্রী। লাইনে কতজন যাত্রী দাঁড়িয়ে আছে?

সমাধানঃ

মনে করি, সোহাগের পিছনে দাঁড়িয়ে ছিল x জন

সুতরাং, সামনে দাঁড়িয়ে ছিল x+2 জন।

অতএব, সম্পূর্ণ লাইনে লোকসংখ্যা=x+(x+2)+1 [ 1 হলো সোহাগের সংখ্যা]

= x+x+2+1

= 2x+3

আবার, 2য় শর্তমতে, সম্পূর্ণ লাইনে লোকসংখ্যা=3x

এখন, 2x+3=3x

বা, 3x-2x=3

বা, x=3

∴সম্পূর্ণ লাইনে লোকসংখ্যা=3.3 জন =9 জন।

34. সবুজ 3:30 টার সময় বাসা থেকে ড্রয়িং ক্লাসে গেল। সে যখন স্কুল থেকে বাসায় ফিরেছিল তখনও মিনিটের কাঁটা খাড়া নিচের দিকে ছিল। কিন্তু 3:30 টার তুলনায় দুইটি কাটার মধ্যে দুরত্ব 15 ডিগ্রি কম ছিল। সবুজ স্কুল থেকে বাসায় কখন ফিরেছিল?

সমাধানঃ

আমরা জানি,

ঘড়ির কাঁটা একবার ঘুরে পূর্বের জায়গায় আসতে 3600 অতিক্রম করে।

এখন,

24 ঘণ্টা বিবেচনায়,

3600=24 ঘণ্টা

বা, 10=24/360 ঘণ্টা

বা, 150=(24✕15)/360 ঘণ্টা

= 1 ঘণ্টা

∴সবুজ বাসায় ফিরেছিল=3:30 টা+ 1 =4:30 টায়।

🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত সকল অধ্যায়

Share to help others: