প্রশ্ন

  নবম-দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৪.১ সূচক, সরল, প্রমাণ ও সমাধান SSC Math Chapter 4.1 Exponents পোস্টে সকলকে স্বাগতম।  আজকে আমরা এসএসসি বা নবম-দশম শ্রেণীর অনুশীলনী ৪.১ সূচক এর গণিত বইয়ের প্রশ্নগুলোর উত্তর জানবো। গণিত চতুর্থ অধ্যায় অনুশীলনী 4.1 শিক্ষার্থীদের কাছে অনেক সহজ মনে হতে পারে।  তবে শিক্ষার্থীরা এখানে ছোট ছোট ভুল করে থাকে  ফলে সমস্যাগুলো সমাধান ভুল হয়ে যায়।  তাই শিক্ষার্থীদের বলব তোমরা এই অধ্যায়টি খুব মনোযোগ সহকারে করবে। নবম-দশম গণিত অনুশীলনী ৪.১ সূচক প্রশ্ন উত্তর সরল কর (১-৮) ১। সমাধানঃ \[\frac{{{7^3} \times {7^{ – 3}}}}{{3 \times {3^{ – 4}}}}\] \[ = \frac{{{7^3}^{ – 3}}}{{{3^{1 – 4}}}}\] \[ = \frac{{{7^0}}}{{{3^{ – 3}}}}\] \[ = \frac{1}{{\frac{1}{{{3^3}}}}}\] \[ = \frac{1}{{\frac{1}{{27}}}}\] \[ = 27\] ২। সমাধানঃ \[ = \frac{{\sqrt[3]{{{7^2}}}.\sqrt[3]{7}}}{{\sqrt 7 }}\] \[ = \frac{{{7^{\frac{2}{3}}}{{.7}^{\frac{1}{3}}}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = \frac{{{7^{\frac{2}{3} + }}^{\frac{1}{3}}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = \frac{{{7^{\frac{{2 + 1}}{3}}}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = \frac{{{7^{\frac{3}{3}}}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = \frac{{{7^1}}}{{{7^{\frac{1}{2}}}}}\] \[ = {7^{1 – \frac{1}{2}}}\] \[ = {7^{\frac{{2 – 1}}{2}}}\] \[ = {7^{\frac{1}{2}}}\] \[ = \sqrt 7 \] ৩। সমাধানঃ \[ = {({2^{ – 1}} + {5^{ – 1}})^{ – 1}}\] \[ = {(\frac{1}{2} + \frac{1}{5})^{ – 1}}\] \[ = {(\frac{5}{{10}} + \frac{2}{5})^{ – 1}}\] \[ = {(\frac{7}{{10}})^{ – 1}}\] \[ = \frac{1}{{\frac{7}{{10}}}}\] \[ = \frac{{10}}{7}\] ৪। সমাধানঃ \[{ = {{\left( {{\bf{2}}{{\bf{a}}^{ – {\bf{1}}}} + {\bf{3}}{{\bf{b}}^{ – {\bf{1}}}}} \right)}^{ – {\bf{1}}}}}\] \[ = {\left( {{\bf{2}}\frac{1}{a} + {\bf{3}}\frac{1}{b}} \right)^{ – {\bf{1}}}}\] \[ = {\left( {\frac{2}{a} + \frac{3}{b}} \right)^{ – {\bf{1}}}}\] \[ = {\left( {\frac{{2b + 3a}}{{ab}}} \right)^{ – {\bf{1}}}}\] \[ = \frac{{ab}}{{3a + 2b}}\] ৫। সমাধানঃ \[ = {(\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}}{{\bf{b}}^{ – {\bf{1}}}}}}{{{{\bf{a}}^{ – {\bf{1}}}}{\bf{b}}}})^{\bf{2}}}\] \[ = {(\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}}\frac{1}{b}}}{{\frac{1}{{{a^2}}}{\bf{b}}}})^{\bf{2}}}\] \[ = {(\frac{{\frac{{{{\bf{a}}^{\bf{2}}}}}{b}}}{{\frac{{\bf{b}}}{{{a^2}}}}})^{\bf{2}}}\] \[ = {(\frac{{{a^2}.{a^2}}}{{b.b}})^{\bf{2}}}\] \[ = {(\frac{{{a^4}}}{{{b^2}}})^{\bf{2}}}\] \[ = \frac{{{a^8}}}{{{b^4}}}\] ৬। সমাধানঃ  \[ = \sqrt {{x^{ – 1}}y} .\sqrt {{y^{ – 1}}z} .\sqrt {{z^{ – 1}}x} {\rm{  }}(x > 0,y > 0,z > 0)\] \[ = \sqrt {\frac{1}{x}y} .\sqrt {\frac{1}{y}z} .\sqrt {\frac{1}{z}x} \] \[ = \sqrt {\frac{y}{x}} .\sqrt {\frac{z}{y}} .\sqrt {\frac{x}{z}} \] \[ = \sqrt {\frac{{y \times z \times x}}{{x \times y \times z}}} \] \[ = \sqrt 1 \] \[ = 1\] ৭। সমাধানঃ  \[ = \frac{{{2^{n + 4}} – {{4.2}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 2}} \div 2}}\] \[ = \frac{{{2^n}{2^4} – {{4.2}^n}{2^1}}}{{{2^n}{2^2} \div {2^1}}}\] \[ = \frac{{{2^n}({2^4} – {{4.2}^1})}}{{{2^n}{2^{2 – 1}}}}\] \[ = \frac{{(16 – 8)}}{{{2^1}}}\] \[ = \frac{8}{2}\] \[ = 4\] ৮। সমাধানঃ \[ = \frac{{{3^{m + 1}}}}{{{{({3^m})}^{m – 1}}}} \div \frac{{{9^{m + 1}}}}{{{{({3^{m – 1}})}^{m + 1}}}}\] \[ = \frac{{{3^{m + 1}}}}{{{3^{{m^2} – m}}}} \div \frac{{{{({3^2})}^{m + 1}}}}{{{3^{{m^2} – 1}}}}\] \[ = \frac{{{3^{m + 1}}}}{{{3^{{m^2} – m}}}} \div \frac{{{3^2}^{m + 2}}}{{{3^{{m^2} – 1}}}}\] \[ = {3^{m + 1 – {m^2} + m}} \div {3^{2m + 2 – {m^2} + 1}}\] \[ = {3^{2m + 1 – {m^2}}} \div {3^{2m + 3 – {m^2}}}\] \[ = {3^{2m + 1 – {m^2} – }}^{2m – 3 + {m^2}}\] \[ = {3^{ – 2}}\] \[ = \frac{1}{{{3^2}}}\] \[ = \frac{1}{9}\] প্রমাণ করো (৯-১৫) ৯। সমাধানঃ \[frac{{{4^n} – 1}}{{{2^n} – 1}} = \frac{{{{({2^2})}^n} – 1}}{{{2^n} – 1}}\] \[LHS = \frac{{{4^n} – 1}}{{{2^n} – 1}}\] \[ = \frac{{{{({2^2})}^n} – 1}}{{{2^n} – 1}}\] \[ = \frac{{{2^2}^n – 1}}{{{2^n} – 1}}\] \[ = \frac{{({2^2}^n – 1)({2^2}^n + 1)}}{{({2^n} – 1)({2^2}^n + 1)}}\] \[ = \frac{{({2^2}^n – 1)({2^2}^n + 1)}}{{{{({2^n})}^2} – {1^2}}}\] \[ = \frac{{({2^2}^n – 1)({2^2}^n + 1)}}{{({2^{2n}} – 1)}}\] \[ = {2^2}^n + 1\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS{\rm{  (proved)}}\] ১০। সমাধানঃ \[\frac{{{2^{2p + 1}}{{.3}^{2p + q}}{{.5}^{p + q}}{{.6}^p}}}{{{3^{p – 2}}{{.6}^{2p + 2}}{{.10}^p}{{.15}^q}}} = \frac{1}{2}\] \[LHS = \frac{{{2^{2p + 1}}{{.3}^{2p + q}}{{.5}^{p + q}}{{.6}^p}}}{{{3^{p – 2}}{{.6}^{2p + 2}}{{.10}^p}{{.15}^q}}}\] \[ = \frac{{{2^{2p + 1}}{{.3}^{2p + q}}{{.5}^{p + q}}.{{(2 \times 3)}^p}}}{{{3^{p – 2}}.{{(2 \times 3)}^{2p + 2}}.{{(2 \times 5)}^p}.{{(3 \times 5)}^q}}}\] \[ = \frac{{{2^{2p + 1}}{{.3}^{2p + q}}{{.5}^{p + q}}{{.2}^p}{{.3}^p}}}{{{3^{p – 2}}{{.2}^{2p + 2}}{{.3}^{2p + 2}}{{.2}^p}{{.5}^p}{{.3}^q}{{.5}^q}}}\]  \[ = \frac{{{2^{2p + 1 + p}}{{.3}^{2p + q + p}}{{.5}^{p + q}}}}{{{3^{p – 2 + }}^{2p + 2 + q}{{.2}^{2p + 2 + p}}{{.5}^{p + }}^q}}\] \[ = \frac{{{2^{3p + 1}}{{.3}^{3p + q}}{{.5}^{p + q}}}}{{{3^{3p + q}}{{.2}^{3p + 2}}{{.5}^{p + }}^q}}\] \[ = {2^{3p + 1 – 3p – 2}}{.3^{3p + q – 3p – q}}{.5^{p + q – p – q}}\] \[ = {2^{ – 1}}{.3^0}{.5^0}\] \[ = {2^{ – 1}}.1.1\] \[ = \frac{1}{2}\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS(proved)\] ১১। সমাধানঃ \[{(\frac{{{a^l}}}{{{a^m}}})^n}.{(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}})^l}{(\frac{{{a^n}}}{{{a^l}}})^m} = 1\] \[LHS = {(\frac{{{a^l}}}{{{a^m}}})^n}.{(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}})^l}{(\frac{{{a^n}}}{{{a^l}}})^m}\] \[ = {a^{\ln  – m}}^n.{a^{ml – n}}^l{a^{nm – l}}^m\] \[ = {a^{\ln  – mn + ml – nl + nm – lm}}\] \[ = {a^0}\] \[ = 1\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS{\rm{    }}(proved)\] ১২। সমাধানঃ \[\frac{{{a^{p + q}}}}{{{a^{2r}}}} \times \frac{{{a^{q + q}}}}{{{a^{2p}}}} \times \frac{{{a^{r + p}}}}{{{a^{2q}}}} = 1\] \[LHS = \frac{{{a^{p + q}}}}{{{a^{2r}}}} \times \frac{{{a^{q + q}}}}{{{a^{2p}}}} \times \frac{{{a^{r + p}}}}{{{a^{2q}}}}\] \[ = \frac{{{a^{p + q – 2r + p + q + r + p}}}}{{{a^{2r + 2p + 2q}}}}\] \[ = \frac{{{a^{2p + 2q + 2r}}}}{{{a^{2r + 2p + 2q}}}}\] \[ = {a^{2p + 2q + 2r – 2p – 2q – 2r}}\] \[ = {a^0}\] \[ = 1\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS{\rm{    }}(proved)\] ১৩। সমাধানঃ \[{(\frac{{{x^a}}}{{{a^b}}})^{\frac{1}{{ab}}}}.{(\frac{{{x^b}}}{{{a^c}}})^{\frac{1}{{bc}}}}.{(\frac{{{x^c}}}{{{a^a}}})^{\frac{1}{{ca}}}} = 1\] \[LHS = {(\frac{{{x^a}}}{{{a^b}}})^{\frac{1}{{ab}}}}.{(\frac{{{x^b}}}{{{a^c}}})^{\frac{1}{{bc}}}}.{(\frac{{{x^c}}}{{{a^a}}})^{\frac{1}{{ca}}}}\] \[ = {({x^{a – b}})^{\frac{1}{{ab}}}}.{({x^{b – c}})^{\frac{1}{{bc}}}}.{({x^{c – a}})^{\frac{1}{{ca}}}}\] \[ = {x^{\frac{{a – b}}{{ab}}}}.{x^{\frac{{b – c}}{{bc}}}}.{x^{\frac{{c – a}}{{ca}}}}\] \[ = {x^{\frac{{a – b}}{{ab}} + \frac{{b – c}}{{bc}} + \frac{{c – a}}{{ca}}}}\] \[ = {x^{\frac{{c(a – b) + a(b – c) + b(c – a)}}{{abc}}}}\] \[ = {x^{\frac{{ac – bc + ab – ac + bc – ab}}{{abc}}}}\] \[ = {x^{\frac{0}{{abc}}}}\] \[ = {x^0}\] \[ = 1\] \[ = RHS\] \[\therefore LHS = RHS{\rm{    }}(proved)\] ১৪। সমাধানঃ \[{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{a}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{b}}}}}} \right)^{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}.{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{b}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{c}}}}}} \right)^{{\bf{b}} + {\bf{c}}}}.{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{c}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{a}}}}}} \right)^{{\bf{c}} + {\bf{a}}}}{\rm{ = 1}}\] \[LHS = {\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{a}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{b}}}}}} \right)^{{\bf{a}} + {\bf{b}}}}.{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{b}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{c}}}}}} \right)^{{\bf{b}} + {\bf{c}}}}.{\left( {\frac{{{{\bf{x}}^{\bf{c}}}}}{{{{\bf{x}}^{\bf{a}}}}}} \right)^{{\bf{c}} + {\bf{a}}}}\] \[ = {({x^a}^{ – b})^{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}.{({x^b}^{ – c})^{b{\rm{ }} + {\rm{ }}c}}.{({x^c}^{ – a})^{c{\rm{ }} + {\rm{ }}a}}\] \[ = {x^{(a}}^{ – b)\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}.{x^{(b}}^{ – c)\left( {b{\rm{ }} + {\rm{ }}c} \right)}.{x^{(c}}^{ – \;a)\left( {c{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)}\] \[ = {x^a}^{^2\; – {b^2}}.{x^b}^{^2\; – {c^2}}.{x^c}^{^2\; – {a^2}}\] \[ = {x^{{a^2} – {b^2} + {b^2} – {c^2}

  নবম-দশম শ্রেণির গণিত দ্বিতীয় অধ্যায়ঃ সেট ও ফাংশন অনুশীলনী- ২.১ সেট SSC Math Chapter 2.1 Set পোস্টে সকলকে স্বাগতম।  আজকে গণিত সেট অধ্যায়ের অনুশীলনির প্রশ্ন ও উত্তর গুলো দেওয়া হবে।  নবম-দশম বা এসএসসি পরীক্ষার্থীদের জন্য সাধারণ গণিত দ্বিতীয় অধ্যায় সেট ও ফাংশন এর অনুশীলনীর প্রশ্ন গুলো খুবই গুরুত্বপূর্ণ। ২.১ সেট অনুশীলনীর  প্রশ্নগুলো অনুশীলন করলে সৃজনশীল অংশ খুব সহজ হয়ে যাবে। নবম-দশম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী- ২.১ সেট প্রশ্ন ১ নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর : (ক) {x ∈ N : x2 > 9 এবং x3 < 130} সমাধান : যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ ৯ অপেক্ষা বড় এবং ঘন ১৩০ অপেক্ষা ছোট তাদের সেট। আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..} এখানে, x = 1 হলে, x2 = 12= 1⊁9       এবং  x3 = 13 = 1 < 130 x = 2 হলে, x2 = 22 = 4⊁9     এবং x3 = 23 = 8 < 130 x = 3 হলে, x2 = 32 = 9 ≥9     এবং x3 = 33 = 27 < 130 x = 4 হলে, x2 = 42  = 16 > 9  এবং x3  = 43 = 64 < 130 x = 5 হলে, x2 = 52  = 25 > 9  এবংx3 = 53= 125< 130 x = 6হলে x2 = 62 = 36 > 9   এবং x3= 63 = 216 ⊀ 130 ∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যাগুলো 4, 5 ∴ নির্ণেয় সেট = {4, 5} $ads={1} (খ) {x ∈ Z : x2 > 5 এবং x2 £ 36} সমাধান : যে সকল পূর্ণসংখ্যার বর্গ 5 অপেক্ষা বড় এবং 35 অপেক্ষা বড় নয় তাদের সেট। আমরা জানি, পূর্ণসংখ্যার সেট  Z = {. . . .  – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 . . . . . } এখানে, x =   0 হলে, x2= 02 = 0 ⊁5       এবং 0 < 36 x = ±1 হলে, x2 = (±1)2 = 1 ⊁5      এবং 1 < 36 x = ±2 হলে, x2 = (±2)2 = 4⊁5 এবং 4 < 36 x = ±3 হলে, x2 = (±3)2 = 9 > 5   এবং 9 < 36 x = ±4 হলে, x2 = (±4)2 = 16 > 5 এবং 16 < 36 x = ±5 হলে, x2= (±5)2 = 25 > 5 এবং 25 < 36 x = ±6 হলে, x2= (±6)2 = 36 > 5 এবং 36 = 36 x = ±7 হলে, x2= (±7)2 = 49 > 5 এবং 49 ⊀  36     …………………………………………………     ………………………………………………… ∴শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যাসমূহ: ±3, ±4, ±5, ±6 নির্ণেয় সেট = {± 3, ±4, ±5, ±6} (গ){x ∈ N : x, 36  এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক } সমাধান : যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা ৩৬ এর গুণনীয়ক এবং ৬ এর গুণিতক তাদের সেট। আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যা সেট N = (1, 2, 3, 4, 5, . . . . .. ) এখানে, 36 = 1×36             = 2 ×18             = 3×12             = 4×9            = 6×6 ∴ 36  এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 এবং 6 এর গুণিতকসমূহ 6, 12, 18, 24, 30, 36 . . . . . . ∴36  এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতকগুলো হলো যথাক্রমে 6, 12, 18, 36 নির্ণেয় সেট = {6, 12, 18, 36} (ঘ) {x ∈ N : x3 > 25 এবং x4 < 264} সমাধান : যেসকল স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন 25 অপেক্ষা ছোট এবং চতুর্ঘাত 264 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট। আমরা জানি,  স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N = (1, 2, 3, 4, 5, 6,  . . . . . } এখানে,  x = 1 হলে,x3 = 13 = 1⊁25 এবং  x4 = 14= 1 < 264       x = 2হলে,x3 = 23 = 8⊁25 এবং  x4 = 24= 16 < 264      x = 3 হলে,x3 = 33 = 27 > 25 এবং  x4 = 34= 81< 264       x = 4 হলে,x3 = 43 = 64 > 25 এবং  x4 = 44= 256 < 264       x = 5 হলে,x3 = 53 = 125 > 25 এবং  x4 = 54= 625 ⊀264     …………………………………………………     ………………………………………………… ∴ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ 3, 4 নির্ণেয় সেট = {3, 4} $ads={1} প্রশ্ন ২ নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর: (ক) {3, 5, 7, 9, 11} সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 3, 5, 7, 9, 11 এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যা 1 থেকে বড় এবং 13 থেকে ছোট। নির্ণেয় সেট = {x ∈ N : x  বিজোড় সংখ্যা এবং 1＜x＜13} (খ) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 36 এর গুণনীয়ক। নির্ণেয় সেট = {x ∈N : x, 36 এর গুণনীয়ক}   গ) {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40} সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান 4 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ 4 এর গুণিতক এবং 40 এর বড় নয়। নির্ণেয় সেট = {x ∈ N : x, 4  এর গুণিতক এবং x ≤ 40} (ঘ) {± 4, ± 5, ± 6} সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ – 6, – 5, – 4, 4, 5, 6 এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা। বর্গ 16 অপেক্ষা ছোট নয় এবং ঘন 216 অপেক্ষা বড় নয়। নির্ণেয় সেট = {x ∈ Z : x2 ≥16 এবং x3 ≤ 216}     প্রশ্ন ৩  A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a} এবং C = {2, a, b}  হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় কর।   (ক) BC সমাধান : দেওয়া আছে, B = {1, 2, a}      এবং C = {2, a, b} ∴ B C = {1, 2, a} {2, a, b} = {1} (Ans.)   (খ) A ∪ B সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}         এবং B = {1, 2, a}            ∴ A ∪ B = {2, 3, 4} ∪ {1, 2, a}              = {1, 2, 3, 4, a} (Ans.) (গ) A ∩ C সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}       এবং C = {2, a, b} ∴ A ∩ C = {2, 3, 4} ∩ {2, a, b}                                     = {2} (Ans.) (ঘ) A ∪ (B ∩ C) সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a} এবং C = {2, a, b} এখন, B ∩ C = {1, 2, a} ∩ {2, a, b} = (2, a) ∴A ∪ (B ∩ C) = {2, 3, 4} ∪ {2, a}                     = {2, 3, 4, a} (Ans.)   (ঙ) A ∩ (B ∪ C) সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a} এবং C = {2, a, b} এখন, B ∪ C = {1, 2, a} ∪ {2, a, b} = (1, 2, a, b)         ∴ A ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 4} ∩ {1, 2, a, b} = {2} (Ans.) প্রশ্ন ৪  U = {1, 2, 3, 4,