৭ম শ্রেণির গণিত ১ম অধ্যায় দশমিক ভগ্নাংশ অনুশীলনী ১.২ এর সমাধান নিম্নে দেওয়া হলো। সকল অনুশীলনীর উত্তর দেখতে নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন।
৭ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ১.২
প্রশ্ন \ ১ \ ২৮৯/৩৬১ এর বর্গমূল কত ?
(ক) ১৩/১৯ ✅ ১৭/১৯ (গ) ১৯/১৩ (ঘ) ১৯/১৭
ব্যাখ্যা : √(২৮৯/৩৬১) = √(১৭ × ১৭/১৯ × ১৯) = ১৭/১৯
প্রশ্ন \ ২ \ ১.১০২৫ এর বর্গমূল কত ?
(ক) ১.৫ (খ) ১.০০৫ ✅ ১.০৫ (ঘ) ০.০৫
ব্যাখ্যা : ১.১০২৫ এর বর্গমূল = √১১০২৫/১০০০০
এখানে, লব ১১০২৫ এর বর্গমূল = ১০৫
এবং হর ১০০০০ এর বর্গমূল = ১০০
∴ ১.১০২৫ এর বর্গমূল = ১০৫/১০০ = ১.০৫।
প্রশ্ন \ ৩ \ নিচের তথ্য থেকে ১-৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৫।
(১) একটি সংখ্যা ১২ হলে অপরটি কত ?
(ক) ৫ (খ) ৯ (গ) ১১ ✅১৩
ব্যাখ্যা : মনে করি, অপর সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে, (ক)২ – (১২)২ = ২৫ বা, ক২ – ১৪৪ = ২৫
বা, ক২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯
বা, ক২ = (১৩)২ ∴ ক = ১৩
(২) সংখ্যা দুইটির বর্গ কী কী ?
✅ ১৪৪, ১৬৯ (খ) ১২১, ১৪৪
(গ) ১৬৯, ১৯৬ (ঘ) ১৯৬, ২২৫
ব্যাখ্যা : ১২ এর বর্গ = (১২)২ = ১৪৪
১৩ এর বর্গ = (১৩)২ = ১৬৯
(৩) দুইটি সংখ্যার মধ্যে কোনটির বর্গ থেকে ২৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ?
✅ বড়টি (খ) ছোটটি (গ) উভয়টি (ঘ) একটিও না
ব্যাখ্যা : (১২)২ – ২৫ = ১৪৪ – ২৫ = ১১৯, যা পূর্ণবর্গ নয়
(১৩)২ – ২৫ = ১৬৯ – ২৫ = ১৪৪ = (১২)২; যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
প্রশ্ন \ ৪ \ নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর :
i. ০.০০০১ এর বর্গমূল ০.০১
ii. ১৬২২৫ একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ
iii. √৩ এর মান প্রায় ২ এর সমান
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক ?
(ক) i ও ii (খ) ii ও iii (গ) i ও iii ✅ i, ii ও iii
প্রশ্ন \ ৫ \ একজন কৃষক বাগান করার জন্য ৫৯৫টি চারাগাছ কিনে আনেন। প্রত্যেকটি চারাগাছের মূল্য ১২ টাকা।
(ক) চারাগাছগুলো কিনতে তাঁর কত খরচ হয়েছে ?
(খ) বাগানে প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানোর পর কয়টি চারাগাছ অবশিষ্ট থাকবে ?
(গ) খরচের টাকার সংখ্যা ও চারাগাছের সংখ্যার বিয়োগফলের সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধান :
(ক) ১ টি চারা গাছের মূল্য ১২ টাকা
∴৫৯৫টি ,, ,, ,, (৫৯৫ × ১২) ,, বা ৭১৪০ টাকা
উত্তর : চারা গাছগুলো কিনতে তার খরচ হয়েছে ৭১৪০ টাকা।
(খ)
৫ ৯৫ | ২৪
৪
৪৪ | ১৯৫
১৭৬
১৯
উত্তর : বাগানে প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানোর পর ১৯ টি চারাগাছ অবশিষ্ট থাকবে।
(গ) ‘ক’ হতে পাই, খরচ ৭১৪০ টাকা এবং চারাগাছের সংখ্যা ৫৯৫টি।
∴ বিয়োগফল = ৭১৪০ – ৫৯৫ বা ৬৫৪৫
এখন,
৬৫ ৪৫ |৮০
৬৪
১৬০ | ১৪৫
০০০
১৪৫
যেহেতু সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করার সময় ভাগশেষ ১৪৫ থাকে তাই ৬৫৪৫ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়। ৬৫৪৫ এর সাথে কোনো একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি এর সাথে যোগ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে এবং তখন এর বর্গমূল হবে (৮০ + ১) বা ৮১।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৮১ × ৮১ – ৬৫৪৫
= ৬৫৬১ – ৬৫৪৫ = ১৬
উত্তর : ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ১৬।
প্রশ্ন \ ৬ \ বর্গমূল নির্ণয় কর :
(ক) ০.৩৬
সমাধান : ০.৩৬ | ০.৬
৩৬
০
উত্তর : বর্গমূল ০.৬
(খ) ২.২৫
সমাধান : ২.২৫ | ১.৫
১
২৫| ১২৫
১২৫
০
উত্তর : বর্গমূল ১.৫
(গ) ০.০০৪৯
সমাধান : ০.০০ ৪৯ | ০.০৭
৪৯
০
উত্তর : বর্গমূল ০.০৭
(ঘ) ৬৪১.১০২৪
সমাধান : ৬৪১.১০২৪ |২৫.৩২
৪
৪৫| ২৪১
২২৫
৫০৩| ১৬১০
১৫০৯
৫০৬২| ১০১২৪
১০১২৪
০
উত্তর : বর্গমূল ২৫.৩২
(ঙ) ০.০০০৫৭৬
সমাধান : ০.০০০৫৭৬| ০.০২৪
৪
৪৪ | ১৭৬
১৭৬
০
উত্তর : বর্গমূল ০.০২৪
(চ) ১৪৪.৮৪১২২৫
সমাধান : ১৪৪.৮৪১২২৫ | ১২.০৩৫
১
২২| ৪৪
৪৪
২৪০৩ | ৮৪১২
৭২০৯
২৪০৬৫| ১২০৩২৫
১২০৩২৫
০
উত্তর : বর্গমূল ১২.০৩৫
প্রশ্ন \ ৭ \ দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর :
(ক) ৭
সমাধান : ৭.০০ ০০ ০০|২.৬৪৫
৪
৪৬| ৩০০
২৭৬
৫২৪| ২৪০০
২০৯৬
৫২৮৫| ৩০৪০০
২৬৪২৫
৩৯৭৫
উত্তর : দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ২.৬৫ (প্রায়)
(খ) ২৩.২৪
সমাধান : ২৩.২৪ ০০ ০০ | ৪.৮২০
১৬
৮৮| ৭২৪
৭০৪
৯৬২| ২০০০
১৯২৪
৯৬৪০| ৭৬০০
০০০০
৭৬০০
উত্তর : দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল = ৪.৮২ (প্রায়)
(গ) ০.০৩৬
সমাধান : ০.০৩৬0 00 |০.১৮৯
০.০১
২৮| ২৬০
২২৪
৩৬৯| ৩৬০০
৩৩২১
২৭৯
উত্তর : দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ০.১৯ (প্রায়)
প্রশ্ন \ ৮ \ নিচের ভগ্নাংশগুলোর বর্গমূল নির্ণয় কর :
(ক) ১/৬৪
সমাধান : ১৬৪ এর বর্গমূল = √১/৬৪ = = √১×১/৮×৮
উত্তর : নির্ণেয় বর্গমূল ১/৮
(খ) ৪৯/১২১
সমাধান : ৪৯/১২১ এর বর্গমূল = √৪৯/১২১ = √৭ × ৭ ১১× ১১ = ৭/১১
উত্তর : বর্গমূল ৭/১১
(গ) ১১ ৯৭/১৪৪
সমাধান : ১১ ৯৭/১৪৪ = ১৬৮১/১৪৪
১৬৮১/১৪৪ এর বর্গমূল = √১৬৮১/১৪৪ = √৪১ × ৪১/ ১২× ১২
= ৪১/১২ = ৩ ৫/১২
উত্তর : বর্গমূল ৩ ৫/১২
(ঘ) ৩২ ২৪১/৩২৪
সমাধান : ৩২ ২৪১/৩২৪ = ১০৬০৯/৩২৪
১০৬০৯/৩২৪ এর বর্গমূল =√১০৬০৯/৩২৪ =√ ১০৩ × ১০৩/ ১৮× ১৮
= ১০৩/১৮ = ৫ ১৩/১৮
উত্তর : বর্গমূল ৫ ১৩/১৮
প্রশ্ন \ ৯ \ তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর।
(ক) ৬/৭
সমাধান : ৬/৭ এর বর্গমূল = √৬/৭ = √৬ × ৭/৭ × ৭ = ৪২/৭
এখানে, ৪২.০০০০০০|৬.৪৮০৭
৩৬
১২৪| ৬০০
৪৯৬
১২৮৮| ১০৪০০
১০৩০৪
১২৯৬০৭| ৯৬০০০০
৯০৭২৪৯
৫২৭৫১
∴√ ৪২/৭ = ৬.৪৮১/৭ = ০.৯২৫৮
উত্তর : তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ০.৯২৬ (প্রায়)
(খ) ২ ৫/৬
সমাধান : ২ ৫/৬ এর বর্গমূল = √২ ৫/৬ = √১৭/৬ = √১৭ × ৬৬ × ৬ = √১০২\৬
এখানে,
১ ০২. ০০ ০০ ০০ ০০| ১০.০৯৯৫
১
২০০৯| ২০০০০
১৮০৮১
২০১৮৯| ১৯১৯০০
১৮১৭০১
২০১৯৮৫| ১০১৯৯০০
১০০৯৯২৫
৯৯৭৫
∴ √১০২/৬ = ১০.০৯৯৫/৬ = ১.৬৮৩২৫
উত্তর : নির্ণেয় তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ১.৬৮৩ (প্রায়)
(গ) ৭ ৯/১৩
সমাধান : ৭ ৯/১৩ এর বর্গমূল = √৭ ৯/১৩ = ১০০/১৩
= √১৩০০/১৩
এখানে,
১৩ ০০. ০০ ০০ ০০ ০০|৩৬.০৫৫৫
৯
৬৬| ৪০০
৩৯৬
৭২০৫| ৪০০০০
৩৬০২৫
৭২১০৫| ৩৯৭৫০০
৩৬০৫২৫
৭২১১০৫| ৩৬৯৭৫০০
৩৬০৫৫২৫
৯১৯৭৫
∴√১৩০০/১৩ = ৩৬.০৫৬/১৩ = ২.৭৭৩৫ = ২.৭৭৪
উত্তর : তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ২.৭৭৪ (প্রায়)
প্রশ্ন \ ১০ \ ৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কতজন সৈন্য সরিয়ে রাখলে বা তাদের সাথে কমপক্ষে আর কতজন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?
সমাধান : দেওয়া আছে, মোট সৈন্য = ৫৬৭২৮ জন
এখন,
৫ ৬৭ ২৮|২৩৮
৪
৪৩| ১৬৭
১২৯
৪৬৮| ৩৮২৮
৩৭৪৪
৮৪
∴ কমপক্ষে ৮৪ জন সৈন্য সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
আবার,
∴ ৫৬৭২৮ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়। ২৩৮ এর সাথে ১ যোগ করে যোগফল এর বর্গ পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
২৩৮ + ১ = ২৩৯
∴ ২৩৯ এর বর্গ =২৩৯2 = ৫৭১২১
সুতরাং সৈন্যসংখ্যা বাড়াতে হবে = (৫৭১২১ – ৫৬৭২৮) জন
= ৩৯৩ জন
উত্তর : ৮৪ জন সরিয়ে রাখলে বা ৩৯৩ জন যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
প্রশ্ন \ ১১ \ কোনো বিদ্যালয়ের ২৭০৪ জন শিক্ষার্থীকে প্রাত্যহিক সমাবেশ করার জন্য বর্গাকারে সাজানো হলো। প্রত্যেক সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ২৭০৪
প্রত্যেক সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে ২৭০৪ এর বর্গমূলের সমান।
২৭০৪|৫২
২৫
১০২| ২০৪
| ২০৪
০
উত্তর : প্রত্যেক সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা ৫২ জন।
প্রশ্ন \ ১২ \ একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল প্রত্যেকে তত ২০ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ২০৪৮০ টাকা হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, সমিতির সদস্য সংখ্যা = ‘ক’
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (ক × ২০) বা ২০ ক টাকা
∴ মোট চাঁদার পরিমাণ = ( ২০ ক × ক) টাকা = ২০ ক২ টাকা
প্রশ্নমতে, ২০ক২ = ২০৪৮০
বা, ক২ = ২০৪৮০২০
বা, ক২ = ১০২৪
বা, ক = √১০২৪
বা, ক = √(৩২ × ৩২)
∴ ক = ৩২
উত্তর : সমিতির সদস্য সংখ্যা ৩২ জন।
প্রশ্ন \ ১৩ \ কোনো বাগানে ১৮০০টি চারাগাছ বর্গাকারে লাগাতে গিয়ে ৩৬টি গাছ বেশি হলো। প্রত্যেক সারিতে চারা গাছের সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান : যেহেতু ৩৬টি গাছ বেশি। সুতরাং প্রত্যেক সারিতে চারা গাছের সংখ্যা হবে (১৮০০ – ৩৬) বা ১৭৬৪ এর বর্গমূলের সমান। এখন,
১৭ ৬৪|৪২
১৬
৮২| ১৬৪
১৬৪
০
উত্তর : প্রত্যেক সারিতে চারাগাছের সংখ্যা ৪২টি।
প্রশ্ন \ ১৪ \ কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা ৯, ১৫ এবং ২৫ দ্বারা বিভাজ্য ?
সমাধান : নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৯, ১৫ এবং ২৫ এর ল. সা. গু.
৩ |৯, ১৫, ২৫
৫ |৩, ৫, ২৫
৩, ১, ৫
∴ ল. সা. গু. = ৩ × ৫ × ৩ × ৫ = ২২৫
উত্তর : ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি ২২৫।
প্রশ্ন \ ১৫ \ একটি ধানক্ষেতের ধান কাটতে শ্রমিক নেওয়া হলো। প্রত্যেক শ্রমিকের দৈনিক মজুরি তাদের সংখ্যার ১০ গুণ। দৈনিক মোট মজুরি ৬২৫০ টাকা হলে শ্রমিকের সংখ্যা বের কর।
সমাধান : মনে করি, শ্রমিকের সংখ্যা = ক
প্রত্যেক শ্রমিকের দৈনিক মজুরি = (ক × ১০) টাকা বা ১০ ক টাকা
∴ দৈনিক মোট মজুরি = ( ১০ক × ক) টাকা = ১০ ক২ টাকা
প্রশ্নমতে, ১০ক২ = ৬২৫০
বা, ক২ = ৬২৫০১০
বা, ক২ = ৬২৫
বা, ক = √৬২৫
∴ ক = ২৫
উত্তর : শ্রমিকের সংখ্যা ২৫ জন ।
প্রশ্ন \ ১৬ \ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, একটি সংখ্যা = ক
এবং অপর সংখ্যা = ক + ১
প্রশ্নমতে, (ক + ১)২ – ক ২ = ৩৭
বা, ক ২ + ২ক + ১ – ক২ = ৩৭
বা, ২ক + ১ = ৩৭
বা, ২ক = ৩৭ – ১
বা, ২ক = ৩৬
বা, ২ক/২ = ৩৬/২ [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা ভাগ করে]
∴ ক = ১৮
∴ একটি সংখ্যা = ১৮
এবং অপর সংখ্যা = (১৮ + ১) = ১৯
উত্তর : ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় ১৮ ও ১৯
প্রশ্ন \ ১৭ \ এমন দুইটি ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা নির্ণয় কর যাদের বর্গের অন্তর একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
সমাধান : মনে করি,
ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক ও (ক + ১)
∴ তাদের বর্গের অন্তর = (ক + ১)২ – ক২
= ক২ + ২ক + ১ – ক২
= ২ক + ১
এখন, ক = ১, ২, ৩, ৪, …………. ইত্যাদি বসিয়ে পাই,
ক = ১ হলে, ২ × ১ + ১ = ৩; যা পূর্ণবর্গ নয়।
ক = ২ হলে, ২ × ২ + ১ = ৫; যা পূর্ণবর্গ নয়।
ক = ৩ হলে, ২ × ৩ + ১ = ৭; যা পূর্ণবর্গ নয়।
ক = ৪ হলে, ২ × ৪ + ১ = ৯; যা পূর্ণবর্গ।
ক = ৫ হলে, ২ × ৫ + ১ = ১১; যা পূর্ণবর্গ নয়।
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক = ৪
∴ অপর সংখ্যাটি = (ক + ১) = ৪ + ১ = ৫
উত্তর : ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৪ ও ৫
প্রশ্ন \ ১৮ \ একটি সৈন্যদলকে ৫,৬,৯ সারিতে সাজানো যায়, কিন্তু বর্গাকারে সাজানো যায় না।
(ক) ৬ এর গুণনীয়কগুলো বের কর।
(খ) সৈন্যসংখ্যাকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে সৈন্যসংখ্যাকে বর্গাকারে সাজানো যাবে ?
(গ) ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে ?
সমাধান :
(ক) ৬ = ১ × ৬ = ২ × ৩
৬ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৩, ৬
(খ) ৩ |৫, ৬, ৯
৫, ২, ৩
∴ ল.সা.গু. = ৩ × ৫ × ২ × ৩
∴ প্রাপ্ত ল.সা.গু. (৩ × ৩) × ২ × ৫ কে বর্গাকারে সাজানো যায় না।
এখন, (৩ × ৩) × ২ × ৫ কে বর্গসংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে ২ × ৫ বা ১০ দ্বারা গুণ করতে হবে।
উত্তর : সৈন্য সংখ্যাকে ১০ দ্বারা গুণ করলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
(গ) ‘খ’ থেকে প্রাপ্ত সৈন্য সংখ্যা = ৩ × ৫ × ২ × ৩ = ৯০
এখন, ৯০| ৯
৮১
৯
∴ ৯০ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়। ৯ এর সাথে ১ যোগ করে যোগফল এর বর্গ হবে পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
৯ + ১ = ১০
∴ ১০ এর বর্গ =১০2 = ১০০
সুতরাং সৈন্য যোগ করতে হবে = (১০০ – ৯০) জন = ১০ জন
উত্তর : ১০ জন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
আরো পড়ুনঃ
