এসএসসি

ssc physics

এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান ৩য় অধ্যায় (বল) গাণিতিক সমস্যা প্রশ্ন সাজেশন

এসএসসি বা নবম-দশম শ্রেণির পদার্থবিজ্ঞান ৩য় অধ্যায় গাণিতিক সমস্যায় বোর্ডে আসা কিছু প্রশ্ন নিয়ে আজকের পোস্টটি সাজানো হয়েছে। সাধারাণত এসএসসি পরীক্ষায় পদার্থবিজ্ঞানে তৃতীয় অধ্যায় বল থেকে যে গাণিতিক সমস্যাগুলো বারবার আসে সেই ধরণের কিছু প্রশ্ন নিয়ে সাজেশনটি সাজানো হয়েছে। এগুলোর মধ্যে থেকেই আসবে। পদার্থ পরীক্ষা (৩ অধ্যায়- বল) গাণিতিক সমস্যা সাজেশন ১। স্থির অবস্থায় থাকা ৫ কেজি ভরের একটি বস্তুর ওপর ১০ নিউটন বল ২ সে. কাজ করেছে। তার ৫ সে পরে ২০ নি. বল ৩ সে. কাজ করেছে। বস্তুটি কতটুকু দুরুত্ব অতিক্রম করেছে? ২। একটি নৌকা থেকে তুমি ১০মি/সে বেগে তীরে লাফ দিয়েছো। তোমার ভর ৫০কেজি, নৌকার ভর ১০০কেজি হরে নৌকাটি কোন দিকে কত বেগে যাবে? ৩। মেঝেতে রাখা একটি কাঠের টুকরের ঘর্ষন সহগ ০.০১, কাঠের ভর ১০ কেজি হলে সেটাকে নাড়াতে কত বল প্রয়োগ করতে হবে? কাঠের উপর ১০০কেজি ভরের একটি পাথর রাখা হলে কত বল প্রয়োগ করে নাড়ানো সম্ভব? মেঝে ঘর্ষণহীন হরে কী হতো? ৪। একটি ৫০০০কেজি ভরের গাড়ি স্থির অবস্থান থেকে যাত্রা শুরু করে ৫০ সেকেন্ডে বেগ ১০মি/সে হয়। এ ত্বরণে ১কিমি চলার পর ৬০০০ কেজি ভরের একটি স্থির গাড়ির সাথে সংঘর্ষে লিপ্ত হয়। সংঘর্ষের ফলে গাড়ি দুটির ভরবেগের পরিবর্তন সমান ও বিপরীত না হওয়ার কারণ বিশ্লেষণ কর। ৫। একটি বস্তুর যাত্রাকালের দ্বিতীয় সেকেন্ডে বেগ ৪ মি/সে এবং চতুর্থ সেকেন্ডে বেগ ৬ মি/সে এই সময়কালের মধ্যে ভরবেগের পরিবর্তন ২০ কেজি.মি/সে হলে বস্তুটির ভর কতো? ৬। একটি বন্দুক হতে ১ কিমি/সে বেগে ১০ গ্রাম ভরের একটি বুলেট ছোঁড়া হল। বন্দুকের ভর যদি ২ কেজি হয় তবে এর পশ্চাৎবেগ কত? ৭। সালমান ৪০০গ্রাম ভরের একটি স্থির ফুটবলের উপর ২সে যাবৎ ৫নি. বল প্রয়োগ করে। ফুটবলের অবস্থান থেকে ১২০মি. দুরে দাঁড়িয়ে থাকা শাকিলের দিকে বলটি গড়িয়ে গড়িয়ে যেতে থাকে। মাঠের ঘর্ষণ বলের মান ১নি. ফুটবল শাকিলের কাছে পৌঁছাবে কিনা? বিশ্লেষণ করো। ৮। ৪০০মি/সে বেগে ১০গ্রাম ভরের একটি গুলি ছুড়লে ১০সেমি পুরুত্বের ১০টি তক্তা ভেদ করার পর এর বেগ অর্ধেক হয়ে গেল। গুলির ওপর তক্তার বাধাদানকারী বলের মান নির্ণয় করো। ৯। পৃথিবীর ৬৪০০ কিমি ব্যাসার্ধের একটি গোলক ধরলে ভূ-প্রষ্ঠ হতে কত উচ্চতায় অভিকর্ষীয় ত্বরণের মান ভূ-পৃষ্ঠের অভিকর্ষীয় ত্বরণের মানের ১/৬৪ অংশ হবে?

এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান ৩য় অধ্যায় (বল) গাণিতিক সমস্যা প্রশ্ন সাজেশন Read More »

এসএসসি গণিত সমাধান

এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এসএসসি গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান ১. 13+20+27+34+….+111 ধারাটির পদ সংখ্যা কত? ক) 10 খ) 13 গ) 15 ঘ) 20 উত্তরঃ গ ২. 5+8+11+14+…+62 ধারাটি (i) একটি সসীম ধারা (ii) একটি গুণোত্তর ধারা (iii) এর 19 তম পদ 59 নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii উত্তরঃ খ নিচের তথ্যের আলোকে ৩-৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও। 7+13+19+25+…….. একটি ধারা। ৩. ধারাটির 15 তম পদ কোনটি? ক) 85 খ) 91 গ) 97 ঘ) 104 উত্তরঃ খ ৪. ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত? ক) 141 খ) 1210 গ) 1280 ঘ) 2560 উত্তরঃ গ প্রশ্ন \ 5 \ 2 – 5 – 12 – 19 – ………. ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12তম পদ নির্ণয় কর| সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 2 – 5 – 12 – 19 -….. এটি একটি সমান্তর ধারা, hযার প্রথম পদ, a = 2 ∴সাধারণ অন্তর, d = – 5 – 2 = – 7 ∴ 12 তম পদ = a + (12 – 1) d = 2 + 11 × ( -7) = 2 – 77 = – 75 নির্ণেয় ধারাটির সাধারণ অন্তর – 7 এর 12 তম পদ -75. প্রশ্ন \ 6 \ 8 + 11 + 14 + 17 + …….. ধারাটির কোন পদ 392 ? সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 8 + 11 + 14 + 17 +…….. এটি একটি সমান্তর ধারা, hযার প্রথম পদ, a = 8 সাধারণ অন্তর, d = 11 – 8 = 3 মনে করি, n তম পদ  = 392 n তম পদ = a + (n – 1)d ∴ a + (n  -1) d = 392 বা, 8 + (n – 1) × 3 = 392 বা, (n – 1) × 3 = 392 – 8 বা, n – 1 = 384/3 বা, n = 128 + 1 ∴  n = 129 ∴  ধারাটির 129তম পদ 392. প্রশ্ন \ 7 \ 4 + 7 + 10 + 13 + ……….. ধারাটির কোন পদ 301 ? সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 4 + 7 + 10 + 13 + ……….. এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 4 সাধারণ অন্তর, d = 7 – 4 = 3 মনে করি, nতম পদ = 301 n তম পদ = a + (n -1)d ∴  a + (n – 1)d = 301 বা, 4 + (n -1) × 3 = 301 বা, (n -1) × 3 = 301 – 4 বা, n -1 =297/3 বা, n = 99 + 1 ∴  n = 100 ∴ ধারাটির 100তম পদ 301.   প্রশ্ন \ 8 \ কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, (m + n) তম পদ কত? সমাধান : মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d ∴ ধারাটির mতম পদ = a + (m – 1) d ”      n তম পদ = a + (n – 1) d শর্তানুসারে a + (m -1) d = n ………………… (i) এবং a + (n -1) d = m ……………….. (ii) সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই, (m – 1 – n + 1) d = n – m বা, (m – n) d = – (m – n) বা, d = ∴ d = – 1 ∴ ধারাটির (m + n)তম পদ = a + (m + n -1) d = a + {(m – 1) + n} d = a + (m – 1)d + nd = n + n(- 1)        [∵ a + (m – 1) d = n এবং d = – 1] = n – n = 0 নির্ণেয় (m + n) তম পদ 0. প্রশ্ন \ 9 \ 1 + 3 + 5 + 7 + … … … ধারাটির n পদের সমষ্টি কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 1 + 3 + 5 + 7 + … … … এটি একটি সমান্তর ধারা, hযার প্রথম পদ, a = 1 সাধারণ অন্তর, d = 3 – 1= 2 এবং পদ সংখ্যা  = n ∴ প্রদত্ত ধারার সমষ্টি, Sn = n/2{2a + (n – 1) d} = n/2{2 × 1 + (n – 1).2}   [মান বসিয়ে] = n/2 (2+2n-2) = n/2× 2n = n2 নির্ণেয় ধারাটির n পদের যোগফল n2. প্রশ্ন \ 10 \ 8 + 16 + 24 + …………. ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 8 + 16 + 24 + …………. এটি একটি সমান্তর ধারা hযার প্রথম পদ a = 8 এবং সাধারণ অন্তর d = 16 – 8 = 8 ∴ধারাটির 9টি পদের সমষ্টি, S9 = 9/2{2a + (9 – 1) d} = 9/2(2a + 8d) = 9/2(2 × 8 + 8 × 8) = 9/2(16 + 64) = 9/2× 80 = 9 × 40 = 360 ∴ ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি 360. প্রশ্ন \ 11 \ 5 + 11 + 17 + 23 + …………… + 59 = কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 5 + 11+ 17 + 23 + …… + 59 এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 5 সাধারণ অন্তর, d = 11– 5 = 17 – 11 = 6 শেষ পদ, p = 59 ধরি, ধারাটির পদ সংখ্যা = n ∴ n তম পদ = a + (n – 1)d কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = 59 অর্থাৎ, 5 + (n – 1) 6 = 59 বা, 5 + 6n – 6 = 59 বা, 6n – 1 = 59 বা, 6n = 59 + 1 বা, n = 60/6= 10 ∴ সমষ্টি, S = n/2{2a + (n – 1)d} = 10/2{2 × 5 + (10 – 1).6}       [এর মান বসিয়ে] = 5 (10 + 9 × 6) = 5 (10 + 54) = 5 × 64 = 320 নির্ণেয় সমষ্টি 320. প্রশ্ন \ 12\  29 + 25 + 21 + … … … – 23 = কত? সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 29 + 25 + 21 + … … … – 23 এটি একটি সমান্তর ধারা, যার ১ম পদ, a = 29 সাধারণ অন্তর,

এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ১৩.১ প্রশ্ন সমাধান Read More »

এসএসসি গণিত সমাধান

এসএসসি গণিত অনুশীলনী ৩.২ সমাধান

নবম-দশম বা এসএসসি গণিত বইয়ের ৩য় অধ্যায়ের অনুশীলনী ৩.২ এর সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এসএসসি গণিত সমাধান অনুশীলনী ৩.২ প্রশ্ন : ১ ∴ সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর : (খ) 2×2 + 3y2 সমাধান: 2×2 + 3y2 এর ঘন = (2×2 + 3y2)3 = (2×2)3 + 3.(2×2)2 .3y2 + 3.2×2 .(3y2)2 + (3y2)3 = 8×6 + 3.4×4. 3y2 + 3.2×2.9y4 + 27y6 = 8×6 + 36x4y2 + 54x2y4 + 27y6 (Ans.)   (খ) 7m2 – 2n সমাধান: 7m2 – 2n এর ঘন = (7m2 – 2n)3 = (7m2)3 – 3.(7m2)2.2n + 3.7m2.(2n)2 – (2n)3 = 343m6 – 3.49m4.2n + 3.7m2 .4n2 – 8n3 = 343m6 – 294m4n + 84m2n2 – 8n3 (Ans.) (গ) 2a – b – 3c সমাধান: 2a – b – 3c এর ঘন = (2a – b – 3c)3 = {(2a – b) – 3c}3 = (2a – b)3 – 3. (2a – b)2. 3c + 3.(2a – b).(3c)2 – (3c)3 =(2a)3-3.(2a)2.b+3.2a.(b)2-(b)3-3{(2a)2 t – 2.2a.b + (b)2.3c + 3.(2a – b). 9c2 – 27c3 =8a3-12a2b+6ab2-b3-3(4a2-4ab+b2).3c + 54ac2 – 27bc2 – 27c3 =8a3-12a2b+6ab2-b3-36a2c+36abc-9b2c + 54ac2 – 27bc2 – 27c3 =8a3-b3-27c3-12a2b-36a2c+6ab2+54ac2 – 9b2c – 27bc2 + 36abc (Ans.) প্রশ্ন : 2 ∴ সরল কর : (ক)  (7x + 3b)3 – (5x + 3b)3 – 6x(7x + 3b)(5x + 3b) সমাধান: (7x + 3b)3 – (5x + 3b)3 – 6x(7x + 3b)(5x + 3b) = (7x + 3b)3 – (5x + 3b)3 – 3.2x.(7x + 3b) (5x + 3b)             ধরি, 7x + 3b = p এবং 5x + 3b = q এখানে, p – q = 7x + 3b – 5x – 3b = 2x ∴ প্রদত্ত রাশি = p3 – q3 – 3.p – q)pq = p3 – q3 – 3pq(p – q) = (p – q)3 = {(7x + 3b) – (5x + 3b)}3      [মান বসিয়ে] = (7x + 3b – 5x – 3b)3 = (2x)3 = 8×3 (Ans.)   (খ)  (a + b + c)3 – (a – b – c)3 – 6(b + c) {a2 – (b + c)2} সমাধান: ধরি, a + b + c = x এবং a – b – c = y ∴ x – y= (a + b + c) – (a – b – c) = a + b + c – a + b + c = 2b + 2c = 2(b + c) ∴ প্রদত্ত রাশি = x3 – y3 – 3(x – y)xy = x3 – y3 – 3xy (x – y) = (x – y)3 = {2(b + c)}3 [মান বসিয়ে] = 8(b + c)3  (Ans.) (গ)   (m + n)6 – (m – n)6 – 12mn(m2 – n2)2 সমাধান: প্রদত্ত রাশি,       (m + n)6 – (m – n)6 – 12mn(m2 – n2)2 = (m + n)6 – (m – n)6 – 3.4mn(m2 – n2)2       ধরি, m + n = a এবং m – n = b এখানে, a + b = m + n + m – n = 2m এবং a – b = m + n – m + n = 2n ∴ (a + b)(a – b) = 4mn বা, (a2 – b2) = 4mn এবং ab = (m + n) (m – n) = (m2 – n2) ∴ a2b2 = (ab)2 = (m2 – n2)2 ∴ প্রদত্ত রাশি = a6 – b6 – 3a2b2(a2 – b2) = (a2)3 – (b2)3 – 3a2b2(a2 – b2) = (a2 – b2)3 = (4mn)3       [(a2 – b2) এর মান বসিয়ে] = 64m3n3 (Ans.) (ঘ))  (x + y) (x2 – xy + y2) + (y + z) (y2 – yz + z2) + (z + x) (z2 – zx + x2) সমাধান: প্রদত্ত রাশি  = (x + y) (x2 – xy + y2) + (y + z) (y2 – yz + z2) + (z + x) (z2 – zx + x2) = (x3 + y3) + (y3 + z3) + (z3 + x3) = x3 + y3 + y3 + z3 + z3 + x3 = 2×3 + 2y3 + 2z3 = 2(x3 + y3 + z3)  (Ans.) (ঙ)  (2x + 3y – 4z)3 + (2x – 3y + 4z)3 + 12x {4×2 – (3y – 4z)2} সমাধান: (2x + 3y – 4z)3 + (2x – 3y + 4z)3 + 12x {4×2 – (3y – 4z)2} = (2x + 3y – 4z)3 + (2x – 3y + 4z)3 + 3×4x×{4×2 – (3y – 4z)2}             ধরি, 2x + 3y – 4z = a এবং 2x – 3y + 4z = b এখানে, a + b = 2x + 3y – 4z + 2x – 3y + 4z = 4x ab= (2x + 3y – 4z)(2x – 3y + 4z) = {2x + (3y – 4z)}{2x – (3 – 4z)} = {(2x)2 – (3y – 4z)2} ∴ প্রদত্ত রাশি= a3 + b3 + 3(a + b)ab = a3 + b3 + 3ab(a + b) = (a + b)3 = {(2x + 3y – 4z) + (2x – 3y + 4z)}3 [মান বসিয়ে] = {2x + 3y – 4z + 2x – 3y + 4z)3 = (4x)3 = 64×3 (Ans.) প্রশ্ন : 3 ∴ a – b = 5 এবং ab = 36 হলে, a3 – b3 এর মান কত? সমাধান: দেওযা আছে, a – b = 5 এবং ab = 36             ∴ প্রদত্ত রাশি  = a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = (5)3 + 3.36.5     [মান বসিয়ে] = 125 + 540 = 665 (Ans.) প্রশ্ন : 4 ∴ যদি a3 – b3 = 513 এবং a – b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত? সমাধান: দেওযা আছে, a3 – b3 = 513 এবং a – b = 3             আমরা জানি, (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b) বা, 3ab(a – b) = (a3 – b3) – (a – b)3 বা, 3ab× 3 = 513 – (3)3      [মান বসিয়ে] বা, 9ab = 513 – 27 বা, 9ab = 486 বা, ab = ∴ ab = 54 (Ans.) প্রশ্ন : 5 ∴ x = 19 এবং y = – 12 হলে, 8×3 + 36x2y + 54xy2 +

এসএসসি গণিত অনুশীলনী ৩.২ সমাধান Read More »

ssc physics

এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান ১ম অধ্যায় গাণিতিক সমস্যা

নবম/দশম বা এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান পরীক্ষায় প্রায় দেখা যায় ১ম অধ্যায় ভৌত রাশি এবং পরিমাপ তেকে একটি গাণিতিক সমস্যা আসে। নবম শ্রেণির পদার্থবিজ্ঞান ১ম অধ্যায় থেকে কয়েক ধরনের গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা জানলেই যথেষ্ট হয়। নিচে এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান ১ম অধ্যায় গাণিতিক সমস্যা প্রশ্ন দেওয়া হলো। ১ম অধ্যায় ভৌত রাশি এবং পরিমাপ গাণিতিক সমস্যা

এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান ১ম অধ্যায় গাণিতিক সমস্যা Read More »

এসএসসি গণিত সমাধান

এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.২ প্রশ্ন সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী 5.2 প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এসএসসি গণিত অনুশীলনী 5.2 অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান প্রশ্ন \ 1 \ x কে চলক ধরে a2x + b = 0 সমীকরণটির ঘাত নিচের কোনটি? ক. 3 খ. 2 ✅ 1 ঘ. 0 প্রশ্ন \ 2 \ নিচের কোনটি অভেদ? (x + 1)2 + (x – 1)2 = 4x ✅ (x + 1)2 + (x – 1)2 = 2(x2 + 1) (a + b)2 – (a – b)2 = 2ab (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 ব্যাখ্যা: বামপক্ষ = (x + 1)2 + (x – 1)2  = x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1 = 2×2 + 2 = 2(x2 + 1) প্রশ্ন \ 3 \ (x – 4)2 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি? ক. 1টি ✅ 2টি গ. 3টি ঘ. 4টি ব্যাখ্যা : (x – 4)2 = 0 বা, (x – 4)(x – 4) = 0 x = 4, 4 সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের মূল 2টি প্রশ্ন \ 4 \ x2 – x – 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি? ক. 3, 4           খ. 3, – 4 ✅ – 3, 4       ঘ. – 3, – 4 ব্যাখ্যা: : x2 – x – 12 = 0 বা, x2 – 4x + 3x – 12 = 0 বা, x(x – 4) + 3(x – 4) = 0 বা, (x – 4)(x + 3) = 0 ∴x = 4, -3 প্রশ্ন \ 5 \ 3×2 – x + 5 = 0 সমীকরণে x এর সহগ কত? ক. 3 খ. 2 গ. 1 ✅ -1 ব্যাখ্যা : 3×2 – x + 5 = 0 ∴ 3×2 + (-1) x + 5 = 0 এখানে, x এর সহগ – 1 6. দুইটি বীজগণিতিক রাশি x ও y এর গুণফল xy=0 হলে (i) x=0 অথবা y=0 (ii) x=0 এবং y≠0 (ii) x≠0 এবং y=0 নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) ii ও iii গ) i ও iii ✅ i, ii ও iii প্রশ্ন \ 7 \x2 – (a + b) x + ab = 0 সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি? ✅ {a, b} খ.{a, -b} গ. { – a, b} ঘ. { – a, – b} ব্যাখ্যা : x2 – (a + b) x + ab = 0 বা, x2 – ax – bx + ab = 0 বা, x(x – a) – b(x – a) = 0 বা, (x – a)(x – b) = 0 \ x = a, b \ mgvavb †mU S = {a, b} দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। এই তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও। 8) একক স্থানীয় অঙ্ক X হলে, সংখ্যাটি কত? ক. 2x খ. 3x গ. 12x ✅ 21x ব্যাখ্যা : দেওয়া আছে, একক স্থানীয় অঙ্ক x ∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক 2x ∴ সংখ্যাটি =x + 10 . 2x = 21x 9) অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে? ক. 3x খ. 4x ✅ 12x ঘ. 21x ব্যাখ্যা : অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10.x + 2x = 12x 10) x = 2 হলে, মূল সংখ্যার সাথে স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যার পার্থক্য কত? ✅ 18 খ. 20 গ. 34 ঘ. 36 ব্যাখ্যা : (1) হতে পাই, সংখ্যাটি 21x = 21.2 = 42 (2) নং হতে পাই, সংখ্যাটি = 12x = 12.2 = 24 সংখ্যা দুইটির পার্থক্য, 42 – 24 = 18 🔶 সমাধান কর (11 – 17) : প্রশ্ন \ 12 \ সমাধান : হয়,  অথবা, বা, বা, বা, বা, বা, বা, ∴ x = ∴ x = নির্ণেয় সমাধান : x = অথবা প্রশ্ন \ 11 \ (y + 5)(y – 5) = 24    সমাধান: (y + 5)(y – 5) = 24 বা, y2 – 52 = 24 বা, y2 – 25 = 24 বা, y2 = 24 + 25  [পক্ষান্তর করে] বা, y = ± \ y = ± 7 নির্ণেয় সমাধান y = ± 7 প্রশ্ন \ 13 \ 2(z2 – 9) + 9z = 0       সমাধান: 2(z2 – 9) + 9z = 0 বা, 2z2 – 18 + 9z = 0 বা, 2z2 + 9z – 18 = 0 বা, 2z2 + 12z – 3z – 18 = 0 বা, 2z (z + 6) – 3(z + 6) = 0 বা, (z + 6) (2z – 3) = 0 হয় z + 6 = 0       অথবা,, 2z – 3 = 0 \ z = – 6              বা, 2z = 3 \ z = নির্নেয় সমাধান: z = – 6 অথবা,, প্রশ্ন \ 14 \ সমাধান : বা, বা, 20z2 + 10z – 4z – 2 = 23z + 1 বা, 20z2 + 6z – 23z – 2 – 1 = 0 বা, 20z2 – 17z – 3 = 0 বা, 20z2 – 20z + 3z – 3 = 0 বা, 20z(z – 1) + 3(z – 1) = 0 বা, (z – 1) (20z + 3) = 0 হয় z – 1 = 0      অথবা,, 20z + 3 = 0 ∴z = 1                    বা, 20z =-         নির্নেয় সমাধান: z = 1 অথবা – প্রশ্ন \ 15 \ সমাধান : বা, বা, বা, বা, 6(x + 2)(x – 2) = 4(x – 6)     [আড় গুগণ করে] বা,  6(x2 – 4) = 4(x – 6) বা,  6×2 – 24 = 4x – 24 বা,  6×2 – 24 – 4x + 24 = 0     [পক্ষান্তর করে] বা,  6×2 – 4x = 0 বা,  3×2 – 2x = 0     [ 2 দ্বারা ভাগ করে ] বা,  x(3x – 2) = 0 হয় x = 0         অথবা,, 3x – 2 = 0 বা, 3x = 2 ∴x = নির্নেয় সমাধান: x = 0 অথবা,, প্রশ্ন \ 16 \ সমাধান : বা, [পক্ষান্তর করে] বা, বা, [আড়গুণন করে] বা, বা, ∴ [বর্গমূল করে] নির্ণেয় সমাধান : প্রশ্ন \ 17 \ সমাধান : বা, [পক্ষান্তর করে] বা,  বা,  বা, বা, হয়, x = 0 অথবা,  বা, বা, বা, , a(x – a) = b(x – ba) [আড়গুণন করে] বা, ax – a2 = bx – b2         ax – bx = a2 – b2 বা,x

এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.২ প্রশ্ন সমাধান Read More »

এসএসসি গণিত সমাধান

এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.১ এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ প্রশ্ন সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির বা এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.১ এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো। এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.১ প্রশ্ন সমাধান চলক : যখন কোনো অক্ষর প্রতীক কোনো সেটের উপাদান বোঝায় তখন তাকে চলক বলে। একটি সেট A = {x : x Î R , 1 £ x £ 10}   হয়, তবে x-এর মান ১ থেকে ১০ পর্যন্ত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। এখানে, x হলো চলক। 🔶 সমীকরণের ঘাত : কোনো সমীকরণের চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে সমীকরণটির ঘাত বলে। x + 1 = 5, 2x – 1 = x + 5, y + 7 = 2y – 3 সমীকরণগুলোর প্রত্যেকটির ঘাত ১; এগুলো এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ। 🔶 সমীকরণ ও অভেদ : সমীকরণ : অন্ততপক্ষে একটি চলকযুক্ত সমান চিহ্ন সংবলিত খোলা বাক্যকে সমীকরণ বা সরল সমীকরণ বলে। যেমন, (3x + 5) – 6 = 5x + 9 একটি সমীকরণ যেখানে, x একটি চলক। সমীকরণে সমান চিহ্নের দুইপক্ষে দুইটি বহুপদী থাকে, অথবা একপক্ষে (প্রধানত ডানপক্ষে) শূন্য থাকতে পারে। দুই পক্ষের বহুপদীর চলকের সর্বোচ্চ ঘাত সমান না-ও হতে পারে। 🔶 সমীকরণের মূল : চলকের সর্বোচ্চ ঘাতের যে মান বা মানগুলো দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, তাকে ঐ সমীকরণের মূল বলে। 🔶 অভেদ : কোনো চলকের সকল মানের জন্য যদি সমীকরণটি সিদ্ধ হয় তবে তা একটি অভেদ। যেমন, (x + 1)2 – (x – 1)2 = 4x একটি অভেদ। এটি x এর সকল মানের জন্য সিদ্ধ হয়। প্রত্যেক বীজগণিতীয় সূত্র একটি অভেদ।   অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান 👉 সমাধান কর (১-১০) : প্রশ্ন \ ১ \  সমাধান : দেওয়া আছে, বা, বা, y(a2 – b2) = ab(a2 – b2)       [আড়গুণন করে] বা, y = ab [উভয়পক্ষকে (a2 – b2) দ্বারা ভাগ করে] নির্ণেয় সমাধান : y = ab প্রশ্ন \ ২ \ (z + 1) (z – 2) = (z – 4) (z + 2) সমাধান : দেওয়া আছে, (z + 1) (z – 2) = (z – 4) (z + 2) বা,z2 – 2z + z – 2 = z2 + 2z – 4z – 8 বা,z2 – z – 2 = z2 – 2z – 8 বা,z2 – z – z2 + 2z = – 8 + 2 [পক্ষান্তর করে] ∴ z = – 6 (Ans.) প্রশ্ন \ ৩ \ সমাধান : দেওয়া আছে, বা,  বা,   [পক্ষান্তর করে ] বা,  বা,   [ উভয়পক্ষকে (৫ী + ৪) দ্বারা গুণ করে।] বা, বা,  3x + 2 = – 2x – 1 বা, 3x + 2x = – 1 – 2 বা,  5x = – 3          ∴ প্রশ্ন \ ৪ \ সমাধান : দেওয়া আছে, বা,   [পক্ষান্তর করে] বা, বা,  বা,   [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা ভাগ করে] বা, x2 + 6x + 8 = x2 + 4x + 3  [আড়গুণন করে] বা, x2 + 6x – x2 – 4x = 3 – 8 বা,  2x = – 5 ∴x = – (Ans.) প্রশ্ন \ ৫ \ সমাধান : দেওয়া আছে,   বা,  বা,   [পক্ষান্তর করে] বা,  বা,  বা,  [উভয়পক্ষকে দ্বারা ভাগ করে] বা, x – a = – x + b      [আড়গুণন করে] বা, x + x = a + b বা, 2x = a + b ∴ x = প্রশ্ন \ ৬ \ সমাধান : দেওয়া আছে, বা, বা, বা, বা, বা,  এখানে,   [∴ চলক বর্জিত রাশি] ∴ x – a – b = 0 = a + b (Ans.) প্রশ্ন \ ৭ \ সমাধান : দেওয়া আছে, বা, বা, বা,  বা, x – a + x – b = 0 [উভয় পক্ষকে দ্বারা গুণ করে] বা, 2x = a + b ∴ x = নির্ণেয় সমাধান : x = প্রশ্ন \ ৮ \  সমাধান : দেওয়া আছে,  বা,  [পক্ষান্তর করে] বা, বা,  [উভয়পক্ষকে ৩ + ৩ দ্বারা ভাগ করে] বা, ∴ (Ans.) 👉 সমাধান সেট নির্ণয় কর (১১ – ১৯) : প্রশ্ন \ ৯ \ সমাধান : দেওয়া আছে, বা,  [পক্ষান্তর করে] বা, বা, বা,    [উভয়পক্ষকে -১ দ্বারা গুণ করে] ∴ নির্ণেয় সমাধান সেট,   প্রশ্ন \ ১০ \  সমাধান : দেওয়া আছে, বা, বা, বা,  বা,  1 = 2  যা অসম্ভব ∴ এ সমীকরণে কোনো সমাধান নেই। নির্ণেয় সমাধান সেট,S = { } বা ∅ প্রশ্ন \ ১১ \  সমাধান : দেওয়া আছে, বা,  বা,  বা, বা,  [উভয়পক্ষকে x –1) দ্বারা গুণ করে] বা, 2x = – x – 1    [আড়গুণন করে] বা, 2x + x = – 1 বা, 3x = – 1 ∴ x = – নির্ণেয় সমাধান সেট, S = – প্রশ্ন \ ১২ \ সমাধান : দেওয়া আছে, বা,  বা,   [পক্ষান্তর করে] বা,  বা, বা, বা,  [উভয়পক্ষকে দিয়ে ভাগ করে] বা,– m + x = n – x বা, x + x = m + n বা, 2x = m + n ∴ x = নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {} প্রশ্ন \ ১৩ \   সমাধান : দেওয়া আছে, বা, [পক্ষান্তর করে] বা, বা,  বা,  (x + 4) (x + 5) = (x + 2) (x + 3)          [আড়গুণন করে] বা, x2 + 9x + 20 = x2 + 5x + 6 বা, x2 + 9x – x2 -5x = 6 – 20                 [পক্ষান্তর করে] বা, 4x = – 14 বা, x = – ∴ x = – নির্ণেয় সমাধান সেট, S = প্রশ্ন \ ১৪ \  সমাধান : দেওয়া আছে, বা,   [পক্ষান্তর করে ] বা,  বা,  বা,  বা, – 12 + 5t = 90 – 12t       [আড়গুণন করে] বা, 5t + 12t = 90 + 12           [পক্ষান্তর করে ] বা, 17t = 102 বা, t =  ∴ t = 6 নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {6} 👉 সমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (২০ – ২৭) : প্রশ্ন \ ১৫ \ একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৯৮ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর। সমাধান : ধরি, একটি সংখ্যা x তাহলে অপর সংখ্যা x প্রশ্নানুসারে, বা,  বা, 7x = 490 বা, x = ∴x = 70 ∴ একটি সংখ্যা x = 70এবং অপর সংখ্যা = নির্ণেয় সংখ্যা দুটি ৭০ এবং ২৮. প্রশ্ন \ ১৬ \ একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ১; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ করলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যাবে, তা এর সমান। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর। সমাধান : ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশের লব =x ∴প্রকৃত ভগ্নাংশের হর

এসএসসি সাধারণ গণিত অনুশীলনী ৫.১ এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ প্রশ্ন সমাধান Read More »

এসএসসি গণিত সমাধান

এসএসসি গণিত ৮ অধ্যায় বৃত্ত অনুশীলনীর ৮.১ প্রশ্ন সমাধান

নবম দশম শ্রেণি বা এসএসসি গণিত ৮ অধ্যায় বৃত্ত অনুশীলনীর ৮.১ প্রশ্ন সমাধান নিচে দেওয়া হলো। নবম-দশম শ্রেণির গণিত অন্যান্য অধ্যায়গুলো সমাধান দেখতে পোস্টের নিচে দেওয়া লিংকে প্রবেশ করুন। এসএসসি গণিত অনুশীলনী ৮.১ প্রশ্ন সমাধান প্রশ্ন \ 1 \ প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের AB ও CD দুইটি জ্যা পরস্পরকে E বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, E-ই বৃত্তের কেন্দ্র। অঙ্কন : বৃত্তটির কেন্দ্র E না ধরে O ধরি এবং O, E যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু E [জানা আছে যে, বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু এবং কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর ওপর লম্ব] ∴ OE ⊥ AB অর্থাৎ ∠OEA = এক সমকোণ (2) আবার, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং CD জ্যা এর মধ্যবিন্দু E ∴ OE ⊥ CD অর্থাৎ ∠OEC = এক সমকোণ (3) যেহেতু AB এবং CD দুইটি পরস্পরচ্ছেদী সরলরেখা। ∴ ∠OEA এবং ∠OEC উভয়ই এক সমকোণ হতে পারে না। (৪) সুতরাং E ব্যতীত অন্য কোনো বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র হতে পারে না। ∴ E বিন্দুটি ABCD বৃত্তের কেন্দ্র। [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ 2 \ প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের ওপর লম্ব। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের ওপর লম্ব। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O। AB এর মধ্যবিন্দু E এবং CD এর মধ্যবিন্দু F এবং AB॥CD। প্রমাণ করতে হবে যে, EF কেন্দ্রগামী এবং AB ও CD এর ওপর লম্ব। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) F, CD এর মধ্যবিন্দু এবং OF কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ। ∴ OF, CD এর ওপর লম্ব। [বৃত্তের কেন্দ্র ও জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যায়ের ওপর লম্ব] এবং ∠OFC = এক সমকোণ। (2) আবার, E, AB এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় OE , AB এর ওপর লম্ব এবং ∠AEO = এক সমকোণ। [একই কারণে] ∴ ∠AEO = ∠OFC [একান্তর কোণ] (3) AB ॥ CD হওয়ায় EF ছেদক। অর্থাৎ E, O, F একই সরলরেখা। অতএব, EF কেন্দ্রগামী এবং EF⊥CD এবং FE⊥AB. [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ 3 \ কোনো বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুইটি অ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ কর যে, AB = AC. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের কেন্দ্র O। AB ও AC জ্যা দুইটি OA ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে অর্থাৎ ∠BAO = ∠CAO। প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC. অঙ্কন : O হতে AB এর ওপর OM এবং AC এর ওপর ON লম্ব আঁকি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) OM,AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়, OM, AB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, AM = 1/2 AB (2) আবার, ON, AC এর ওপর লম্ব হওয়ায়, AN = 1/2 AC (3) এখন, ΔAOM ও ΔAON এর মধ্যে ∠AMO = ∠ANO [সমকোণ বলে] ∠MAO = ∠NAO [কল্পনা] এবং AO সাধারণ বাহু। ∴ ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। অতএব, AM = AN অর্থাৎ 1/2 AB = 1/2 AC ∴ AB = AC [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ ৪ \ চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং জ্যা AB = জ্যা AC। প্রমাণ কর যে, ∠BAO = ∠CAO. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের O কেন্দ্র এবং জ্যা AB = জ্যা AC। AO কেন্দ্রগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAO = ∠CAO. অঙ্কন : O, B এবং O, C যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) ΔAOB ও ΔAOC এর মধ্যে AB = AC [দেওয়া আছে] BO = CO [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং AO বাহু সাধারণ। [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] ∴ ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম। অতএব, ∠BAO = ∠CAO। [প্রমাণিত] প্রশ্ন \ ৫ \ কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাতে হবে যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, সমকোণী ΔABC এর ∠B = এক সমকোণ এবং AC অতিভুজ। A, B, C শীর্ষবিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা হলো। মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্র O। দেখাতে হবে যে, কেন্দ্র O অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) ΔABC-এর ∠ABC = এক সমকোণ [কল্পনা] ∴ ∠ABC, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। [∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ] (2) A, B, C বিন্দুগামী বৃত্তের ব্যাস AC। সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র O, ব্যাস AC এর উপর অবস্থিত। ∴ OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে] ∴ বৃত্তের কেন্দ্র O, A তিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। [দেখানো হলো] প্রশ্ন \ ৬ \ দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের একটির AB জ্যা অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AC = BD. সমাধান : বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABE ও CDF বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র O। ABE বৃত্তের জ্যা AB, CDF বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AC = BD। অঙ্কন : O হতে AB বা CD এর ওপর OP লম্ব আঁকি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) OP, CD এর ওপর লম্ব হওয়ায় OP, CD-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ CP = PD [বৃত্তের কেন্দ্র হতে কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] (2) আবার, OP, AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়, OP, AB-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, AP = BP [একই] এখন, AP = AC + CP এবং BP = PD + BD সুতরাং AC + CP = PD + BD [∵ AP = BP] ∴ AC = BD [প্রমাণিত] [∵ CP = PD] প্রশ্ন \ ৭ \ বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান। সমাধান : সাধারণ নির্বচন : বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, দেখাতে হবে যে, তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O। AB ও CD দুটি সমান জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AP = PD এবং PB = PC. অঙ্কন : O হতে AB এর ওপর OM এবং CD এর ওপর ON লম্ব আঁকি। O, চ যোগ করি। প্রমাণ : ধাপসমূহ যথার্থতা (1) MOP ও NOP সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে OM = ON [সমান সমান জ্যা

এসএসসি গণিত ৮ অধ্যায় বৃত্ত অনুশীলনীর ৮.১ প্রশ্ন সমাধান Read More »

Scroll to Top