এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.২ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.২ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান পেতে নিচে দেখুন। সকল অধ্যায়ের অনুশীলনীর প্রশ্ন সমাধান সহ বহুনির্বাচনী ও সৃজনশীল প্রশ্ন উত্তরের পেতে পোস্টের শেষে দেওয়া লিংক দেখুন।

নবম-দশম শ্রেণির সাধারণ গণিত ১৬.২ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি বা সূত্রসমূহ

(1) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা s = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
এবং কর্ণ d = $\sqrt {{a^2} + {b^2}}$

(2) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)²
লক্ষ করি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা s = 4a
এবং কর্ণ d= $\sqrt {{a^2} + {a^2}}$ = $\sqrt {2{a^2}}$ = √2a

(3) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
(ক) ভূমি ও উচ্চতা দেওয়া থাকলে।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা

(খ) একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং ঐ কর্ণের বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে।

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = কর্ণের দৈর্ঘ্য × কর্ণ থেকে বিপরীত শীর্ষ বিন্দুর দুরুত্ব।

(4) রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল

(5) ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল

(6) সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল
সুষম বহুভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান। আবার কোণগুলো সমান। n সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের কেন্দ্র ও শীর্ষ বিন্দুগুলো যোগ করলে n সংখ্যক সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
সুতরাং বহুভুজের ক্ষেত্রফল = n × একটি ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
∴ n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল

${\rm{ = }}\frac{{n{a^2}}}{4}{\rm{ cot }}\left( {\frac{{180^\circ }}{n}} \right)$

সাধারণ গণিত ১৬.২ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন \ 1 \ একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার (প্রস্থ) = x মি.
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্h= 2x মি.
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= 2x × x = 2x² বর্গ মি.
প্রশ্নানুসারে, 2x² = 512 বা, x² = 256 ∴ x = 16
অতএব, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = 16 মি.
এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্h= 2 × 16 মি. বা 32 মি.
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(32 + 16) মিটার
= 96 মিটার (Ans)

প্রশ্ন \ 2 \ একটি জমির দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 60 মিটার। ঐ জমির মাঝে একটি পুকুর খনন করা হলো। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার 4 মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, জমির দৈর্ঘ্h= 80 মিটার
এবং প্রস্থ = 60 মিটার
∴ জমির ক্ষেত্রফল = জমির দৈর্ঘ্য × জমির প্রস্থ
= (80 × 60) মিটার বা 4800 বর্গমিটার
পাড় বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্h= (80 – 2 × 4) মিটার
= (80 – 8) মিটার বা 72 মিটার
পুকুরের প্রস্থ = (60 – 2 × 4) মিটার
= (60 – 8) মিটার বা 52 মিটার
∴ পাড় বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল = (72 × 52) বর্গমিটার
= 3744 বর্গমিটার
∴ পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল = জমির ক্ষেত্রফল – পুকুরের ক্ষেত্রফল
= (4800 – 3744) বর্গমিটার
= 1056 বর্গমিটার (Ans)

প্রশ্ন \ 3 \ একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 40 মিটার এবং প্রস্থ 30 মিটার। বাগানের ভিতরে সমান পাড়বিশিষ্ট একটি পুকুর আছে। পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের 12 অংশ হলে, পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, পুকুর পাড়ের প্রস্থ = x মি.
এখানে, বাগানের দৈর্ঘ্h= 40 মি.
এবং বাগানের প্রস্থ = 30 মি.
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = (40 × 30) বর্গমি. বা 1200 বর্গমি.
∴ পাড়বাদে পুকুরের দৈর্ঘ্h= (40 – 2x) মি.
এবং পাড়বাদে পুকুরের প্রস্থ = (30 – 2x) মি.
পাড়বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল = (40 – 2x) (30 – 2x) বর্গমি.
শর্তানুসারে,
পুকুরের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × বাগানের ক্ষেত্রফল
বা, (40 – 2x) (30 – 2x) = $\frac{1}{2}$ × 1200
বা, 1200 – 80x – 60x + 4x² = 600
বা, 4x² –140x + 1200 – 600 = 0
বা, 4x² –140x + 600 = 0
বা, 4(x² – 35x + 150) = 0
বা, x² – 30x – 5x + 150 = 0
বা, x(x – 30) – 5(x – 30) = 0
বা, (x- 30) (x- 5) = 0
হয়, (x- 30) = 0 অথবা, (x- 5) = 0
∴ x = 30 ∴ x = 5
কিন্তু পুকুরের পাড়ের প্রস্থ বাগানের প্রস্থের সমান হতে পারে না।
∴ x = 5 অর্থাৎ, পুকুর পাড়ের প্রস্থ = 5 মিটার
∴ পুকুরের দৈর্ঘ্h= (40 – 2x) মিটার
= (40 – 2 × 5) মিটার
= (40 – 10) মিটার = 30 মিটার
এবং পুকুরের প্রস্থ = (30 – 2x) মিটার
= (30 – 2 × 5) মিটার
= (30 – 10) মিটার = 20 মিটার
নির্ণেয় পুকুরের দৈর্ঘ্য 30 মি. এবং প্রস্থ 20 মি.

প্রশ্ন \ 4 \ একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে 5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = x2 বর্গ মি.
রাস্তার ক্ষেত্রফল = 500 বর্গ মি.
অতএব, রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (x + 500) বর্গমি. … … … … (i)
আবার, রাস্তাসহ বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্h= (x + 2 × 5) মি.
= (x + 10) মি.
” ” ” ক্ষেত্রফল = (x + 10)² বর্গমি.
= (x² + 20x + 100) বর্গমিটার … … … … … (ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) থেকে পাই, x² + 20x + 100 = x² + 500
বা, 20x = 400 ∴ x = 20
অতএব, মাঠের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ মি. = 20² বর্গমি.
= 400 বর্গমিটার। (Ans)

প্রশ্ন \ 5 \ একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। প্রতিটি 40 সে.মি. বর্গাকার পাথর দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি বাঁধতে মোট কতটি পাথর লাগবে?
সমাধান : মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্h= 3x মি.
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 3x² মি.
প্রশ্নানুসারে, 3x² = 768 বা, x² = 256 ∴ x = 16
অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 16 মি.
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্h= 3 × 16 মি. বা 48 মি.
অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2(48 + 16) মি. বা 128 মি.
অতএব, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 128 মিটার
∴ ” এক বাহুর দৈর্ঘ্h= (128 ÷ 4) মি. বা 32 মি.
∴ ” ক্ষেত্রফল = (32)² বর্গমি. বা 1024 বর্গমি.
একটি পাথরের ক্ষেত্রফল = (0.4)² বর্গমি. বা 0.16 বর্গমি.
∴ মোট পাথর লাগবে = (1024 ÷ 0.16)টি বা 6400টি। (Ans)

প্রশ্ন \ 6 \ একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্h= x মি.
এবং আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = y মি.
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = xy বর্গমি.
প্রশ্নানুসারে, xy = 160 ….. ….. ….. ….. ….. ….. (i)
আবার শর্তানুসারে, x- 6 = y
বা, x = y+ 6 …… ….. ….. ….. (ii)
এখন, x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(y+ 6)y = 160
বা, y² + 6y – 160 = 0
বা, y² + 16y – 10y – 160 = 0
বা, (y+ 16) (y – 10) = 0
হয়, y+ 16 = 0 অথবা, y – 10 = 0
∴ y= -16 ∴ y= 10
কিন্তু y= -16 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ y= 10
এখন (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
x = 10 + 6 ∴ x = 16
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 মিটার এবং প্রস্থ 10 মিটার। (Ans)

প্রশ্ন \ 7 \ একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার 34 অংশ এবং ক্ষেত্রফল 363 বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটির ভূমি ও উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, সামান্তরিকের উচ্চতা h=x মিটার
∴ সামান্তরিকের ভূমি b= $\frac{{3x}}{4}$ মিটার
এবং ক্ষেত্রফল = bh= $\frac{{3x}}{4}$ × x বা, $\frac{{3{x^2}}}{4}$ বর্গমিটার
প্রশ্নানুসারে, $\frac{{3{x^2}}}{4}$ = 363
বা, 3x² = 363 × 4

বা, x² = $\frac{{1452}}{3}$

বা, x² = 484

∴ x = $\sqrt {484}$

= 22
∴ সামান্তরিকের উচ্চতা = 22 মিটার
এবং ভূমি = $\frac{3}{4}$ × 22 মিটার = 16.5 মিটার
নির্ণেয় সামান্তরিকের ভূমি 16.5 মিটার এবং উচ্চতা 22 মিটার।

প্রশ্ন \ 8 \ একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 125 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান : সামান্তরিকের ভূমি 125 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 125 × 5 বর্গমিটার
= 625 বর্গমিটার
শর্তমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
= 625 বর্গমিটার
এখন, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে, ক্ষেত্রফল = a² বর্গমিটার
তাহলে, a² = 625 বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, a= $\sqrt {625}$ মিটার = 25 মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a √2 = 25√2 = 35.35 মিটার (প্রায়)
নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 35.35 মিটার (প্রায়)।

প্রশ্ন \ 9 \ একটি সামান্তরিকের বাহুর দৈর্ঘ্য 30 সে. মি. এবং 26 সে. মি.। এর ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 28 সে.মি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান :
মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক

এখানে, ΔABC -এর AB = a = 26 সে.মি. BC = b = 30 সে. মি. এবং AC = c = 28 সে. মি.

পরিসীমার অর্ধেক, s= (a + b + c)÷2
= (26 + 30 + 28)÷2 = 84÷2 = 42 সে. মি.
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = $\sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}$

= $\sqrt {42(42 - 26)(42 - 30)(42 - 28)}$ বর্গ সে. মি.
= $\sqrt {42 \times 16 \times 12 \times 14}$ বর্গ সে. মি.
= $\sqrt {14 \times 3 \times 16 \times 12 \times 14}$ বর্গ সে. মি.
= $\sqrt {{{(14)}^2} \times {{(4)}^2} \times 36}$ বর্গ সে. মি.
= $\sqrt {{{(14)}^2} \times {{(4)}^2} \times {{(6)}^2}} {\rm{ }}$ বর্গ সে. মি.
= 14 × 4 × 6 বর্গ সে. মি.
= 336 বর্গ সে. মি.

আবার, ΔABC-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা
= $\frac{1}{2}$ × BC × AE [এখানে AE উচ্চতা ]
= $\frac{1}{2}$ × 30 × AE
= 15 AE বর্গ সে. মি.

শর্তানুসারে, 15 AE = 336
বা, AE = 336÷15 = 22.4 সে. মি.
এখন, ABE সমকোণী ত্রিভুজে,
AE² + BE² = AB²
বা, (22.4)² + BE² = (26)²
বা, BE² = (26)² – (22.4)²

= 676 – 501.76 = 174.24
∴ BE = √174.24 = 13.2 সে. মি.
এখন, BF = BC + CF
= BC + BE [ যেহেতু BE = CF]
= 30 + 13.2
= 43.2 সে. মি.
সুতরাং, BDF সমকোণী ত্রিভুজে BD অতিভুজ
∴ BD² = BF² + DF²
= (43.2)² + (22.4)² [∴ DF = AE]
= 1866.24 + 501.76
= 2368 সে. মি.
∴ সামান্তরিকের কর্ণ, BD = √2368 = 48.66 সে. মি.
সুতরাং কর্ণের দৈর্ঘ্য 48.66 সে. মি. (প্রায়)। (Ans)

প্রশ্ন \ 10 \ একটি রম্বসের পরিসীমা 180 সে. মি. এবং ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 54 সে. মি.। এর অপর কর্ণ এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি ABCD একটি রম্বস এবং এর AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
রম্বসের পরিসীমা = 180 সে. মি.

এক বাহুর দৈর্ঘ্h= 180/4 সে. মি. বা 45 সে. মি.
ধরি, রম্বসের একটি কর্ণ, BD = 54 সে.মি.
যেহেতু, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, OD = 54/2 সে. মি = 27 সে. মি.
এখন, cOD সমকোণী ত্রিভুজে,
CD = 45 সে. মি. এবং OD = 27 সে.মি.
সুতরাং, DO² + CO² = CD² [∵ CD = অতিভুজ]
বা, (27)² + CO² = (45)²
বা, CO² = (45)² – (27)²
বা, CO² = 2025 – 729
বা, CO² = 1296
বা, CO = √1296 = 36 সে. মি.
[ধনাত্মক মান নিয়ে, যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না]
অতএব, কর্ণ AC = 2CO = 2 × 36 সে. মি. = 72 সে. মি.
এখানে, BD বা, d1 = 54 সে. মি.
এবং AC বা d2 = 72 সে. মি.
অতএব, রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × d1 × d1
= $\frac{1}{2}$ × 54 × 72 বর্গ সে. মি.
= 1944 বর্গ সে. মি.
নির্ণেয় অপর কর্ণ 72 সে. মি. এবং ক্ষেত্রফল 1944 বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন \ 11 \ একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যরে অন্তর 8 সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব 24 সে.মি.। যদি এর ক্ষেত্রফল 312 বর্গ সে.মি. হয় ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি a ও b এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব h;
অতএব, 312 = $\frac{1}{2}$ (a + b) × h বা, 312 = $\frac{1}{2}$ (a + b) × 24
বা, 312 × 224 = a + b
∴ a + b= 26 ….. ….. ….. ….. ….. ….. …. (i)
প্রশ্নানুসারে, a – b= 8 ….. ….. ….. ….. ….. ……… (ii)
এখন, (i) + (ii) থেকে পাই, 2a= 34

∴ a= 17
(i) – (ii) থেকে পাই, 2b= 18

∴ b= 9
∴ বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 17 সে.মি. ও 9 সে.মি. (Ans)

প্রশ্ন \ 12 \ একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 31 সে. মি. ও 11 সেন্টিমিটার এবং অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 12 সে. মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান :
ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু AB হতে DC এর সমান AE অংশ কেটে নিই।

তাহলে, AE = CD = 11 সে. মি.
সুতরাং, BE = AB – AE = (31 – 11) সে. মি.
= 20 সে. মি.
ΔBEc এর CE = a = 10 সে. মি.
BE = b = 20 সে. মি.
এবং BC = c = 12 সে. মি.
পরিসীমার অর্ধেক, s = $\frac{{a + b + c}}{2}$

= $\frac{{10 + 20 + 12}}{2}$

= $\frac{{42}}{2}$ সে. মি. = 21 সে. মি.
ΔBCE এর ক্ষেত্রফল = $\sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)}$

= $\sqrt {21(21 - 10)(21 - 20)(21 - 12)}$ বর্গ সে.মি.
= $\sqrt {21 \times 11 \times 1 \times 9}$ বর্গ সে.মি.
= $3\sqrt {21 \times 11}$ বর্গ সে.মি.
= 45.5 বর্গ সে.মি.

এখন, CF, ΔBEc এর উচ্চতা
সুতরাং $\frac{1}{2}$ × ভূমি × উচ্চতা = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
বা, $\frac{1}{2}$ × BE × CF = 45.5
বা, $\frac{1}{2}$ × 20 × CF = 45.5

∴ CF = $\frac{{45.5}}{{10}}{\rm{ }}$

ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা, CF = $\frac{{45.5}}{{10}}{\rm{ }}$ সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু, a= 31 সে.মি. এবং b= 11 সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ (a + b) য
= $\frac{1}{2}$ (31 + 11) × $\frac{{45.5}}{{10}}{\rm{ }}$ বর্গ সে. মি.
= $\frac{1}{2}$ × 42 × $\frac{{45.5}}{{10}}{\rm{ }}$ বর্গ সে.মি.
= 21 × $\frac{{45.5}}{{10}}{\rm{ }}$ = $\frac{{957.5}}{{10}}$ = 95.75 (প্রায়) বর্গ সে. মি. (Ans)

প্রশ্ন \ 13 \ একটি সুষম অষ্টভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 1.5 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান :
মনে করি, ABCDEFGH একটি সুষম অষ্টভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো।

ফলে 8টি সমান ক্ষেত্র বিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।

∴ ∠AOB = $\frac{{360^\circ }}{8}$ = 45°

মনে করি, কেন্দ্র ঙ থেকে শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব, a= 1.5 মিটার
∴ Δ ক্ষেত্র AOB-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ a.aSin45° = $\frac{1}{2}$ a² Sin45°
= $\frac{1}{2}$ .(1.5)². $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ = 0.795 বর্গমিটার
∴ সুষম অষ্টভুজের ক্ষেত্রফল = 8 × Δক্ষেত্র AOB-এর ক্ষেত্রফল
= 8 × 0.795 বর্গমিটার
= 6.36 বর্গমিটার
নির্ণেয় অষ্টভুজের ক্ষেত্রফল 6.36 বর্গমিটার (প্রায়)।

প্রশ্ন \ 14 \ আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 150 মিটার এবং প্রস্থ 100 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 3 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে।
(ক) উপরের তথ্যটি চিত্রের সাহায্যে সংক্ষিপ্ত বর্ণনা দাও।
(খ) রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
(গ) রাস্তাটি পাকা করতে 25 সে.মি. দৈর্ঘ্য এবং 12.5 সে.মি. প্রস্থবিশিষ্ট কয়টি ইটের প্রয়োজন হবে?
সমাধান : (ক) প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে আয়তাকার বাগানের চিত্র অঙ্কিত হলো :

আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য 150 মিটার এবং প্রস্থ 100 মিটার। বাগানের মাঝ বরাবর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থে দুইটি রাস্তা আছে যাদের প্রশস্ততা 3 মিটার। রাস্তা দুইটি পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।

(খ) বাগানের দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (150 × 3) বর্গমিটার
= 450 বর্গমিটার
এবং বাগানের প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (100 – 3) × 3 বর্গমিটার
= 291 বর্গমিটার
∴ অতএব, রাস্তাদ্বয়ের ক্ষেত্রফল = (450 + 291) বর্গমিটার
= 741 বর্গমিটার
নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল 741 বর্গমিটার।

(গ) ‘খ’ হতে পাই, রাস্তার ক্ষেত্রফল 741 বর্গমিটার।
দেওয়া আছে, ইটের দৈর্ঘ্h= 25 সে.মি. = 0.25 মি.
এবং প্রস্থ = 12.5 সে.মি. = 0.125 মি.
∴ ইটের ক্ষেত্রফল = (0.25 × 0.125) বর্গমিটার বা 0.03125 বর্গমিটার
0.03125 বর্গমিটার রাস্তা পাকা করতে ইটের প্রয়োজন
= $\frac{{741}}{{0.03125}}$ টি
= 23712 টি
∴ রাস্তাটি পাকা করতে 23712টি ইট প্রয়োজন। (Ans)

প্রশ্ন \ 15 \ বহুভুজ চিত্রে তথ্য অনুসারে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

চিত্রে মাঝের ক্ষেত্রটি একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 22 সে.মি.
∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (22)² বর্গ সে.মি. বা 484 বর্গ সে.মি.
বর্গক্ষেত্রটির চারপাশে চারটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ আছে, যেখানে প্রত্যেক ত্রিভুজক্ষেত্রের ভূমি 22 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি.।
∴ চারটি ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 4 × $\frac{1}{2}$ × 22 × 12 বর্গ সে.মি.
= 528 বর্গ সে.মি.
সুতরাং চিত্রে ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (484 + 528) বর্গ সে.মি.
= 1012 বর্গ সে.মি. (Ans)

প্রশ্ন \ 16 \ নিচের চিত্রের তথ্য থেকে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :
1ম চিত্রে :

মনে করি, ABCD একটি চতুর্ভুজ। যার AB = 4 সে.মি. CD = 2.4 সে.মি. এবং BC = 3 সে.মি.
c বিন্দু হতে AB এর উপর CE লম্ব টানি।
সুতরাং AE = CD = 2.4 সে.মি. হবে।
∴ BE = AB – AE = (4 – 2.4) সে.মি. = 1.6 সে.মি.
এখন, সমকোণী ত্রিভুজ BCE হতে পাই,
BC2 = BE2 + CE2
বা, 3² = (1.6)² + CE²
বা, CE² = 9 – 2.56
বা, CE = √6.44 ∴ CE = 2.538 সে.মি.
∴ BCE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × 1.6 × 2.538
= 2.03 বর্গ সে.মি.
এবং AECD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 2.4 × 2.538 বর্গ সে.মি.
= 6.091 বর্গ সে.মি.
∴ ট্রাপিজিয়াম ABCD এর ক্ষেত্রফল
= চতুর্ভুজ AECD এর ক্ষেত্রফল + BCE ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (6.091 + 2.03) বর্গ সে.মি.
= 8.121 বর্গ সে.মি. (Ans)

দ্বিতীয় চিত্রে :

চিত্র হতে পাই,
ABCD ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় AB = 25 সে.মি.,
DC = 20 সে.মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
AD = 12 সে.মি.
∴ ABCD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × (AB + DC) × AD
= $\frac{1}{2}$ × (25 + 20) × 12 বর্গ সে.মি.
= $\frac{1}{2}$ × 45 × 12 বর্গ সে.মি.
= 45 × 6 বর্গ সে.মি.
= 270 বর্গ সে.মি.
[বি. দ্র. পাঠ্য বইয়ের চিত্রে AB বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এর পরিবর্তে 25 সে.মি. ধরে সমাধান করা হয়েছে।]

3য় চিত্রে :

মনে করি, ABCDঊ একটি পঞ্চভুজ।
ΔADঊ এর ক্ষেত্রফল = $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$ (2)2 [∵ΔADE সমবাহু বলে]
= $\frac{{\sqrt 3 }}{4}$ × 4 = √3 বর্গ সে.মি.
= 1.732 বর্গ সে.মি.
ΔACD এ AD = 2 সে.মি.
ধরি, CD =x তাহলে, Sin30° = $\frac{x}{2}$

বা, $\frac{1}{2}$ = $\frac{x}{2}$ বা, x = 2/2 ∴ x = 1
∴ CD = 1 সে.মি.
∴ ΔACD এ AD² = CD² + AC²
বা, 2² = 1² + AC²
বা, AC² = 4 – 1 = 3
∴ AC = √3 = 1.732
∴ ΔACD এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × 1.732 × 1 = 0.866 বর্গ সে.মি.
এখন, ΔABC এ ধরি, BC = y
Sin30° = $\frac{y}{{1.732}}$

বা, $\frac{1}{2}$ = $\frac{y}{{1.732}}$

বা, y= $\frac{{1.732}}{2}$

∴ y= 0.866
ΔABC এ AC² = BC² + AB²
বা, (1.732)² = (0.866)² + AB²
বা, AB² = 3 – 0.75
বা, AB = √2.25 ∴ AB = 1.5
∴ ΔABC এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × 1.5 × 0.866 = 0.65 বর্গ সে.মি.
∴ ABCDঊ পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল = ΔADঊ এর ক্ষেত্রফল + ΔACD এর ক্ষেত্রফল + ΔABC এর ক্ষেত্রফল
= (1.732 + 0.866 + 0.65) বর্গ সে.মি.
= 3.248 বর্গ সে.মি. (Ans)

4র্থ চিত্রে :

চিত্রটিকে A, B, C, D, E, F, G ও H দ্বারা চি‎িহ্নত করি।

প্রদত্ত চিত্রে, ABCD একটি বর্গক্ষেত্র।
AB, BC, CD ও AD এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F, G ও H সুতরাং উৎপন্ন EFGH একটি বর্গক্ষেত্র।

∴ EF = FG = GH = HE = 25 সে.মি.
F, H যোগ করি।
সমকোণী ত্রিভুজ FGH হতে,

(FH)² = (FG)² + (GH)² = (25)² + (25)² = 625 + 625

বা, (FH)² = 2 × 625
বা, FH = $\sqrt {2 \times {{(25)}^2}}$

∴FH = 25√2
যেহেতু, BC ও AD এর মধ্যবিন্দু F ও H এবং AB ।। FH সুতরাং AB = FH = 25√2
অর্থাৎ, AB = BC = CD = AD = 25√ 2
∴ ABCD এর ক্ষেত্রফল = (25√2)² বর্গ সে.মি.
= 625 × 2 বর্গ সে.মি.
= 1250 বর্গ সে.মি. (Ans)

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.১ অনুশীলনী

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.৩ অনুশীলনী

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.৪ অনুশীলনী

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত সকল অধ্যায়

Share to help others: