এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.৪ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.৪ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান দেখতে সম্পূর্ণ পোস্টটি পড়ুন। এখানে এসএসসি পরিমিতি ১৬ অধ্যায়ের সকল অনুশীলনীর উত্তরের লিংক সহ দেওয়া আছে। সেই সাথে এসএসসি সাধারণ গণিতের সকল অধ্যায়ের প্রশ্ন সমাধান দেওয়া আছে।

সাধারণ গণিত ১৬.৪ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

পাঠ সম্পর্কিত সূত্রাবলী
⇒ আয়তাকার ঘনবস্তু :
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুটির কর্ণ = $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

(2) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আয়তাকার ঘনবস্তুটির 6টি তল

আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca)
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = abc
⇒ ঘনক :

ঘনবস্তুর সকল বাহু সমান হয়। অর্থাৎ দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = a

(1) ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য= $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} {\rm{ = }}\sqrt {3{a^2}} {\rm{ = }}\sqrt 3 a$

(2) ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2(a.a + a.a + a.a)
= 2(a² + a² + a²) = 6a²
(3) ঘনকটির আয়তন = a . a . a = a³

⇒ বেলন:

উপরের চিত্রটি একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন যার ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
(1) ভূমির ক্ষেত্রফল = Πr²
(2) বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা = 2Πrh

(3) সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
বা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = (Πr² + 2Πrh + Πr²)
= 2Πr(r + h)
(4) আয়তন= ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = Πr²h

নবম-দশম শ্রেণির ১৬.৪ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন \ 1 \ একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি., 5 সে.মি. হলে, এর পরিসীমার অর্ধেক কত সে.মি.?
√ 12 খ 20 গ 24 ঘ 28
ব্যাখ্যা : পরিসীমা : = 2(5+7) সে.মি. = 2 × 12 সে.মি. = 24 সে.মি.
∴ অর্ধ পরিসীমা = 242 = 12 সে.মি.

প্রশ্ন \ 2 \ একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?
ক 3√3 খ 4√3 গ 6√3 * 9√3
ব্যাখ্যা : সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ধ হলে ক্ষেত্রফল = 34 a2
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = 34 × 62 বর্গ সে.মি. = 93 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন \ 3 \ একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে. মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে. মি. ও 7 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?
ক 24 √ 64 গ 96 ঘ 504
ব্যাখ্যা : ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a ও b এবং উচ্চতা য হলে ক্ষেত্রফল = 12 য(a + b) বর্গ একক
∴ প্রদত্ত ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 12 × 8(9 + 7) = 64 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন \ 4 \ নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর :
i. 4 সে.মি. বর্গাকার পাথরের পরিসীমা 16 সে.মি.
ii. 3 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পাতের ক্ষেত্রফল 3Π বর্গ সে.মি.
iii. 5 সে.মি. উচ্চতা এবং 2 সে. মি. ব্যাসার্ধের বেলন আকৃতির বস্তুর আয়তন 20Π ঘন সে.মি.
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?
ক i ও ii √ i ও iii গ ii ও iii ঘ i, ii ও iii

নিচের তথ্য অনুসারে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

সাধারণ গণিত ১৬.৪ অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন \ 5 \ ABCD আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
ক 13 খ 14 √ 14.4 (প্রায়) ঘ 15
ব্যাখ্যা : কর্ণের দৈর্ঘ্য= $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$ = 14.4 সে.মি. (প্রায়)
প্রশ্ন \ 6 \ ADF ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ক 16 খ 32 গ 64 ঘ 128
[বি. দ্i. : এখানে সঠিক তথ্য নেই]
প্রশ্ন \ 7 \ AGB অর্ধবৃত্তের পরিধি কত সে.মি.?
ক 18 √ 18.85 (প্রায়)
গ 37.7 (প্রায়) ঘ 96
ব্যাখ্যা : AGB অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ= 12/2 সে.মি. = 6 সে.মি.
AGB অর্ধবৃত্তের পরিধি = $\frac{{2\pi r}}{2}$ সে.মি. = $\frac{{2 \times 3.1416 \times 6}}{2}$ = 18.85 সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন \ 8 \ একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 16 মিটার, 12 মিটার ও 4.5 মিটার। এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a= 16 মিটার
” প্রস্থ, b= 12 মিটার
” উচ্চতা, c = 4.5 মিটার
∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
= 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক
= 2(16 × 12 + 12 × 4.5 + 4.5 × 16) বর্গমিটার
= 2(192 + 54 + 72) বর্গমিটার
= 636 বর্গমিটার

∴ আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য
= $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$ একক
= ${\rm{(}}\sqrt {{{(16)}^2} + {{(12)}^2} + {{(4.5)}^2}}$ মিটার
= $\sqrt {256 + 144 + 20.25}$ মিটার
= √420.25 মিটার
= 20.5 মিটার
এবং আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন= abc ঘন একক
= (16 × 12 × 4.5) ঘনমিটার
= 864 ঘনমিটার
নির্ণেয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য ও আয়তন যথাক্রমে 636 বর্গমিটার; 20.5 মিটার ও 864 ঘনমিটার।

প্রশ্ন \ 9 \ একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 21 : 16 : 12 এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 87 সে. মি. হলে, ঘন বস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর
দৈর্ঘ্য, a= 21x সে. মি.
প্রস্থ, b= 16x সে. মি.
উচ্চতা, c = 12x সে. মি.
এবং কর্ণ = 87 সে. মি.
আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ = $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
বা, 87 = $\sqrt {{{(21x)}^2} + {{(16x)}^2} + {{(12x)}^2}}$

বা, (21x)² + (16x)² + (12x)² = (87)² [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, 441x² + 256x² + 144x² = 7569
বা, 841x² = 7569
বা, x² = 9
∴ x = √9 = 3
সুতরাং দৈর্ঘ্য, a= 21x = 21 × 3 সে. মি. = 63 সে. মি.
প্রস্থ, b= 16x = 16 × 3 সে. মি. = 48 সে. মি.
এবং উচ্চতা, c = 12x = 12 × 3 সে. মি. = 36 সে. মি.

আমরা জানি,
ঘনবস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca)
= 2 (63 × 48 + 48 × 36 + 36 × 63)
= 2 (3024 + 1728 + 2268)
= 2 × 7020
= 14040 বর্গ সে. মি.
নির্ণেয় ঘনবস্তুটির তলের ক্ষেত্রফল 14040 বর্গ সে. মি.।

প্রশ্ন \ 10 \ একটি আয়তাকার ঘনবস্তু 48 বর্গমিটার ভূমির উপর দণ্ডায়মান। এর উচ্চতা 3 মিটার এবং কর্ণ 13 মিটার। আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য= a মি.
আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রস্থ = b মি.
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = aন বর্গ মি. = 48 বর্গমি.।
আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তু এর কর্ণ, d = $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
এখানে, উচ্চতা, c = 3 মিটার
∴ 13 = $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$
বা, 169 = a² + b² + 9
বা, a² + b² = 169 – 9 = 160 ……….. (i)
∴ (a + b)² = a² + b² + 2ab
= 160 + 2 × 48
= 256 [∵ a2 + b2 = 160 ও ab = 48]
∴ ধ + b= √256 = 16 …………………..(ii)
আবার, (a-b)2 = a² + b² – 2ab = 160 – 96 = 64
∴ a-b= 8 ……………………………….(iii)
এখন, (ii) + (iii) থেকে পাই 2a= 24 বা, a= 12
এবং (ii) – (iii) থেকে পাই, 2b= 8, বা, b= 4
অতএব আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার এবং প্রস্থ 4 মিটার। (Ans)

প্রশ্ন \ 11 \ একটি আয়তাকার কাঠের বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 8 সে. মি., 6 সে. মি. ও 4 সে.মি.। এর ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সে. মি.। বাক্সটির কাঠের পুরুত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, কাঠের পুরুত্ব =x সে. মি.
অতএব, বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, a= (8 – 2x) সে. মি.
বাক্সের ভিতরের প্রস্থ, b= (6 – 2x) সে. মি.
এবং বাক্সের ভেতরের উচ্চতা, c = (4 – 2x) সে. মি.
সুতরাং, বাক্সটির ভেতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2(ab + bc + ca) বর্গ একক
= 2{(8 – 2x) (6 – 2x) + (6 – 2x)(4 – 2x) + (4 – 2x) (8 – 2x)} বর্গ সে.মি.
= 2(48 – 28x + 4x² + 24 – 20x + 4x² + 32 – 24x + 4x)² বর্গ সে.মি.
= 2(12x² – 72x + 104) বর্গ সে.মি.

প্রশ্নানুসারে, 2(12x² – 72x + 104) = 88
বা, 12x² – 72x + 104 = 44
বা, 12x² – 72x + 60 = 0
বা, x² – 6x + 5 = 0
বা, (x – 5)(x – 1) = 0
হয়, x- 5 = 0 অথবা, x- 1 = 0
∴ x = 5 ∴ x = 1
কিন্তু, x = 5 গ্রহণযোগ্য নয়।
কারণ, বাক্সের বাইরের উচ্চতা 4 সে. মি. তাই ভেতরের উচ্চতা 5 সে. মি. হতে পারে না।
অতএব, বাক্সের কাঠের পুরুত্ব 1 সে. মি. (Ans)

প্রশ্ন \ 12 \ একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য 25 মিটার, উচ্চতা 6 মিটার এবং পুরুত্ব 30 সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি., প্রস্থ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 3 সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, দেওয়ালের দৈর্ঘ্য= 25 মিটার
” উচ্চতা = 6 মিটার
” পুরুত্ব = 30 সে.মি. = 0.3 মিটার
∴ দেওয়ালের আয়তন= (25 × 6 × 0.3) ঘনমিটার = 45 ঘনমিটার
আবার, একটি ইটের দৈর্ঘ্য= 10 সে. মি. = 0.1 মিটার
ইটের প্রস্থ = 5 সে.মি. = 0.05 মিটার
এবং ইটের উচ্চতা = 3 সে.মি. = 0.03 মিটার
∴ একটি ইটের আয়তন= (0.1 × 0.05 × 0.03) ঘনমিটার
= 0.00015 ঘনমিটার
অতএব, দেওয়ালটি তৈরি করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা = 45÷0.00015 টি
= 300000টি (Ans)

প্রশ্ন \ 13 \ একটি ঘনক আকৃতি বস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 2400 বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য= প্রস্থ = উচ্চতা = a মিটার
আমরা জানি, ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (a² + a² + a²) = 6a²
প্রশ্নমতে, 6a² = 2400
বা, a² = 24006 = 400
∴ a= √400 = 20
আবার, ঘনকের কর্ণ = $\sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}}$ = √3a
= 20 × √3 সে.মি. = 34.641 সে.মি. (প্রায়)
নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 34.641 সে.মি. (প্রায়)।

প্রশ্ন \ 14 \ 12 সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 5 সে. মি.। এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধান : এখানে, r = 5 সে. মি. এবং h= 12 সে. মি.
অতএব, বেলনের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2Πr (h + r) বর্গ একক
= 2 × 3.1416 × 5(12 + 5) বর্গ সে. মি.
= 2 × 3.1416 × 85 বর্গ সে. মি.
= 534.072 বর্গ সে. মি. (প্রায়)
এবং বেলনের আয়তন= Πr²h ঘন একক
= 3.1416 × 5² × 12 ঘন সে. মি.
= 942.48 ঘন সে. মি.
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 534.072 বর্গ সে. মি. (প্রায়) ও আয়তন 942.48 ঘন সে. মি. (প্রায়)।

প্রশ্ন \ 15 \ একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে. মি. এবং আয়তন 150 ঘন সে.মি.। বেলনের উচ্চতা এবং ভূমির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r সে. মি. এবং উচ্চতা h সে. মি.
তাহলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2Πrh বর্গ একক
এবং বেলনের আয়তন= Πr²h ঘন একক
প্রশ্নানুসারে, Πr²h= 150 …………………… (i)
এবং 2Πrh= 100 …………………. (ii)
সমীকরণ (i) কে সমীকরণ (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{{\pi {r^2}h}}{{2\pi rh}}$ = $\frac{{150}}{{100}}$

r= $\frac{{2 \times 150}}{{100}}$

r= 300100
∴ r = 3
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ 3 সে. মি.

সমীকরণ (ii) এ r এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 3.1416 × 3 × h= 100
বা, h= $\frac{{100}}{{2 \times 3.1416 \times 3}}{\rm{ }}$ = 5.3052
∴ বেলনের উচ্চতা 5.305 সে. মি. (প্রায়)
অতএব, বেলনের উচ্চতা 5.305 সে. মি. (প্রায়) ও ব্যাসার্ধ 3 সে. মি.। (Ans)

প্রশ্ন \ 16 \ একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 4400 বর্গ সে. মি.। এর উচ্চতা 30 সে. মি. হলে, সমগ্রতল নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h= 30 সে. মি.
প্রশ্নানুসারে, 2Πrh= 4400
বা, r = $\frac{{4400}}{{2\pi h}}$ = $\frac{{4400}}{{2 \times 3.1416 \times 30}}$

= 23.343 সে. মি.
∴সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2Πr (r + h) বর্গএকক
= 2 × 3.1416 × 23.343 (23.343 + 30) বর্গ সে.মি.
= 2 × 3.1416 × 23.343 × 53.343 বর্গ সে.মি.
= 7823.7505 বর্গ সে. মি. (প্রায়) (Ans)

প্রশ্ন \ 17 \ একটি লোহার পাইপের ভিতরের ও বাইরের ব্যাস যথাক্রমে 12 সে. মি. ও 14 সে. মি. এবং পাইপের উচ্চতা 5 মিটার। 1 ঘন সে. মি. লোহার ওজন 7.2 গ্রাম হলে, পাইপের লোহার ওজন নির্ণয় কর।
সমাধান : পাইপের বাইরের ব্যাসার্ধ, জ = 14/2 সে.মি. = 7 সে.মি.
এবং পাইপের ভেতরের ব্যাসার্ধ, r = 12/2 সে.মি. = 6 সে.মি.
উচ্চতা, h= 5 মিটার = 5 × 100 সে.মি. = 500 সে.মি.
পাইপ বেলন আকৃতির হওয়ায়,
সমগ্র পাইপের আয়তন= ΠR²h ঘন একক
= Π × (7) ² × 500 ঘন সে.মি.
= Π× 49 × 500 ঘন সে.মি.
= 24500 Π ঘন সে.মি.
পাইপের ভেতরের বা ফাঁপা অংশের আয়তন= Πr2h
= Π× (6)² × 500 ঘন সে.মি.
= Π × 36 × 500
= 18000 Π ঘন সে.মি.
অতএব, পাইপের লোহার আয়তন= 24500 Π – 18000 Π ঘন সে.মি.
= 6500 Π ঘন সে.মি.
এখন, 1 ঘন সে.মি. লোহার ওজন= 7.2 গ্রাম
∴ 6500 Π ঘন সেমি লোহার ওজন= 7.2 × 6500 Π গ্রাম
= 7.2 × 6500 × 3.1416 গ্রাম
= 147026.88 গ্রাম
= 147.027 কিলোগ্রাম (প্রায়)
নির্ণেয় পাইপের লোহার ওজন 147.027 কিলোগ্রাম (প্রায়)।

প্রশ্ন \ 18 \ একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 মিটার এবং প্রস্থ 5 মিটার। আয়তাকার ক্ষেত্রটিকে পরিবেষ্টিত করে একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র আছে যেখানে আয়তাকার ক্ষেত্র দ্বারা অনাধিকৃত অংশে ঘাস লাগানো হলো।
ক. উপরের তথ্যের ভিত্তিতে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ চিত্র আঁক।
খ. বৃত্তাকার ক্ষেত্রটির ব্যাস নির্ণয় কর।
গ. প্রতি বর্গমিটার ঘাস লাগাতে 50 টাকা খরচ হলে, মোট খরচ নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক. মনে করি, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।
যেখানে, দৈর্ঘ্য, AB = CD = 12 মিটার, এবং প্রস্থ, BC = AD = 5 মিটার। A, c এবং B, D যোগ করা হলো। তারা পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। এখন OA ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করা হলো।

খ. চিত্র হতে, বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাস AC অথবা BD। এখন ABC সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই,
AC² = AB² + BC²
বা, AC² = (12)² + (5)²
বা, AC² = 144 + 25
বা, AC² = 169
বা, AC = 169
∴ AC = 13
∴ বৃত্তাকার ক্ষেত্রটির ব্যাস 13 মিটার। (Ans)

গ. চিত্রানুসারে,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য= 12 মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = 5 মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (12 × 5) বর্গমিটার
= 60 বর্গমিটার
‘খ’ নং হতে, বৃত্তের ব্যাস = 13 মিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ= 13/2 = 6.5 মিটার
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = Πr2 = 3.1416 × (6.5)²
= 132.7326 বর্গমিটার
∴ অনাধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল = (132.7326 – 60) বর্গমিটার
= 72.7326 বর্গমিটার
∴ ঘাস লাগাতে মোট খরচ = (72.7326 × 50) টাকা
= 3636.63 টাকা (Ans)

প্রশ্ন \ 19 \ ΔABC ও ΔBCD একই ভূমি BC এর উপর এবং একই সমান্তরাল রেখা যুগল BC ও AD এর মধ্যে অবস্থিত।
ক. উপরের বর্ণনা অনুসারে চিত্রটি আঁক।
খ. প্রমাণ কর যে, Δ ক্ষেত্র ABC = Δ ক্ষেত্র BCD.
গ. Δ ক্ষেত্র ABC এর সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি সামান্তরিক আঁক যার একটি কোণ একটি নির্দিষ্ট কোণের সমান। (অঙ্কনের চিত্র ও বিবরণ আবশ্যক)
সমাধান :
ক. উপরের বর্ণনা অনুসারে চিত্রটি অঙ্কন করা হলো :

খ.

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC ও BCD ত্রিভুজক্ষেত্রদ্বয় একই ভূমি BC এর উপর এবং BC ও AD সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। প্রমাণ করতে হবে যে, Δ ক্ষেত্র ABC = Δ ক্ষেত্র BCD.
অঙ্কন : BC রেখার B ও c বিন্দুতে যথাক্রমে BE ও CF লম্ব টানি। এরা AD রেখা বা তার বর্ধিতাংশকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : অঙ্কনানুসারে, EBCF একটি আয়তক্ষেত্রে। যেহেতু Δ ক্ষেত্র ABC এবং আয়তক্ষেত্র EBCF একই ভূমি BC এর উপর এবং BC ও ED সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত।
∴Δ ক্ষেত্র ABC = $\frac{1}{2}$ (আয়তক্ষেত্র EBCF)

অনুরূপভাবে, Δ-ক্ষেত্র BCD = $\frac{1}{2}$ (আয়তক্ষেত্র EBCF)
সুতরাং Δ-ক্ষেত্র ABC = Δ-ক্ষেত্র BCD. (প্রমাণিত)

গ.

মনে করি, ABC একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজক্ষেত্র এবং ∠x একটি নির্দিষ্ট কোণ। এরূপ একটি সামান্তরিক আঁকতে হবে, যার একটি কোণ ∠x এর সমান এবং যা দ্বারা সীমাবদ্ধক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল Δ ক্ষেত্র ABC এর সমান।
অঙ্কন : BC বাহুকে E বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি। Ec রেখাংশের E বিন্দুতে ∠x এর সমান ∠CEচ আঁকি। A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল AG রশ্মি টানি এবং মনে করি, EP রশ্মিকে F বিন্দুতে ছেদ করে। BC বাহুকে বর্ধিত করি এবং c বিন্দু দিয়ে EF রেখাংশের সমান্তরাল CQ রশ্মি টানি এবং মনে করি, তা AG রশ্মিকে H বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ECHF ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

প্রশ্ন \ 20 \ একটি সামান্তরিক ক্ষেত্র ABCD এবং একটি আয়তক্ষেত্র BCEF উভয়ের ভূমি BC.
ক. একই উচ্চতা বিবেচনা করে সামান্তরিক ক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রটির চিত্র আঁক।
খ. দেখাও যে, ABCD ক্ষেত্রটির পরিসীমা BCEF ক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ. আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 5 : 3 এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা 48 মিটার হলে, সামান্তরিক ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক.

মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক ক্ষেত্র এবং BCEF একটি আয়তক্ষেত্র। একই ভূমি BC এবং উচ্চতা CE = BF.
খ. BC ভূমির উপর B ও C বিন্দুতে যথাক্রমে BF ও CE লম্ব আঁকি। এরা AD রেখা বা তার বর্ধিতাংশকে যথাক্রমে F ও E বিন্দুতে ছেদ করে।
দেখাতে হবে যে, ABCD ক্ষেত্রটির পরিসীমা BCEF ক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।
প্রমাণ : সামান্তরিকক্ষেত্র ABCD এবং আয়তক্ষেত্র BCEF এর ক্ষেত্রফল সমান এবং এরা সমান সমান ভূমির উপর অবস্থিত।
সুতরাং তারা সামান্তরিক রেখাযুগল BC ও FD এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ BF = CE
এখন, ΔABF এ ∠AFB = 90°
∴ AB, ΔABF এর অতিভুজ।
∴ BF < AB [ ∵ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু]
বা, CE < AB [∵ BF = CE]
আবার, BC = AD = EF [∵ ক্ষেত্রদ্বয় সমান সমান ভূমির উপর অবস্থিত]
∴ AB + BC + CD + DA > FB + BE + CE + EF
∴ ABCD ক্ষেত্রটির পরিসীমা > BCEF ক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর। (দেখানো হলো)

গ. ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য= 5x
এবং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = 3x
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2 (5x + 3x)
শর্তমতে, 2(5x + 3x) = 48
বা, 8x = 48/2
বা, 8x = 24
বা, x = 24/8
∴ x = 3
∴ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য= 5 × 3 = 15 মিটার
এবং আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = 3 × 3 = 9 মিটার।
যেহেতু আয়তক্ষেত্র এবং সামান্তরিকটি একই ভূমির উপর অবস্থিত। সুতরাং এদের ক্ষেত্রফল সমান।
∴ ABCD সামান্তরিক ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (15 × 9) বর্গমিটার
= 135 বর্গমিটার
∴ সামান্তরিক ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 135 বর্গমিটার।

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.১ অনুশীলনী

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.২ অনুশীলনী

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত ১৬.৩ অনুশীলনী

🔶🔶 এসএসসি সাধারণ গণিত সকল অধ্যায়

Share to help others: